精品解析：2024年河南省平顶山市鲁山县西北七校中考一模数学试卷

2024年鲁山县西北七校中考一模数学试卷 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 已知的相反数是，则的值是（　　） A. B. 2024 C. D. 2. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ） A. 传 B. 承 C. 文 D. 化 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年春节联欢晚会《山河诗长安》这个节目通过AR技术，让李白穿越时空，乘风而来，饮酒对诗，再现盛世长安的恢弘景象．现将五张分别印有“山，河，诗，长，安”的卡片（卡片的形状、大小一样，质地相同）放入盒中，从中随机抽取一张卡片印有“安”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 8. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如下是小明对“平行四边形的对角线互相平分”的证明过程． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O． 求证：，． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，___________， ∴，， ∴≌， ∴，． 则在“__________”处应该补充的证明过程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A. B. 5 C. 6 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，一束光线与水平地面成照射到地面，现在地面AB上斜放一平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成夹角的度数为__________． 13. 一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为________． 14. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的众数是___________． 读书时间 6小时及以下 7小时 8小时 9小时 10小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 15. 如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 先化简，再求值： ，其中. 17. 为提升学生的核心素养，长沙县某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动．该教育教学联合体的某成员校号召全体师生积极捐书．为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍分为四类：文学类（记作A类），艺术类（记作B类），科普类（记作C类），其他类（记作D类）．学生张华根据收集的数据绘制了如图1，图2所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）木次随机抽样调查的书籍的本数是________本；a=________；D类扇形圆心角的度数等于________°； （2）通过计算，补全图①中的条形统计图． （3）本次活动，该校一共捐书1000本，请你估计文学类的书籍约有多少本？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，． （1）求k的值； （2）求的面积． 19. 如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的底座高米，大臂由和两部分构成，其中米，米，与的固定夹角，，此时测得大臂的前部与的夹角，小臂与地面的夹角．（参考数据：，，，）． （1）求点C到地面的距离．（结果精确到米） （2）已知挖掘机A正前方米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时挖掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段？（结果精确到米） 20. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P=，AD=9，求⊙O的半径． 21. 为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元． （1）求A，B两种奖品的单价． （2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案． 22. 如图，曲线由抛物线与组成，其中是抛物线与轴交点的横坐标．两抛物线交点的横坐标为3． （1）求，的值； （2）补全抛物线的图象； （3）过点作平行于轴的直线与曲线有2个交点，求的取值范围． 23. （1）【基础巩固】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． （2）【尝试应用】如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，则 ． （3）【拓展提高】如图3，菱形的边长为10，，E为上的一点，作交于点F，交于点G，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年鲁山县西北七校中考一模数学试卷 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 已知的相反数是，则的值是（　　） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数，理解相反数的定义，正确解答即可． 【详解】解：因为2024的相反数是， 所以， 故选：B． 2. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：，，n是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n的值，据此解答． 【详解】， 故选：B． 3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ） A. 传 B. 承 C. 文 D. 化 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同类项，完全平方公式，同类二次根等知识解答即可． 【详解】解：，选项A错误，不符合题意； 与无法合并，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同类项，完全平方公式，同类二次根等知识点，熟知相关知识点的运算法则是解题的关键． 5. 2024年春节联欢晚会《山河诗长安》这个节目通过AR技术，让李白穿越时空，乘风而来，饮酒对诗，再现盛世长安的恢弘景象．现将五张分别印有“山，河，诗，长，安”的卡片（卡片的形状、大小一样，质地相同）放入盒中，从中随机抽取一张卡片印有“安”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 根据概率公式用1除以卡片总数5即为所求的答案． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片印有“安”的概率为， 故选：D． 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为： 在数轴上表示为： 故选：B． 7. 对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据新运算可得方程，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：，． 故选：D 8. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图；线段垂直平分线的性质，菱形的性质．菱形的性质，结合三角形的内角和定理求出的度数，根据作图得到在的中垂线上，得到，等边对等角，得到的度数，利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由作图可知，， ， ． 故选：A． 9. 如下是小明对“平行四边形的对角线互相平分”的证明过程． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O． 求证：，． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，___________， ∴，， ∴≌， ∴，． 则在“__________”处应该补充的证明过程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形全等的判定即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，ADBC ， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， ∴△OAD≌△OCB， ∴OA=OC，BO=OD， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形全等的判定方法并灵活运用． 10. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】易证△CFE∽△BEA，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】若点E在BC上时，如图 ∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°， ∴∠CFE＝∠AEB， ∵在△CFE和△BEA中， ， ∴△CFE∽△BEA， 由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时，BE＝CE＝x﹣，即， ∴， 当y＝时，代入方程式解得：x1＝（舍去），x2＝， ∴BE＝CE＝1，∴BC＝2，AB＝， ∴矩形ABCD的面积为2×＝5； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：  ． 12. 如图，一束光线与水平地面成照射到地面，现在地面AB上斜放一平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成夹角的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由入射角等于反射角可得，由平行线的性质得，由对顶角相等得，故，再由光线与水平面成的角度照射地面即可得到答案． 【详解】入射角等于反射角， ， 光线经过平面镜反射后成水平光线平行， ， 又（对顶角相等）， ， ， 光线与水平面成的角度照射地面， ， 故答案为： 【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角相等，三角形外角的性质，掌握入射角等于反射角是解题的关键． 13. 一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等，如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15．