专题11： 导数（十大易错点通关训练）——2025年高考数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（十一） 导 数 易错点01：对导数的概念理解不到位 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D． 【例2】设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导函数的定义可得答案. 【详解】因为， 所以， 即. 故选：C 【跟踪训练】 1.如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 2.已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 所以， 故选：B 易错点02：错用函数的求导法则 【例3】函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解. 【详解】依题知，，即， 由求导公式：， 复合函数的求导法则：设，则 得：， 故选：D. 【例4】函数 的导数为 ． 【错解】 【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即． 【正解】 【例5】设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ等于(　 ) A．－ B．－ C．－ D． 【错解一】选D　由题意得f′(x)＝sin(x＋φ)，则g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)+sin(x＋φ)＝2cos（x＋φ－），因为函数g(x)为偶函数，所以φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝. 【错解二】选C　由题意得f′(x)＝－sin(x＋φ)，则g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝cos（x＋φ＋），因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－. 【错因】f(x)的导函数求错，f′(x)=－sin(x＋φ)， 【正解】选A　由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cosx＋φ＋， 因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－. 【跟踪训练】 1.函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 2.函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 3.下列求导运算过程中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的求导法则逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选:A. 易错点03：切线问题中忽视切点的位置 注意：曲线在点处的切线” 为切点且在曲线上，而“过点的切线”仅能说明点在曲线的切线上 【例6】已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．0 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得. 【详解】由题意可得， 根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得； 所以切点为，代入切线方程可得，解得. 故选：C 【例7】过点与曲线相切的直线方程为______． 【答案】 【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程. 【详解】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 【例8】过坐标原点作曲线的切线，则切线有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入方程，即可求得答案. 【详解】由可得， 过坐标原点作曲线的切线，设切点为，则切线斜率为， 切线方程为，又， 所以，即， 所以，即切线有1条. 故选：B. 【跟踪训练】 1.过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 2.若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率. 【详解】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 因此可得，即可得. 故选： 3.若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出切线方程，然后对进行讨论即可. 【详解】设切点为 , 对 求导可得： , 切线的斜率为 , 可得切线方程为： , 把点 代入可得 , 化为 , 令 , , 令得;令得 所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减, 可得 时函数 取得极大值. 当 时, , 当 时, . 时， 与函数 的图象最多有一个交点, 不符合题意, 舍去. 时, 由过点 可以作曲线 的两条切线, 与函数 的图象有两个交点, . 故选：C. 4.函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积. 【详解】因为，则，可得， 即切点坐标为，切线斜率为2， 则切线方程为，其与x轴交点为， 所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为. 故选：B. 易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域 【例9】函数y＝－＋3ln x的单调递增区间为________． 【错解】由已知得y′＝＋＝，令>0，解得x>－，故该函数的增区间为. 【错因】没考虑函数y＝－＋3ln x的定义域， 【正解】函数y＝－＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝＋＝，令>0， 解得x>－，故函数的增区间为(0，＋∞). 【例10】已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间． 【详解】由得：，即的定义域为； 因为， 所以当时，；当时，； 所以的单调递增区间为． 故选：A. 【跟踪训练】 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2.函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：D 易错点05：混淆函数的单调区间与函数在区间上单调 【例11】已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，则(　 ) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D．a∈(－∞，3] 【错解】选A　因为f′(x)＝＋2x＋a，又f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，所以f′(x)＝＋2x＋a≤0在区间上恒成立，即不等式a≤－2x－在区间上恒成立，令g(x)＝－2x－，易知g(x)在区间上单调递增，在上单调递减，又g＝g(1)＝－3，所以g(x)>－3，则a≤－3. 【错因】混淆函数的单调区间与函数在区间上单调， 【正解】选B　因为f′(x)＝＋2x＋a，又f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，即f′(x)＝＋2x＋a<0的解集为，所以不等式2x2＋ax＋1<0的解集为，所以，1是 2x2＋ax＋1=0的两根，所以＋1＝－，解得a＝－3. 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax在区间上单调递减，则(　 ) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D．a∈(－∞，3] 【错解】选B　因为f′(x)＝＋2x＋a，又f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，即f′(x)＝＋2x＋a<0的解集为，所以不等式2x2＋ax＋1<0的解集为，所以，1是 2x2＋ax＋1=0的两根，所以＋1＝－，解得a＝－3. 【错因】混淆函数的单调区间与函数在区间上单调 【正解】选A　因为f′(x)＝＋2x＋a，又f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，所以f′(x)＝＋2x＋a≤0在区间上恒成立，即不等式a≤－2x－在区间上恒成立，令g(x)＝－2x－，易知g(x)在区间上单调递增，在上单调递减，又g＝g(1)＝－3，所以g(x)>－3，则a≤－3. 易错点06：已知单调性求参数取值范围忽视等号 【例12】若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D．(－∞，2) 【错解】选B　由f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4>0在(0,2)上恒成立，即a>－在(0,2)上恒成立．令g(x)＝－，x∈(0,2)，则g′(x)＝＋>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)<－＝2，故a>2，故实数a的取值范围为(2，＋∞)． 【错因】若f(x)在区间(0,2)上单调递增，应令f′(x)≥0在(0,2)上恒成立． 【正解】选A　由f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0,2)上恒成立，即a≥－在(0,2)上恒成立．令g(x)＝－，x∈(0,2)，则g′(x)＝＋>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)<－＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，＋∞)． 【跟踪训练】 1．已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 2．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出的单调递减区间，由定义域及不等式求得的取值范围. 【详解】函数，则. 因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，解得，所以是的子区间， 所以，解得. 故选：A. 3．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 易错点07：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清 注意：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负 【例13】如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，是增函数 B．当时，取到极小值 C．在区间上，是减函数 D．在区间上，是增函数 【答案】D 【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可; 对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断. 【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确． 故选：D. 【跟踪训练】 1.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（     ） A．的极大值为，极小值为 B．的极大值为，极小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极大值为，极小值为 【答案】D 【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值. 【详解】当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 故三次函数在上单调递增，在上单调递减， 可得的极大值为，极小值为. 故选：D. 2.函数的图象如图，则导函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原函数的单调性和导函数的关系即可求解. 【详解】由导数的几何意义可知，为常数，且. 故选：. 易错点09：混淆极值点与导数等于零的点的区别 导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反. 注意：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 【例14】已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断. 【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【例15】已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得最大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答. 【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确； 在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确. 故选：D 【跟踪训练】 1已知函数的导函数，若在处取到极小值，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】对参数进行分类讨论，在每种情况下分别判断函数的极值，进而找出符合题干条件的情况，最终求出参数的取值范围. 【详解】已知，解得或. 若时，则恒成立，即此时为常数，没有极值，故； 若时，则，此时函数在定义域内单调递减，没有极值，故； 若时，由，得，此时单调递增， 由，得或，此时函数单调递减， 即函数在处取得极大值，不满足条件； 若，由，得，此时单调递增， 由，得或，此时函数单调递减， 即函数在处取得极小值，满足条件； 若，由，得或，此时单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 即函数在处取得极大值，不满足条件. 综上所述参数的取值范围是. 故答案为： 2.已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解. 【详解】， 由题意可知，，得或， 当时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极小值，故， 时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极大值，故. 故选：C 易错点09：由函数的极值求参数取值时没有验证致错 【例16】已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝(　 ) A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 【错解】选C　因为f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得 即解得或故m＋n＝4或11. 【错因】没有把求出m，n的值代会检验， 【正解】选B　因为f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得 即解得或 当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合题意，舍掉； 当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，得x<－3或x>－1；令f′(x)<0，得－3<x<－1.所以f(x)在(－∞，－3)，(－1，＋∞)上单调递增， 在(－3，－1)上单调递减，符合题意．则m＋n＝2＋9＝11. 【例17】若是函数的极值点，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或2 【答案】B 【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案. 【详解】， 由题意可知或. 当时，， 令，解得或，函数在和上单调递增； 令，解得，函数在上单调递减， 所以是函数的极值点符合题意； 当时，， 所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 故选：B. 【跟踪训练】 1．若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 易错点10：判断函数零点个数时画图出错 【例18】已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【详解】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解. 【跟踪训练】 1.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数与方程的关系，将问题等价为函数图象求交点，利用导数研究函数的单调性与最值，作出图象，可得答案. 【详解】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点． 对求导得，令，解得， 则当时，，单调递减且，当时，，单调递增， 则，作出函数的大致图象和直线，如图所示： 故的取值范围为． 故选：A． 一、选择题 1.设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】． 故选：A 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【详解】由，则. 故选：D. 3.下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导法则依次计算得到答案. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，错误. 故选：B 4.已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，所以，解得， 所以切点为. 故选：A 5.经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 6.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时；当时， 显然的单调递增区间为． 故选：D 7.函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再根据导函数小于0得出函数的减区间即可. 【详解】，则， 由，得，所以单调递减区间是. 故选:D． 8.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D 9．若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 10.已知是函数的导函数，函数. 的图象如图所示，则的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取和，根据函数图像得到导函数的符号，进而判断原函数单调性，再逐一对照选项即可． 【详解】当时，由图象可得，则， 故在上单调递减，可知A、D错误； 当时，由图象可得，则， 故在上单调递减，可知B错误； 故选：C. 11.已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是 【错解】选 【错因】概念不清，凭空乱猜 【正解】由导函数的图像，可得：当时，，当时， ，且开口向下；则在上递减，在上递增，在递减；故选A． 12.函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ） 【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合． 13.已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解. 【详解】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D 14.已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 15.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出的单调递减区间，由定义域及不等式求得的取值范围. 【详解】函数，则. 因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，解得，所以是的子区间， 所以，解得. 故选：A. 16.若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 17.已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围. 【详解】当时，， 所以在区间上，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，. 当时，，令解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，， 由此画出、的大致图象如下图所示， 函数有三个零点，等价于与图象有三个交点， 所以的取值范围是. 故选：C.    【点睛】易错点睛：在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置. 二、填空题 18.直线与曲线相切，则________. 【答案】 【分析】设切点，根据导数几何意义可得切线方程，由此可构造方程求得结果. 【详解】设直线与曲线相切于点， ，，切线方程为：，即， ，解得：，. 故答案为：. 19.过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程. 【详解】，， 设切点坐标为，则切线斜率为，得方程， 代入点，得，即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为. 故答案为：（或）. 20.已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】可转化为在上，，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得解 【详解】，，使得成立等价于在上， ． 易得，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为， ∴，即实数的取值范围是． 故答案为： 21.若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围为________． 【答案】∪(0，＋∞)． 【解析】因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立．令G(x)＝－，所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1， 因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 22.若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在 [－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤. 三、解答题 23.已知函数． (1)若，求的单减区间. (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若函数在区间上存在减区间，求的取值范围 (4)若函数在区间上不单调，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求导，利用导数求单调区间； （2）分析可得：对恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算； （3）分析可得：，使得成立，根据存在性问题结合二次函数分析运算； （4）分析可得：，使得成立，根据零点问题结合二次函数分析运算； 【详解】（1）若，则， 可得的定义域为，且， 令，则 故的单减区间为. （2）∵，则， 若函数在区间上单调递增，等价于对，恒成立， 可得对恒成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. （3）由（2）可得：， 若函数在区间上存在减区间，等价于，使得成立， 可得，使得成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. （4）由（2）可得：， 若函数在区间上不单调，等价于，使得， 可得，使得成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. 24.已知，. （1）讨论单调性； （2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）求出导函数，对m讨论，得到单调性； （2）当时，先求出，由题意，原不等式等价于，，利用导数求出，进而求出m的范围. 【详解】（1），所以当时，有恒成立，在单调递增，当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减； （2）当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，， 所以在上单增，所以， 则有， 设，则， 在定义域内为减函数， 又，所以， 即的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（十一） 导 数 易错点01：对导数的概念理解不到位 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【例2】设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 2.已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 易错点02：错用函数的求导法则 【例3】函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【例4】函数 的导数为 ． 【例5】设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ等于(　 ) A．－ B．－ C．－ D． 【跟踪训练】 1.函数的导数为（    ） A． B． C． D． 2.函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3.下列求导运算过程中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 易错点03：切线问题中忽视切点的位置 注意：曲线在点处的切线” 为切点且在曲线上，而“过点的切线”仅能说明点在曲线的切线上 【例6】已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．0 【例7】过点与曲线相切的直线方程为______． 【例8】过坐标原点作曲线的切线，则切线有（    ）条 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2.若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 3.若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4.函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D．1 易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域 【例9】函数y＝－＋3ln x的单调递增区间为________． 【例10】已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2.函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 易错点05：混淆函数的单调区间与函数在区间上单调 【例11】已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，则(　 ) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D．a∈(－∞，3] 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax在区间上单调递减，则(　 ) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D．a∈(－∞，3] 易错点06：已知单调性求参数取值范围忽视等号 【例12】若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D．(－∞，2) 【跟踪训练】 1．已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点07：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清 注意：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负 【例13】如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，是增函数 B．当时，取到极小值 C．在区间上，是减函数 D．在区间上，是增函数 【跟踪训练】 1.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（     ） A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极大值为，极小值为 2.函数的图象如图，则导函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 易错点08：混淆极值点与导数等于零的点的区别 导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反. 注意：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断 【例14】已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例15】已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得最大值 D．在处取得极大值 【跟踪训练】 1已知函数的导函数，若在处取到极小值，则的取值范围是______. 2.已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 易错点09：由函数的极值求参数取值时没有验证致错 【例16】已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝(　 ) A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 【例17】若是函数的极值点，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或2 【跟踪训练】 1．若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 易错点10：判断函数零点个数时画图出错 【例18】已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、选择题 1.设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 5.经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 7.函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 8.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 9．若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10.已知是函数的导函数，函数. 的图象如图所示，则的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 11.已知函数f（x）的导函数的图像如左图所示，那么函数的图像最有可能的是 12.函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ） 13.已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 14.已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17.已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18.直线与曲线相切，则________. 19.过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______． 20.已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______． 21.若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围为________． 22.若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________． 三、解答题 23.已知函数． (1)若，求的单减区间. (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若函数在区间上存在减区间，求的取值范围 (4)若函数在区间上不单调，求的取值范围； 24.已知，. （1）讨论单调性； （2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$