专题14：统计 （七大易错点通关训练） -2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（十四） 统计与统计案例 易错点01　混淆总体与总体容量、样本与样本容量 1.（24-25高三上·上海·阶段练习）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 2．（24-25上海高三阶段练习）某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（   ） A．上述调查属于全面调查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 3．（23-24上海高三·阶段练习）为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（    ） A．抽取两天作为一个样本 B．春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本 C．选取每周星期日作为样本 D．以全年每一天作为样本 易错点02：统计用表中概念不清、识图不准 4. （2023杨浦二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分 5.如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人. 6.某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人． 7.现对某类文物进行某种物性指标检测，从件中随机抽取了件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这件文物中物性指标值不小于的件数为 . 8.如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]， 样本数据的分组为[20，21)， [21，22)，[22， 23)，[23， 24)， [24， 25)，[25，26]. 已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是 . 9．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为 ．    10．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数，则函数在区间取得最小值时 ． 易错点03：求中位数、百分位数时忽略数据顺序 11．（2024·上海宝山·一模）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 12．以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 13．（2025·上海崇明·二模）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 14．（24-25闵行高二期末）已知，且的中位数为1，则（    ） A． B． C．1 D． 15．从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（    ） A． B． C． D． 16.四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 易错点04：对频率分布直方图中的数据特征理解不透 17.某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（    ） A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 18．（2024高三·全国·专题练习）某校高三年级共800名学生，将其期中考试的数学成绩进行适当分组后，得到频率分布直方图如图所示．若要从这800人中按分数从高到低录取72人组成数学兴趣小组，则录取分数线估计为（    ）    A．105分 B．108分 C．110分 D．112.5分 19．（2024高三·全国·专题练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率 . 20.某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（   ） A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 21．（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 22．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 23．（23-24高二上·上海·课后作业）两个变量x与y之间的回归方程（    ） A．表示x与y之间的函数关系； B．表示x与y之间的不确定关系； C．反映x与y之间的真实关系； D．是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 24．（2024·上海徐汇·二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 25．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 易错点06：忽视与回归直线有关的概念 26. （2023杨浦二模）对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C. 最小 D. 最小 27．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 28．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 29.用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ） A． B． C．35 D．21 易错点07：求解独立性检验问题对的值理解不准确 30．（24-25高三上·上海·单元测试）对于独立性检验，下列说法中错误的是（    ） A．的值越大，说明两事件相关程度越大 B．的值越小，说明两事件相关程度越小 C．时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关 D．时，则可以大概率认为事件与有关 31．设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 32．某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 33．（2025·上海长宁·二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 34.一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据： 7天内未痊愈 7天内痊愈 对照组 30 170 实验组 20 280 根据表格数据，下列结论正确的是（    ） 参考公式及数据：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 35．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．    (1)求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（同一组中数据用该组区间的中点值作代表） (2)把年龄在的居民称为青年组，年龄在的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？ 单位：人 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 中老年 合计 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 36．（2024·上海奉贤·二模）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次空气质量等级　　　 1（优） 3 18 25 2（良） 6 14 3（轻度污染） 5 5 6 4（中度污染） 6 3 0 (1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平） 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 附：，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（十四） 统计与统计案例 易错点01　混淆总体与总体容量、样本与样本容量 1.（24-25高三上·上海·阶段练习）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【答案】B 【分析】根据样本的定义即可求解. 【详解】抽取的125名学生的体重是样本，故选：B 2．（24-25上海高三阶段练习）某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（   ） A．上述调查属于全面调查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【分析】利用总体、样本、调查方法的相关概念分析选项即可. 【详解】上述调查属于抽样调查，故A项错误; 每名学生的视力是总体的一个个体，故B项错误； 200名学生的视力是总体的一个样本，故C项正确； 1200名学生的视力是总体，故D项错误. 故选：C 3．（23-24上海高三·阶段练习）为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（    ） A．抽取两天作为一个样本 B．春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本 C．选取每周星期日作为样本 D．以全年每一天作为样本 【答案】B 【分析】选择调查的对象要有代表性即可判断． 