图2是这种特殊的三角形幻方，x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出、，即可得到答案． 【详解】解：如图： 由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式加减的应用，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题． 14. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的众数是___________． 读书时间 6小时及以下 7小时 8小时 9小时 10小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 【答案】7 【解析】 【分析】根据众数的定义即可求解． 【详解】解：这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是众数的概念，掌握相关概念是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为_________． 【答案】3或6 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质．分两种情况画图讨论：当时，点在内，当时，点在外，进而解答即可． 【详解】解：，， ， 由折叠可得， ， 当时，点在内（如图所示）， ， ， ， 由折叠得， ， ， ； 当时，点在外， 同理可得， ， ； ． 综上所述：的长为3或6． 故答案为：3或6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 先化简，再求值： ，其中. 【答案】；-4 【解析】 【分析】首先计算括号里面的减法，然后再计算除法，最后再计算减法，化简后，再代入a的值可得答案． 【详解】解：原式= = = = 当a=-时，原式=-4． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值． 17. 为提升学生的核心素养，长沙县某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动．该教育教学联合体的某成员校号召全体师生积极捐书．为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍分为四类：文学类（记作A类），艺术类（记作B类），科普类（记作C类），其他类（记作D类）．学生张华根据收集的数据绘制了如图1，图2所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）木次随机抽样调查的书籍的本数是________本；a=________；D类扇形圆心角的度数等于________°； （2）通过计算，补全图①中的条形统计图． （3）本次活动，该校一共捐书1000本，请你估计文学类的书籍约有多少本？ 【答案】（1）100，25，54； （2） 补全统计图如下： （3）250 【解析】 【分析】（1）由科普类（记作C类）书籍的数量及其所占百分比可得抽取的总数量，再求出A、D类各自所占百分比即可解题； （2）用样本容量减去其他类别的数量即可求出B类书的具体数量，从而补全图形； （3）用总数量乘以样本中文学类书籍数量所占比例可得． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的书有（本）； A类所占百分比为， D类所占百分比为， D类扇形圆心角的度数为， 故答案为：100，25，54； 【小问2详解】 随机抽样调查B类书的数量为（本）； 【小问3详解】 估计文学类（D类）书籍的本数为（本）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，解决问题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，． （1）求k的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）6． 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式确定与坐标轴交点坐标，进而确定点C的坐标，代入反比例函数解析式，确定k值； （2）联立解析式，确定图象交点坐标，运用组合图形思想，的面积． 【小问1详解】 解：，时，，，，故,, 中，，， ∵， ∴． 设，则，解得， ∴． 点C在上，故； 【小问2详解】 联立，解得或． ∴点． ∴的面积． 【点睛】本题考查函数图象交点与方程组的联系，根据点坐标确定解析式，直角坐标系求三角形面积，理解函数图象与方程的联系是解题的关键． 19. 如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的底座高米，大臂由和两部分构成，其中米，米，与的固定夹角，，此时测得大臂的前部与的夹角，小臂与地面的夹角．（参考数据：，，，）． （1）求点C到地面的距离．（结果精确到米） （2）已知挖掘机A正前方米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时挖掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段？（结果精确到米） 【答案】（1）米 （2）不是 【解析】 【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用，过点C，D分别作，，F，M分别为垂足，再过点B，C分别作，，N，H为垂足，根据平行线得到，结合三角函数求解即可得到答案 （2）本题考查解直角三角形的应用与等腰三角形的判定与性质，根据正余弦得到、，再证出为等腰直角三角形即可得到答案； 【小问1详解】 解：过点C，D分别作，，F，M分别为垂足， 再过点B，C分别作，，N，H为垂足，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∴点C到地面AM的距离米； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， ∵，，， ∴， 在中，米， ，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段． 20. 如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P=，AD=9，求⊙O的半径． 【答案】（1）结论：是的切线． 理由：连接． 平分， ， 又， ， ， ， ， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）结论：是的切线．只要证明，推出，即可． （2）由，推出，由此即可计算． 【详解】解：（1）略 （2）在中，，，， ，，设半径为， ， ，即， 解得， 故半径为． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元． （1）求A，B两种奖品的单价． （2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案． 【答案】（1）A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元 （2） 学校有两种购买方案： 方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个； 方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，掌握确定正确的相等关系与不等关系是解题的关键． （1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意：购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种奖品m个，B种奖品个，由题意：B奖品的数量多于A奖品数量的，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 由题意得： ， 解得：， 答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， 由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m可取43或44， ∴或16， ∴学校有两种购买方案： 方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个； 方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个； 22. 如图，曲线由抛物线与组成，其中是抛物线与轴交点的横坐标．两抛物线交点的横坐标为3． （1）求，的值； （2）补全抛物线的图象； （3）过点作平行于轴的直线与曲线有2个交点，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 补全抛物线的图象如图所示； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把代入可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入可求得a的值，再令，解方程即可求得m的值； （2）根据抛物线的顶点坐标，与x轴交点为，经过点A等特征即可补充完整图象； （3）根据抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，曲线C与x轴的交点为和及即可判断k的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵抛物线经过点A， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点坐标， 解方程，得，（舍去）， 抛物线经过点，； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线， ∴其顶点坐标为， ∵，直线与曲线C有2个交点， ∴或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 23. （1）【基础巩固】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． （2）【尝试应用】如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，则 ． （3）【拓展提高】如图3，菱形的边长为10，，E为上的一点，作交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】 （1）证明：， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）先证明，得，再设，则，，即，解之即可求出值，再把值代入比例式中即可求解； （3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到，则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； （3）连接交于，交于， 四边形是菱形， ， ， ， 设，，由勾股定理，得，解得：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $