精品解析：上海市合庆中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试试卷

2026学年第一学期初三数学期中考试试卷 （完卷时间：100分钟 满分：150分） 考生注意：考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A. 2：3 B. ：2 C. 2： D. 15：17 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果抛物线开口朝上，则的取值范围是___________． 8. 函数有最______值．（填“大”或“小”） 9. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是______ 10. 如图，直线////，AC＝10，DE＝3，EF＝2，则AB的长是______． 11. 将抛物线向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 12. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为_______． 13. 点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞2，则与的大小关系是______________．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 14. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 15. 已知二次函数，当时，有最小值，且抛物线与轴两交点间的距离为2，则此二次函数的解析式为___________． 16. 如图，是斜边上的高线，过边上的点作，，过边上的点作，．若，，则的长为___________． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“T点”，为该抛物线的“系数”．已知抛物线表达式为：，那么它的“T系数”为___________． 三．解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点位似的三角形，且与的位似比为． （2）用无刻度直尺在直线上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出点关于对称轴的对称点的坐标． 20. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，的面积为8，求的面积． 21. 【问题情境】厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】如图1，建立基础模型(以为个单位长度) （1）求抛物线． （2）直接写出初始状态下的函数表达式为____________． 【任务二】如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼(支架纵截面为矩形)，需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． （3）直接写出平移后抛物线的函数表达式为_____________． 【任务三】安全空间评估 （4）在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，若任意一条大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 22. 已知：如图，在梯形中，，对角线与交于点，点是边上的中点，连接交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证： 23. 如图在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线且过点，该抛物线的顶点为，与轴交于点，点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，均在抛物线上，当时，求的取值范围． （3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值或取值范围． 24. 如图，在中，点在边上，将沿折叠，使点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）如图，求证：； （2）如图，当时，点在延长线上，若，，求的长； （3）如图，当时，点在边上，若，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期初三数学期中考试试卷 （完卷时间：100分钟 满分：150分） 考生注意：考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式：一般地，形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设参数表示、，代入各选项验证． 【详解】解：∵，∴设，（）， 对A：∵，，∴，成立； 对B：∵，∴等式成立； 对C：∵，∴等式成立； 对D：∵，∴等式不成立． 3. 根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 当时，， 又∵ 当时，， ∴ 方程的一个解的范围是． 4. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ，，，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似； 两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； 故选：A． 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 6. 如图，有公共顶点的正方形和正方形如图摆放，其中点恰在边的四等分点（），连结．则为（　　） A. 2：3 B. ：2 C. 2： D. 15：17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形和正方形的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先连接，求得，再根据，即可求得和，即可得到答案； 【详解】解：连接，如图： ， 设， ∵恰在边的四等分点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，°，， ∴在中根据勾股定理得，， 在中根据勾股定理得，， ∵四边形是正方形， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果抛物线开口朝上，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向上时二次项系数为正，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴二次项系数满足， 解得． 8. 函数有最______值．（填“大”或“小”） 【答案】大 【解析】 【分析】二次项系数的符号决定抛物线的开口方向，当时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；当时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，据此即可解答． 【详解】解：函数的二次项系数，则抛物线开口向下， ∴该函数有最大值． 9. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用黄金分割点的概念进行解答即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分制点，且，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 10. 如图，直线////，AC＝10，DE＝3，EF＝2，则AB的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到答案； 【详解】解：∵////， AC=10，DE=3，EF=2 ∴= ∴ ∴AB=6 故答案为6； 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 11. 将抛物线向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路是先确定原抛物线的顶点坐标，再根据抛物线 “向下平移则顶点纵坐标相应减少” 的规律，计算平移后的顶点坐标．本题考查抛物线的平移规律与顶点坐标，涉及的知识点是抛物线的顶点式与平移性质．解题中用到的方法是顶点式平移法，即通过顶点式分析原顶点，结合 “上加下减” 的平移规则确定新顶点．解题关键是掌握抛物线平移时顶点坐标的变化规律，避免混淆 “上下平移” 对应的坐标轴（误改横坐标）．易错点是将平移方向对应的坐标轴搞反，导致顶点纵坐标计算错误． 【详解】原抛物线 的顶点坐标为 ，向下平移3个单位后，顶点纵坐标减少3，横坐标不变，因此新顶点坐标为 ． 故答案为 ． 12. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质．该多边形的最短边长为．利用相似多边形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：该多边形的最短边长为． 由相似多边形的性质可知：， ， 故答案为：8． 13. 点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞2，则与的大小关系是______________．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 【答案】< 【解析】 【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答． 【详解】∵y＝x2−2x−1＝（x−1）2−2， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∵x2＞x1＞2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 14. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 即 解得：． 15. 已知二次函数，当时，有最小值，且抛物线与轴两交点间的距离为2，则此二次函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可设顶点式简化计算，结合抛物线的轴对称性，由两交点的距离求出与轴的交点坐标，代入解析式即可求得系数． 【详解】解：∵当时，有最小值， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线开口向上． 