【详解】解：依题意春､夏､秋､冬每个季节某路口在学校放学时段的车流量可能会有差异， 为了统计该路口在学校放学时段的车流量，春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本更具有代表性，故B正确； 对于A：随机抽取两天作为一个样本，不具有代表性，故A错误； 对于C：显然星期一到星期五学校放学时段的车流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取每周星期日作为样本也不具有代表性，故C错误； 对于D：全年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样调查，故D错误； 故选：B． 易错点02：统计用表中概念不清、识图不准 4. （2023杨浦二模）某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分 【答案】 【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可. 【详解】由直方图知：平均成绩为分. 故答案为： 5.如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人. 易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有（人）的错误结论. 正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有（人）.故72. 易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积. 6.某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人． 【详解】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：）在区间上的男生的人数为 . 故答案为：. 7.现对某类文物进行某种物性指标检测，从件中随机抽取了件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这件文物中物性指标值不小于的件数为 . 【详解】抽取的件文物中，物性指标值不小于的频率为， 由此估计出件文物中，物性指标值不小于的频率约为， ∴估计这件文物中物性指标值不小于的有件. 故答案为：. 8.如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]， 样本数据的分组为[20，21)， [21，22)，[22， 23)，[23， 24)， [24， 25)，[25，26]. 已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是 . 【详解】由题意可得：平均气温低于22°C的频率为，平均气温不低于25°C的频率为， ∴样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，则样本容量为， 故样本中平均气温不低于25°C的城市的个数为. 故答案为：9. 9．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为 ．    【答案】40 【分析】根据直方图确定各组的频率，进而求出的频率，最后估算出对应的产品件数. 【详解】由题设对应频率依次为， 所以的频率为，故重量在内的产品件数为. 故答案为：40 10．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数，则函数在区间取得最小值时 ． 【答案】100 【分析】根据题意结合频率分布直方图求出函数的解析式，然后利用函数的性质求出最小值时的自变量的值即可. 【详解】当时， ， 有函数在单调递减， 所以， 当时， ， 有函数在单调递增， 所以， 所以， 所以在上有最小值0.02， 当时取到最小值. 故答案为：100. 易错点03：求中位数、百分位数时忽略数据顺序 11．（2024·上海宝山·一模）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可. 【详解】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，， 共个数，则， 所以这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 12．以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】B 【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案. 【详解】因为人成绩的第百分位数是， 而，即第位与第位的平均值， 所以是这人成绩的第百分为数. 故选：B. 13．（2025·上海崇明·二模）某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解. 【详解】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即， 故答案为：7. 14．（24-25闵行高二期末）已知，且的中位数为1，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据题意判断出，再分别讨论和即可求解. 【详解】因为，所以，又的中位数为1，所以， 当时，分别为，则中位数为，不符合题意； 当时，，则中位数为，解得. 故选：B 15．从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数公式求出平均数，根据中位数和众数定义，找到和，从而可以比较大小 【详解】平均数， 数据从小到大排列为：，第五个数为79，第六个数为81，所以中位数， 出现次数最多的是众数，所以众数， 所以. 故选：C. 16.四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再利用第30百分位数的定义求出结果. 【详解】残次品的个数由小到大排列为：3，4，5，6，7，8，9，10， 由，得该组样本数据的第30百分位数为5. 故选：A. 易错点04：对频率分布直方图中的数据特征理解不透 17.某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（    ） A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过 C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间 D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间 【答案】C 【分析】首先根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为求出的值，再分别求出100户居民的月均用水量的中位数，平均数，极差等即可判断. 【详解】由频率分布直方图可知， ， 解得， 对于A，月均用水量在的频率为， 月均用水量在的频率为， 所以100户居民的月均用水量的中位数在，故A错误； 对于B，因为100户居民的月均用水量低于16.2的用户的频率为 ， 所以100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例为，故B错误； 对于C，由图知，极差的最大值为，最小值为， 所以100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间，故C正确； 对于D，100户居民的月均用水量的平均值为 t，故D错误. 故选：C. 18．（2024高三·全国·专题练习）某校高三年级共800名学生，将其期中考试的数学成绩进行适当分组后，得到频率分布直方图如图所示．若要从这800人中按分数从高到低录取72人组成数学兴趣小组，则录取分数线估计为（    ）    A．105分 B．108分 C．110分 D．112.5分 【答案】B 【分析】方法一：根据频率之和为1得到方程，求出，从而得到取分数线在区间内，设录取分数线为分，得到方程，解得； 方法二：求出分数不低于110分的人数为，排除C，D；分数在内的人数大于120，估计分数不低于105分的人数大于，排除A，得到答案. 【详解】方法一：因为， 解得，分数在内的人数为， 分数在内的人数为， 由于，故录取分数线在区间内． 设录取分数线为分，则，解得； 方法二：排除法， 分数不低于110分的人数为，排除C，D． 分数在内的人数是分数在内的人数的三倍以上， 即分数在内的人数大于120， 因此估计分数不低于105分的人数大于，排除A． 故选：B． 19．（2024高三·全国·专题练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率 . 【答案】 【分析】先根据左边的频率分布直方图得到，再根据右边的频率分布直方图可得. 【详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， 由右边的频率分布直方图可得. 故答案为： 20.某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（   ） A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】C 【分析】A选项，根据频率分布直方图的性质计算； B选项，先判断出分位数所在的区间，然后列方程计算； C选项，先算出样本数据中不及格的频率，由此估计全市学生不及格的人数； D选项，根据题意中的平均数的计算要求进行计算. 【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，， 解得，A选项错误； B选项，前个矩形条的面积为， 前个矩形条的面积为：， 故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为， 于是，解得，B选项错误； C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：， 于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项正确； D选项，由题意，平均数为： ，D选项错误. 故选：C. 易错点05：混淆函数关系和相关关系而出错 21．（2025·上海黄浦·二模）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 22．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 23．（23-24高二上·上海·课后作业）两个变量x与y之间的回归方程（    ） A．表示x与y之间的函数关系； B．表示x与y之间的不确定关系； C．反映x与y之间的真实关系； D．是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 【答案】D 【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解. 【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合． 故选：D. 24．（2024·上海徐汇·二模）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时，y的预测值为2.2 C．样本数据y的第40百分位数为1 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 【答案】D 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，进一步可得回归方程，由此即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 对于B，当时，y的预测值为，故B错误； 对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确. 故选：D. 25．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 易错点06：忽视与回归直线有关的概念 26. （2023杨浦二模）对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C. 最小 D. 最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的求解即可知. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 故选：D 27．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 【答案】C 【分析】设变量，的平均数分别为，，分析可知，.对于AB：根据相关系数的计算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断. 【详解】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点， 即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变， 所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 28．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可. 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 29.用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ） A． B． C．35 D．21 【答案】B 【分析】求出，即，得到答案. 【详解】由题意得， 故， 即， 故，解得. 故选：B 易错点07：求解独立性检验问题对的值理解不准确 30．（24-25高三上·上海·单元测试）对于独立性检验，下列说法中错误的是（    ） A．的值越大，说明两事件相关程度越大 B．的值越小，说明两事件相关程度越小 C．时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关 D．时，则可以大概率认为事件与有关 【答案】C 【分析】结合观测值计算公式，因越大，的值就越大，从而两事件关系越强，否则越弱；理解观测值的意义可知，当时，零假设不成立，即认为事件与有关，否则当时，没有充分理由说明零假设不成立，即认为事件与无关. 【详解】对于A,B,因观测值，的值越大，越大，事件A与事件B关系越强；反之，事件A与事件B关系越弱,故A,B项均正确； 对于C，D，因只有时，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关，而，故C错误；D正确. 故选：C. 31．设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 【答案】D 【分析】根据独立性检验的概念以及计算步骤，可得答案. 【详解】依题意，，因此有95%的把握反驳， 故选：D. 32．某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（    ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】D 【分析】根据独立性检验可得正确选项. 【详解】依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”， 则选项D正确，其余都是错误的. 故选：D. 33．（2025·上海长宁·二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解. 【详解】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 34.一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据： 7天内未痊愈 7天内痊愈 对照组 30 170 实验组 20 280 根据表格数据，下列结论正确的是（    ） 参考公式及数据：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关 【答案】C 【分析】求出卡方值，和6.635，10.828比较即可根据小概率值的独立性检验判断. 【详解】，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响， 因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误. ，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有关， 因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误. 故选：C. 35．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．    (1)求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（同一组中数据用该组区间的中点值作代表） (2)把年龄在的居民称为青年组，年龄在的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为阅读方式与年龄有关联？ 单位：人 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 中老年 合计 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)a的值为0.035，通过电子阅读的居民的平均年龄为41.5岁 (2)列联表见解析，能认为阅读方式与年龄有关联 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为得到方程求出，再根据频率分布直方图中平均数的求法计算可得； （2）首先完善列联表，再计算卡方，即可判断. 【详解】（1）由题图可得，，解得． 各组的频率依次为，，，，， 所以通过电子阅读的居民的平均年龄为: （岁）． 所以a的值为，通过电子阅读的居民的平均年龄为岁． （2）因为200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为， 所以通过电子阅读的有150人，通过纸质阅读的有50人． 因为年龄在的居民称为青年组，年龄在的居民称为中老年组， 所以电子阅读的青年有（人）， 中老年有（人）． 补全列联表如下：(单位：人) 年龄分组 阅读方式 合计 电子阅读 纸质阅读 青年 90 20 110 中老年 60 30 90 合计 150 50 200 零假设为：阅读方式与年龄无关． 根据表中数据，计算得． 所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为阅读方式与年龄有关联． 36．（2024·上海奉贤·二模）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次空气质量等级　　　 1（优） 3 18 25 2（良） 6 14 3（轻度污染） 5 5 6 4（中度污染） 6 3 0 (1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平） 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 附：，. 【答案】(1)350 (2)列联表见解析，一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 【分析】（1）根据加权平均数公式计算即得； （2）根据表格信息完成列联表，计算出的值，将其与小概率对应的比较即得结论. 【详解】（1）由题知，一天中到该公园锻炼的平均人次约为：，即一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为. （2）根据所给数据，计算出，则完成列联表为： 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 36 39 75 空气质量不好 19 6 25 总计 55 45 100 假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.                   ，                                         由可得，原假设不成立， 即一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$