加练18 几何探究题-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练18  几何探究题

1．【基础问题】

如图1所示，在△BAC和△DAE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．

①求证：BC＝DE；

②若∠FAE＝60°，求∠FGC的度数；

【应用拓展】

（1）如图2所示，△ACE和△BCD是等腰直角三角形，∠ACE＝∠BCD＝90°，若AD＝6，求四边形ABDE的面积；

（2）如图3所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD＝8，DC＝4，求BD的最大值．

第1题图

2．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．

（1）若∠BDC＝90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是　          　；

（2）如图2，在（1）的条件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的长；

（3）如图3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．

第2题图

3．综合与实践

问题情境：

数学活动课上，老师出示了一个问题：将等边△ABC和等边△DEF纸板按图1所示的方式放置（顶点F与顶点C重合，顶点E在AC边上），E为边AC的中点，连接AD，BE，试猜想AD与BE的数量关系，并说明理由．

数学思考：

（1）请解答老师提出的问题；

深入探究：

（2）老师让同学们移动三角形纸板DEF，并提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图2，将等边△DEF纸板从图1位置沿着射线CB方向平移，当AD平分∠BAC时，连接BE，AD，BD，AE，试判断四边形ADBE的形状，并说明理由；

②“智慧小组”提出问题：测得等边△ABC纸板的边长为4cm，如图3，将等边△DEF纸板从图1位置沿着射线CA方向平移，连接BD，当点E与点A重合时停止移动，求BD的取值范围．请你思考此问题，直接写出结果．

第3题图