高频考点03 复数（专项训练）（上海专用）2027年高考数学二轮复习讲练测

高频考点03 复数 内容概览 01命题探源·考点解密（分析近3年高考考向与命题特征） 02根基夯实·技巧归纳（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+6道高考预测题，高考必考·（4-5）分） 考点一 复数的分类 命题点 已知复数的类型求参数（新定义问题） 高考预测题2道 考点二 复数的模 命题点1 求复数的模 命题点2 与复数摸有关的轨迹问题 高考预测题2道 考点三 复数的四则运算 命题点1 复数的乘除 命题点2 共轭复数 高考预测题2道 04好题速递·分层闯关（精选9道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 模块 考频 核心考向 命题特征 概念与表示 3年3考 实部与虚部、纯虚数、复数相等、共轭 以含参形式出现，考“实部、虚部分别满足什么” 四则运算 3年3考 加减乘除、i 的幂、分母实数化 运算量小、符号多，除法是主要失分点 模与共轭 3年3考 求模、求共轭、模的性质 常用模的平方把根号化为整式，减少出错 几何意义与方程 3年2考 复平面上的点与轨迹、实系数二次方程的虚根 与解析几何的“距离”语言相通；虚根成对共轭 （一）i 的幂与四个速算 i 的幂以 4 为周期，按指数除以 4 的余数直接取结果： 指数除以 4 的余数 结果 示例 余 0 1 i 的 4 次幂等于 1 余 1 i i 的 5 次幂等于 i 余 2 负 1 i 的 6 次幂等于负 1 余 3 负 i i 的 7 次幂等于负 i 四个速算结果同样要背：1 加 i 的平方等于 2i；1 减 i 的平方等于负 2i；1 加 i 除以 1 减 i 等于 i；1 减 i 除以 1 加 i 等于负 i。这四个结果覆盖了上海卷除法题的大半。 （二）共轭与模的三条性质 设 z 等于 a 加 bi，则其共轭为 a 减 bi，模为实部与虚部平方和开方： 第三条最有用：凡是出现模的平方，都可以用 z 乘共轭代替，立刻去掉根号。由它还能得到倒数的写法： 积与商的模也保持运算：两个复数相乘，模相乘；相除，模相除。这条性质在只求模、不求具体复数时最省力。 （三）除法与分母实数化 复数除法的标准动作是分子分母同乘分母的共轭，把分母变成实数： 乘完之后，分母是 c 平方加 d 平方，是实数；分子按多项式乘开，再用 i 的平方等于负一整理，最后按实部、虚部拆成两项。只乘分子不乘分母，是最常见的错误。 （四）几何意义的三条结论 复数 z 对应点 Z，则模就是距离。三条结论覆盖了绝大多数轨迹题： 　表示以定点为圆心、r 为半径的圆。 　表示两点连线的垂直平分线。 　表示以原点为圆心、r 为半径的圆。 注意第二个式子的几何含义：不是中垂线上的“某一段”，而是整条直线；求参数范围时，要把这条直线与题目给定的区域一起考虑。 （五）实系数二次方程的虚根 实系数一元二次方程在判别式小于零时没有实根，但在复数范围内有两个共轭虚根，求根公式照常使用： 并且韦达定理仍成立：两根之和等于负 a 分之 b，两根之积等于 a 分之 c。这一条在“已知一根求另一根”的题型里可以直接用，不必代入求根公式。 考点一 复数的分类 第一步写成标准形式 a 加 bi；第二步指出实部与虚部，注意虚部不含 i；第三步按题意列条件：相等就分别相等，纯虚数就实部为零且虚部不为零；第四步回代检验，尤其是纯虚数要排除零。 命题点 已知复数的类型求参数（新定义问题） 【典例01】（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 高考预测题 1．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 考点二 复数的模 求模：写出实部与虚部，平方和开方；若题中已有模的平方，优先用共轭乘积。 命题点01 求复数的模 【典例01】（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【典例02】（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 命题点02 与复数摸有关的轨迹问题 【典例01】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 高考预测题 1．已知复数，则________． 2．已知复数满足，，则的最小值是________． 考点三 复数的四则运算 加减直接合并同类项；乘法先展开再换 i 的平方；除法先乘共轭再看能否约分；i 的高次幂先按 4 取余再算。四步都不涉及技巧，出错多半是跳步。 命题点01 复数的乘除 【典例01】（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 命题点02 共轭复数 【典例01】（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 高考预测题 1．已知，则实数_________. 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 3．（2025·上海·模拟预测）已知复数满足(为虚数单位)，则_____. 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 5．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 6．（2025·上海·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 7．（26-27高三上·上海浦东新·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为______. 8．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）为虚数单位，若复数满足，则的最小值为________. 9．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为__________． 1．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 2．复平面内存在复数，对应的三点，若点可与共圆，则下列复数中可以表示为的是（　　） A． B． C． D． 3．已知复数，，其中，为实数，“为纯虚数”是“”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 4．若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（    ） A． B． C． D．5 5．如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 6．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 7．已知，对于所有满足的复数，都有的最大值与的最小值相同，则________． 8．已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是_________. 9．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________ 10．已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点03 复数 内容概览 01命题探源·考点解密（分析近3年高考考向与命题特征） 02根基夯实·技巧归纳（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+6道高考预测题，高考必考·（4-5）分） 考点一 复数的分类 命题点 已知复数的类型求参数（新定义问题） 高考预测题2道 考点二 复数的模 命题点1 求复数的模 命题点2 与复数摸有关的轨迹问题 高考预测题2道 考点三 复数的四则运算 命题点1 复数的乘除 命题点2 共轭复数 高考预测题2道 04好题速递·分层闯关（精选9道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 模块 考频 核心考向 命题特征 概念与表示 3年3考 实部与虚部、纯虚数、复数相等、共轭 以含参形式出现，考“实部、虚部分别满足什么” 四则运算 3年3考 加减乘除、i 的幂、分母实数化 运算量小、符号多，除法是主要失分点 模与共轭 3年3考 求模、求共轭、模的性质 常用模的平方把根号化为整式，减少出错 几何意义与方程 3年2考 复平面上的点与轨迹、实系数二次方程的虚根 与解析几何的“距离”语言相通；虚根成对共轭 （一）i 的幂与四个速算 i 的幂以 4 为周期，按指数除以 4 的余数直接取结果： 指数除以 4 的余数 结果 示例 余 0 1 i 的 4 次幂等于 1 余 1 i i 的 5 次幂等于 i 余 2 负 1 i 的 6 次幂等于负 1 余 3 负 i i 的 7 次幂等于负 i 四个速算结果同样要背：1 加 i 的平方等于 2i；1 减 i 的平方等于负 2i；1 加 i 除以 1 减 i 等于 i；1 减 i 除以 1 加 i 等于负 i。这四个结果覆盖了上海卷除法题的大半。 （二）共轭与模的三条性质 设 z 等于 a 加 bi，则其共轭为 a 减 bi，模为实部与虚部平方和开方： 第三条最有用：凡是出现模的平方，都可以用 z 乘共轭代替，立刻去掉根号。由它还能得到倒数的写法： 积与商的模也保持运算：两个复数相乘，模相乘；相除，模相除。这条性质在只求模、不求具体复数时最省力。 （三）除法与分母实数化 复数除法的标准动作是分子分母同乘分母的共轭，把分母变成实数： 乘完之后，分母是 c 平方加 d 平方，是实数；分子按多项式乘开，再用 i 的平方等于负一整理，最后按实部、虚部拆成两项。只乘分子不乘分母，是最常见的错误。 （四）几何意义的三条结论 复数 z 对应点 Z，则模就是距离。三条结论覆盖了绝大多数轨迹题： 　表示以定点为圆心、r 为半径的圆。 　表示两点连线的垂直平分线。 　表示以原点为圆心、r 为半径的圆。 注意第二个式子的几何含义：不是中垂线上的“某一段”，而是整条直线；求参数范围时，要把这条直线与题目给定的区域一起考虑。 （五）实系数二次方程的虚根 实系数一元二次方程在判别式小于零时没有实根，但在复数范围内有两个共轭虚根，求根公式照常使用： 并且韦达定理仍成立：两根之和等于负 a 分之 b，两根之积等于 a 分之 c。这一条在“已知一根求另一根”的题型里可以直接用，不必代入求根公式。 考点一 复数的分类 第一步写成标准形式 a 加 bi；第二步指出实部与虚部，注意虚部不含 i；第三步按题意列条件：相等就分别相等，纯虚数就实部为零且虚部不为零；第四步回代检验，尤其是纯虚数要排除零。 命题点 已知复数的类型求参数（新定义问题） 【典例01】（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 高考预测题 1．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 2．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 【答案】A 【详解】由题意，设，则， ∴，， ∵是实数， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：A 考点二 复数的模 求模：写出实部与虚部，平方和开方；若题中已有模的平方，优先用共轭乘积。 命题点01 求复数的模 【典例01】（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【详解】， 故． 故答案为：. 【典例02】（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 命题点02 与复数摸有关的轨迹问题 【典例01】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 高考预测题 1．已知复数，则________． 【答案】 【详解】， . 2．已知复数满足，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】设，其中，则其共轭复数，，， 两式相等，可得，即，因此或. 由复数模的定义，，两边平方得， 表示复平面上以原点为圆心，半径为的圆及其内部， ，表示复平面上点到定点的距离，， 当时，点在虚轴上，满足的点到的最小距离为， 当时，点在实轴上，满足的点到的最小距离为， 比较，因此的最小值为. 考点三 复数的四则运算 加减直接合并同类项；乘法先展开再换 i 的平方；除法先乘共轭再看能否约分；i 的高次幂先按 4 取余再算。四步都不涉及技巧，出错多半是跳步。 命题点01 复数的乘除 【典例01】（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 命题点02 共轭复数 【典例01】（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 【答案】 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 高考预测题 1．已知，则实数_________. 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 所以，故. 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故. 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】设，则， 若，取，则，所以， 所以不能推出； 若，则，所以， 所以，化简可得， 所以或， 所以或，所以成立，所以可以推出； 所以""是""的必要非充分条件. 故选：B. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段上取等号， ，且， ，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 3．（2025·上海·模拟预测）已知复数满足(为虚数单位)，则_____. 【答案】 【详解】因为，则. 所以. 故答案为： 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 【答案】 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，则， 所以 故答案为：. 5．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 【答案】 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    故答案为： 6．（2025·上海·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】由，则，故. 故答案为： 7．（26-27高三上·上海浦东新·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为______. 【答案】 【详解】由题知：，因为均为实数，故另一根为， 所以， 所以. 8．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）为虚数单位，若复数满足，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设复数，则， ， 则的几何意义是： 点到点与点的距离之和为2026. 又， 即，因此点的轨迹是线段， 又表示点到原点的距离. 如图： 由图可知，当时，取得最小值， 根据三角形等面积法有，， ， 即的最小值为. 9．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为__________． 【答案】10 【详解】 ， 对比系数可得，， ，， 复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点 情况1，四个根两两互为共轭复数，故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，， ，， ， 类似计算可得， ，， 因为， 所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个， 情况2，四个根有2个为实数，另外2个为共轭复数故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，，，， 计算可得，， ，， 因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性， 从而可得，此时集合的个数为5个， 综上：满足条件的不同的个数为10. 故答案为：10. 1．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 【答案】C 【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个. 故选：C 2．复平面内存在复数，对应的三点，若点可与共圆，则下列复数中可以表示为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由已知可得， 则点均在以原点为圆心且半径为1的单位圆上， 若点可与Z1.Z2.Z3共圆，则， 对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：D 3．已知复数，，其中，为实数，“为纯虚数”是“”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【详解】由复数，可得， 若为纯虚数，可得，所以，其中，所以充分性成立； 反之：若，则， 当时，；当时，为纯虚数，所以必要性不成立， 所以“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 4．若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意得复数，在复平面内对应的点分别为，， 由于，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形， 如图所示，复数在复平面内对应的点为或， 显然两种情况对应的值相等，不妨只考虑对应点的情况， 过点作轴于点， 由于，则，， 故点的坐标为，因此． 5．如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【答案】A 【详解】令. 因为，所以. 又， 所以. 设，则，， 所以，. 代入得，，即， 也即， 因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，， 所以，则，焦距. 所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆. 故选：A. 6．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 7．已知，对于所有满足的复数，都有的最大值与的最小值相同，则________． 【答案】8 【详解】由可知，复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 的几何意义是圆上的点到定点的距离，点到圆心的距离， 因此圆上点到的最大值为， 的几何意义是圆上的点到定点的距离， 点到圆心的距离，因此圆上点到的最小值为， 由题意得，解得或， 又，所以． 8．已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是_________. 【答案】 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. 9．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________ 【答案】 【详解】不妨设，， 因为是实系数一元二次方程的一个虚数根， 所以也是的一个虚数根， 从而  ①， 又因为无实根， 所以  ②， 由①②可得，， 因为，所以， 由一元二次函数性质易知， 当时，有最小值5；当时，；当时，， 故当时，，即， 故向量的取值范围为：. 故答案为：. 10．已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由，， 所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部， 则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示，    对于集合中，则，结合集合的描述知， 即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集， 对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆， 由，即中对应的轨迹有交点，则能成立， 由上图知，，即， 所以，可得，即. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $