加练16 圆的综合题-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练16 圆的综合题 1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，E为AC上一点，AB＝2EC，连接CD，∠A＝60°，． （1）求⊙O的半径； （2）求证：DE⊥AC． 第1题图 2．如图，点E是以AB为直径的⊙O外一点，点C是⊙O上一点，EB是⊙O的切线，EC⊥OC，连接AC并延长交BE的延长线于点F． （1）求证：点E是BF的中点； （2）若EC＝OC，⊙O的半径为3，求CF的长． 第2题图 3．如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，对角线AC、BD交于点H且AC⊥BD，OE⊥BC于点E． （1）求证：OEAD； （2）求证：AH2+BH2+CH2+DH2为定值． 第3题图 4．如图，已知等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D． （1）求证：AD＝ED； （2）若AC＝6． ①设CE＝x，⊙O的半径为r，求r关于x的函数表达式． ②当x＝r时，求图中阴影部分的面积． 第4题图 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝2，tan∠BAC，求AD的长； （3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值． 第5题图 6．如图，AC、BD是⊙O中两条互相垂直的弦，且AC＝BD，连接OB，过点C作OB的平行线交BD延长线于F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AE＝3DE，求∠OBD的正切值； （3）若AB2+CD2＝36，求的长与的长的和． 第6题图 7．已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5． （1）如图①，当时，求证：△CAB≌△DBA； （2）如图②，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积； （3）如图③，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中，点M到AB的距离的最小值是　 　． ​ 图① 图② 图③ 第7题图 8．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图①和图②所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH． 计算：在图①中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C. （1）求OC的长． 操作：将图①中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图②．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D． 探究：在图②中． （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． 图① 图② 第8题图 9．阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180° 求证：过点A、B、C、D可作一个圆． 证明：假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，设过点A、B、D三点作出的圆为⊙O．分两种情况讨论． ①如图（1），若点C在⊙O内．延长DC交⊙O于点E，连接BE． ∵∠BCD是△BCE的外角， ∴∠BCD＞∠E． ∵∠A+∠E＝180°，∠A+∠BCD＝180°， ∴∠E＝∠BCD，与∠BCD＞∠E矛盾， ②如图（2），若点C在⊙O外．设CD交⊙O于点E，连接BE． ∵∠BED是△BCE的外角， ∴∠BED＞∠C． ∵∠A+∠C＝180°，∠A+∠BED＝180°， ∴∠BED＝∠C，与∠BED＞∠C矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点A、B、C、D可作一个圆． 图① 图② 图③ 第9题图 学习任务： （1）在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是　 　． （2）应用上述结论，解决以下问题：如图③，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC＝180°，对角线AC，BD交于点E． ①若∠ACB＝25°，求∠ADB的度数； ②若BE＝5，AD＝CD＝6，求DE的长． 10．在学习了圆周角的定理及推论后，老师布置了这样一个思考题“如图①，△ABC内接于⊙O，弦BC的长与∠A的正弦值的比值等于直径．”同学们课下经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法： 图① 图② 第10题图 证明：如图②，连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD． ∵CD是⊙O直径， ∴　 　＝90°，（　 　） ∴． ∵， ∴∠D＝∠A，（　 　） ∴， ∴． （1）请你将同学们的证明过程补充完整． （2）牛刀小试：如图③，在⊙O中，弦AB＝3，P为弧AB上一点，∠P＝135°，则⊙O的半径为　 　． （3）拓展延伸：如图④，在⊙O中，弦AB＝5，过点B作AB的垂线，在垂线上取一点C，过点C作AB的平行线交BC右侧的圆于点D，若BC＝4，CD＝8，求⊙O的面积． 图③ 图④ 第10题图 加练16 圆的综合题 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．（1）解：∵BD为⊙O的直径，∠A＝60°， ∴∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∵， ∴，， ∴⊙O的半径为； （2）证明：如解图，连接DA， 第1题解图 ∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°， ∵，∴∠DCE＝∠DBA， ∵AB＝2EC，∴，， ∴，∴△DCE∽△DBA， ∴∠DEC＝∠DAB＝90°，即DE⊥AC． 2．（1）证明：如解图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵EC⊥OC，∴EC是⊙O的切线， ∵EB是⊙O的切线，∴EC＝EB， ∴∠ECB＝∠EBC， ∵∠ECB+∠FCE＝90°，∠EBC+∠F＝90°， ∴∠FCE＝∠F，∴EF＝EC，∴EF＝EB， ∴点E是BF的中点； 第2题解图 （2）解：若EC＝OC，由（1）得，四边形OCEB是正方形，∴△ABF是等腰直角三角形． ∵⊙O半径为3，∴AB＝6，∴， ∵BC⊥AF，∴． 3．（1）证明：如解图，连接BO，延长BO交⊙O于M，连接CM，DM． 第3题解图 ∵BM是⊙O的直径， ∴∠BDM＝90°，∴MD⊥BD， ∵AC⊥BD，∴DM∥AC，∴∠ACD＝∠CDM， ∴，∴AD＝CM， ∵OE⊥BC，∴BE＝EC， ∵BO＝OM，∴OECMAD． （2）证明：∵AC⊥BD， ∴∠AHD＝∠BHC＝90°， ∴AH2+BH2+CH2+DH2＝AD2+BC2＝MC2+BC2＝BM2＝定值． 4．（1）证明：如解图①，连接BD， 第4题解图① ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∵AB＝BC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴，∴AD＝DE； （2）解：①∵AB＝BC，∠ADB＝90°， ∴AD＝CD＝3，∵AD＝DE，∴CD＝DE＝3， ∴∠C＝∠CED＝∠BAC，∴△BAC∽△DCE， ∴，∴，∴r； ②当x＝r时，则x＝r＝3， 如解图②，连接OD，OE， 第4题解图② 则△AOD、△DOE是等边三角形， ∴∠AOD＝∠DOE＝60°，∴∠BOE＝60°， ∴△BOE是等边三角形， ∴阴影部分的面积为S扇形OBE﹣S△OBE． 5．（1）证明：如解图①，连接OD， 第5题解图① ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°， ∵点E为BC的中点，∴DE＝BEBC， ∴∠EDB＝∠EBD，∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD，∵∠ABC＝90°， ∴∠EBD+∠OBD＝90°， ∴∠ODB+∠EDB＝90°， ∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切； （2）解：由（1）知，∠BDC＝90°， ∵E是BC的中点，∴DEBC＝2，∴BC＝4， ∵tan∠BAC，∴AB＝8，AD＝2BD， 又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2， 即（2BD）2+BD2＝82， ∴BD（负值已舍去），∴AD； （3）解：如解图②，连接BP,AP,过点P作PH⊥AB于点H，设Rt△ABD中AB边上的高PH为h， 第5题解图② 由（2）可知AB＝8， 又∵AB是直径，∴∠APB＝90°， ∴PA2+PB2＝82＝64，∴（PA+PB）2＝64+2PA•PB， 当PA+PB取最大值时，2PA•PB也取最大值， 又∵S△ABPPA•PBAB•h， 当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值， 此时AB边高为取最大值为4， ∴S△ABPAB•h＝2×8×4＝16， ∴PA•PB＝2S△ABP＝32， ∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，∴PA+PB＝8． 综上所述，PA+PB的最大值为8． 6．（1）证明：如解图，作OI⊥AC于点I，OH⊥BD于点H，则∠OIC＝∠OHB＝90°， ∵AC⊥BD于点E， ∴∠IEH＝∠OIE＝∠OHE＝90°， ∴四边形OIEH是矩形，∴∠IOH＝90°， ∵CI＝AIAC，BH＝DHBD，且AC＝BD， ∴CI＝BH， 如解图，连接OC，则OC＝OB， ∴Rt△OIC≌Rt△OHB（HL）， ∴∠IOC＝∠HOB，∴∠BOC＝∠HOB+∠HOC＝∠IOC+∠HOC＝ ∠IOH＝90°， ∵CF∥OB，∴∠OCF＝∠BOC＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵Rt△OIC≌Rt△OHB， ∴OI＝OH，∠OCI＝∠OBD， ∴四边形OIEH是正方形， ∵∠CED＝90°，∠BDC∠BOC90°＝45°，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE， ∵AI＝CI，AE＝3DE＝3CE，∴AI+EI＝3CE， ∴CE+EI+EI＝3CE，∴EI＝CE，∴OI＝EICI， ∴tan∠OBD＝tan∠OCI， ∴∠OBD的正切值为； 第6题解图 （3）解：如解图，连接OA、OD、AD， ∵∠AEB＝90°，∠BAC∠BOC＝45°， ∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴AE＝BE， ∴AB2＝AE2+BE2＝2AE2，CD2＝CE2+DE2＝2CE2， ∵AB2+CD2＝36， ∴2AE2+2CE2＝36，∴AE2+CE2＝18， ∵AE＝AI+EI＝AI+OI，CE＝CI﹣EI＝AI﹣OI， ∴（AI+OI）2+（AI﹣OI）2＝18，∴AI2+OI2＝9， ∵∠OIA＝90°，∴OA3， ∵∠AOB＝2∠ADB，∠COD＝2∠CAD， ∴∠AOB+∠COD＝2（∠ADB+∠CAD）＝ 2∠CED＝2×90°＝180°， ∴3π， ∴的长与的长的和为3π． 7．（1）证明：∵，∴∠CAD＝∠DBC， ∵，∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD， ∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA， ∴∠CAB＝∠DBA，又∵AB＝BA， ∴△CAB≌△DBA（SAS）； （2）解：过D作DH⊥AB于H，连接OD，如解图①， ∵半圆O中，直径AB＝10，∴OA＝OD＝5， ∵∠DAB＝22.5°，∴∠DOB＝45°， ∴DHOD，S扇形DOB， ∴S△AODOA•OH， ∴S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD； 图① 图② 第7题解图 （3）．【解法提示】如解图②，连接OM，OC，∵M是CD的中点，∴OM⊥CD，CMCD，∴OM，∴点M在以O为圆心，为半径的圆弧M'M''上运动，过M'作M'N⊥AB，垂足为N，∵sin∠AOM'，∴M'N＝OM'•sin∠AOM'，∴点M到AB的距离的最小值是． 8．解：（1）如解图，连接OM， 第8题解图 ∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm， ∴MCMN＝24cm， ∵AB＝50cm，∴OMAB＝25cm， 在Rt△OMC 中，OC7（cm）； （2）∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH， ∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D， ∵∠ANM＝30°，ON＝25cm， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为； （3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵半圆的中点为Q，∴， ∴∠QOB＝90°，∴∠QOE＝30°， ∴EF＝tan∠QOE•OE（cm）， 的长为（cm）， ∵0，∴EF． 9．解：（1）分类讨论思想． （2）①∵∠ADC+∠ABC＝180°； ∴过点A，B，C，D可作一个圆，如图所示． 第9题解图 ∴∠ADB＝∠ACB＝25° ②∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD． ∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠ACD， 又∵∠EDC＝∠CDB，∴△DCE∽△DBC， ∴，∴CD2＝BD•DE， 设DE＝x，则BD＝x+5，∴x（x+5）＝62， 解得x1＝4，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， ∴DE＝4． 10．（1）∠DBC，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）解：；【解法提示】连接BO并延长交⊙O于点C，连接AC，如解图①，∵CB是⊙O直径，∴∠BAC＝90°，∵APBC是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠P＝180°，∵∠P＝135°，∴∠C＝45°，∴∠ABC＝45°＝∠C，即△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝3，∴BCAB＝3，∴； 图① 图② 第10题解图 （3）解：过O点作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连OA，OD，如解图②， 则∠OEB＝90°，BE＝AEAB＝2.5， ∵CD∥AB，CB⊥AB， ∴∠C＝∠B＝∠OEB＝90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE＝2.5，EF＝BC＝4， ∴DF＝DC﹣CF＝8﹣2.5＝5.5，OF＝OE﹣EF＝OE﹣4， 在Rt△OEA中，OA2＝OE2+AE2＝OE2+2.52， 在Rt△OFD中，OD2＝OF2+DF2＝（OE﹣4）2 +5.52， ∵OA＝OD，∴OE2+2.52＝（OE﹣4）2+5.52， 解得OE＝5，∴OF＝OE﹣EF＝1， ∴OA2． ∴⊙O的面积为：π•OA2π． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$