设二次函数的解析式为， ∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，且两交点间的距离为2， ∴两交点到对称轴的水平距离为， ∴两交点的横坐标分别为，，即交点坐标为，． 将点代入所设解析式得， 解得． 将代入顶点式展开，得． 16. 如图，是斜边上的高线，过边上的点作，，过边上的点作，．若，，则的长为___________． 【答案】 12 【解析】 【分析】由垂直关系和邻边相等判定四边形和为正方形，得出，然后证明，得到，设，则，代入比例式解得的值，即可求得的长． 【详解】解：∵由题意得 ，， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可得四边形为正方形， ∴； 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“T点”，为该抛物线的“系数”．已知抛物线表达式为：，那么它的“T系数”为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】先将抛物线配方为顶点式确定顶点坐标，再根据T点的定义得到T点满足的等量关系，联立抛物线解析式求出异于顶点的T点坐标，最后代入T系数的定义式计算即可． 【详解】解：∵ 抛物线表达式为， ∴ 对其配方得， ∴ 抛物线的顶点坐标为． ∵ T点满足， ∴ 代入，可得，即． ∵ T点是抛物线上异于顶点的点， ∴ 联立方程， 将代入抛物线方程，得， 整理得，因式分解为， 解得，． ∵ 当时，，对应顶点，不符合T点“异于顶点”的要求， ∴ 符合要求的T点为，即， ∴ 该抛物线的T系数为． 三．解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点位似的三角形，且与的位似比为． （2）用无刻度直尺在直线上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）如图1，即为所求． （2）如图1，点D即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可． （2）将转化为，即点D为上靠近B的三等分点．在网格中选取合适的格点，使过A、B的两条竖直格点段长度之比为，连接这两段的外端点所得直线与相交，交点即满足比例要求（依据平行线所成的对顶相似三角形）． 【小问1详解】 解：位似中心为原点，，且与的位似比为．根据位似变换的坐标规律，对应点坐标为原坐标乘以． 点，，， 可得，， 顺次连接、、即得所求三角形． 【小问2详解】 由得，即点D在线段上且为靠近B的三等分点． 在网格中取格点（位于点正上方2个单位处）与格点（位于点正下方1个单位处）． 因为与均垂直于x轴，所以，且，，即． 用无刻度直尺连接P，Q，设直线与交于点D． 由得，， 所以， 从而，即． 故点D即为所求． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出点关于对称轴的对称点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程组求得系数，； 先求出二次函数的对称轴，再利用轴对称的性质计算对称点坐标． 【小问1详解】 解：将，代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由得， ∴ ∴对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则， 解得， ∴点的坐标为． 20. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，的面积为8，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）的面积为50． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质和角度的和差，结合已知的等角关系可推出，，即可证得结论； （2）根据已知等角和对顶角相等，易证，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，的面积为8， ∴， ∴． 21. 【问题情境】厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】如图1，建立基础模型(以为个单位长度) （1）求抛物线． （2）直接写出初始状态下的函数表达式为____________． 【任务二】如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼(支架纵截面为矩形)，需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． （3）直接写出平移后抛物线的函数表达式为_____________． 【任务三】安全空间评估 （4）在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，若任意一条大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）任意一条的最小值为，即，它大于，满足安全要求． 【解析】 【分析】（1）由锅口跨度与锅身最低点确定顶点和抛物线上的点，设出顶点式后代入点的坐标，用待定系数法求二次项系数； （2）上下平移不改变二次项系数，把锅盖经过锅口两端点这一条件代入所设表达式，求出平移量； （3）蒸笼的高就是锅盖向上平移的距离，先把小数化成分数，再与原来的常数项合并； （4）设出点的横坐标，用同一个横坐标表示、的纵坐标，作差得到关于这个横坐标的二次函数，配方求最小值后与题给的安全距离比较． 【小问1详解】 解：∵锅身最低点离锅口，且最低点在轴负半轴上． ∴抛物线的顶点为． 设抛物线的函数表达式为． ∵锅口水平跨度为，原点在锅口中心． ∴． 把代入，得． ∴． ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设初始状态下的函数表达式为． ∵初始状态锅盖刚好严实盖住锅口． ∴锅盖经过与． 把代入，得． ∴． ∴初始状态下的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵蒸笼高，支架纵截面为矩形，下边两端点是、． ∴蒸笼上边两端点为、． ∵锅盖保持形状向上平移后刚好经过、． ∴向上平移了个单位长度，二次项系数不变，常数项增加． ∵． ∴平移后抛物线的函数表达式为． 【小问4详解】 解：设点的横坐标为)． ∵点在平移后的锅盖抛物线上，点在进风口上，且轴． ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为． ∴． ∴． 配方得． ∵在这个范围内． ∴当时，取最小值． ∵． ∴任意一条都大于，满足安全要求． 22. 已知：如图，在梯形中，，对角线与交于点，点是边上的中点，连接交于点，并满足． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． （2） 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据线段中点得出，再由相似三角形的判定和性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质得出，再由（1）得，利用三角形外角的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，继续利用相似三角形的判定得出，再由其性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义、平行线的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 23. 如图在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线且过点，该抛物线的顶点为，与轴交于点，点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，均在抛物线上，当时，求的取值范围． （3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值或取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴得到点的坐标，进而根据待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，得出二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向下，从而可得点关于对称轴对称的点为，再结合题意即可得解； （3）过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于直线对称，则，分三种情况：当时，最高点为点，最低点为点，则，；当时，最高点为顶点，最低点为点，则，；当时，最高点为点，最低点为点，则，；分别结合计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线且过点， ∴ ∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向下，顶点为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵点，均在抛物线上，且， ∴的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于直线对称， 则， 当时，最高点为点，最低点为点， 当时，，即 ∵设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，最高点为顶点，最低点为点， ∵设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，， ∴，， ∵， ∴符合题意； 当时，最高点为点，最低点为点， ∵设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 24. 如图，在中，点在边上，将沿折叠，使点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）如图，求证：； （2）如图，当时，点在延长线上，若，，求的长； （3）如图，当时，点在边上，若，求出的值． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再证明，结合，即可得证； 先证明得出，，再证明，得出，，证明，由相似三角形的性质求出，即可得出结果； 延长，交于点，设，则，则，由四边形为平行四边形，得，，，，证明，求出，，再证明，，求出，，最后再证明即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点， ∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $