上海市上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期诊断测试数学试卷

2024 学年第二学期上大附中诊断测试 高二年级 数学试卷 (考试时间: 120 分钟 满分: 150 分) 一、填空题： 1.双曲线 �2 − � 2 4 = 1 的焦距是 . 2. 已知直线 l: mx+y-2=0 恒过定点, 则定点坐标是 . 3.已知直线 �1: � − � = 0, �2: � − 3�+ 1 = 0,则 l₁ 与 l₂ 的夹角大小是 4.已知首项为 2的等比数列{bₙ }的公比为 13则 �=1 +∞�� =_______ 5.已知函数 � � = ��cos� + �5,则曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 是 6.已知圆 M : �2 +�2 = 4 和圆 N: �2 + �2 + �+ � = 3 交于 A , B 两点, 则|AB| = 7. 在数列{an}中， �3 = 2, �4 = 1,且 1 �� 为等差数列，则 �5 = _______ 8 .若对于任意实数 x，都有 �4 = �0 +�1 �+ 2 + �2 �+ 2 2 + �3 � + 2 3 + �4 � + 2 4,则 a₃ 的值为 9. 若 �� = 1−2 0 ,�� = 210 ,�� = 11 3 ,则三棱锥 O-ABC 的体积为_____. 10.将甲、乙等 8 人安排在 4 天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同 一天的概率为 (结果用分数表示) 11. 已知平面内两个定点 M(3,0)和点 N(-3,0), P 是动点, 且直线 PM 、PN 的 斜率乘积为常数 a (a≠0),设点 P 的轨迹为 C, ① 存在常数 a (a≠0) , 使 C 上所有点到两点(-4,0)、(4,0)距离之和为定值; ② 存在常数 a (a≠0) , 使 C 上所有点到两点(0,-4)、(0,4)距离之和为定值; ③ 不存在常数 a (a≠0),使 C 上所有点到两点(-4,0)、(4,0)距离差的绝对值为 定值; ④ 不存在常数 a (a≠0),使 C 上所有点到两点(0,-4)、(0,4)距离差的绝对值为 定值;其中正确的命题是 (填出所有正确命题的序号) 12. 设 ��、��、��为空间中三组单位向量，且 �� ⊥ �� , �� ⊥ �� , ��与 ��夹 角为 60°， P 为空间任意一点，且 ∣�� ∣ = 1, 满足 ∣�� ⋅ �� ∣ ≤ ∣�� ⋅ �� ∣ ≤ ∣�� ⋅ �� ∣, 则 ∣�� ⋅ �� ∣最大值为 二、选择题： 13. 点 P 从(1,0)出发, 沿单位圆. �2 + �2 = 1 逆时针方向运动 2� 3 弧长到达点 Q，则 Q的坐标为 ( ) �. − 1 2 3 2 �. − 3 2 1 2 �. − 1 2 − 3 2 �. − 3 2 − 1 2 14.已知抛物线 C: �2 = 8�的焦点为 F ，点 M 在 C上.若 M 到直线 x=-3 的距离为 5，则|MF|= ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 15. 函数 y=f(x)的图像如图所示, y=f'(x)为函数 y=f(x)的导函数, 则不等式 �' � � 0 的解集为 ( ) 16. 已知数列{an}满足 �1 = 1, ��+1 = �� − 1 2 ��2,给出下列四个结论： ① 数列{an}每一项 an 都满足( 0 < �� ≤ 1(n 为正整数)； ② 数列{an}的前 n项和, �� < 2; ③ 数列{an}每一项都满足 �� ≤ 2 �+1 成立； ④ 数列{an}每一项 an 都满足 �� ≥ 1 2 �−1 (n 为正整数). 其中，所有正确结论的序号是 ( ) A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①② 三、解答题： 17.已知数列{an}的前 n项 Sn 和满足 �� = �2 + 2�, n 为正整数. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 1 ����+1 前 200 项和. C. (-3,-1)∪(0,1) D. (--∞,-3)∪(1,+∞) A. (-3,-1) B. (0,1) 18. 如图,在四棱锥 P--ABCD 中,DP⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠ADC=90°,DP=3,CD=2, AB=AD=1, 点 F 为 PD 中点. (1) 求证: 直线 AF //平面 PBC; (2)求点 D到平面 PBC 的距离. 19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取 100 件作为样 本，测得质量差 (零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表： 质量差(单位: mg) 54 57 60 63 66 件数(单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数 x；假设零件的质量差 X ~N(μ,σ²),其中 �2 = 16,用 x作为μ的近似值, 求 P(56<X<68)的值(结果用含. �� � = 1 2 3 的式子表示) (记. �(∣� − �∣ < �) = �1, �(∣� − �∣ < 2�) = �2, � ∣� − �∣ < 3�) = �3 ; (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的 3 4 来自第 1条生 产线.若两条生产线的废品率分别为 0.016 和 0.012，且这两条生产线是否产出废 品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. (i)求抽取的零件为废品的概率； (ii)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第 1条生产线的概率. 20.如图， 已知椭圆 �1: � 8 + � 4 = 1 的两个焦点为. �1、�2,且 �1、�2是双曲线 �2的顶点，双曲线 �2的一条渐近线方程为 y=-x，设 P 为该双曲线] �2上异于顶 点的任意一点，直线 ��1、��2斜率分别为 �1、�2,且直线 ��1和 ��2与椭圆 �1 的交点分别为 A、B和 C、D. (1)求双曲线 �2的标准方程； (2)证明：直线 ��1、��2的斜率之积 �1�2为定值； (3) 求 ∣��∣ ∣��∣ 的取值范围. 21.已知函数. � � = �2 − �� − �, � ∈ �. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若函数 � � = � ⋅ � � 在 � = 1l 处有极值，且关于 x 的方程. � � = �有 3 个不同的实根，求实数 m的取值范围； (3) 记 � � =− ��(e;是自然对数的底数).若对任意 �1、�2 ∈ 0 � 且 �1 > �2 时，均有 ∣� �1 − � �2 ∣ < ∣� �1 − � �2 ∣成立，求实数 a的取值范围.