加练15 切线的性质与判定-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练15 切线的性质与判定 1．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； 第1题图 2．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P． （1）证明：AC是⊙O的切线； （2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径． 第2题图 3．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE． （1）求证：FC与⊙O相切； （2）连接OD，若OD∥AC，求的值． 第3题图 4．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD． （1）证明：PD是⊙O的切线． （2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值． 第4题图 5．如图，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于A点，B，C是⊙O上的另外两点，连接AC，BC，∠APB+2∠ACB＝180°， （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若BC∥PA，⊙O的半径为5，BC＝6，求PA的长． 第5题图 6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°． （1）求∠BED的大小； （2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切． 第6题图 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长． 第7题图 8．如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB＝BC，∠DAC＝30°，延长AC到E使得CE＝CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AO＝3，求△FGD的周长． 第8题图 9．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D． （1）过点D作DE∥AB，求证：DE为⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求BD的长和阴影部分的面积． 第9题图 10．已知点O是△ABC的外心，连接OB，以点O为圆心，OB长作⊙O交CO延长线于点E，过点A作AF∥BC交CO延长线于点F，若AO∥BE． （1）求证：AF与⊙O相切； （2）求证：AO平分∠BAC． 第10题图 11．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，）、C（﹣4，0），且 AB＝2．以BC为直径作⊙O1交OC于点D，过点D作直线DE交线段OA于点E，且∠EDO＝30°． （1）求证：DE是⊙O1的切线； （2）若线段BC上存在一点P，使以点P为圆心，PC为半径的⊙P与y轴相切，求点P的坐标． 第11题图 加练15 与圆有关的位置 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．证明：（1）如解图，连接OD， 第1题解图 ∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）∵线段AB是⊙O的直径，∠ADB＝90°， ∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°， ∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°， ∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． 2．（1）证明：∵AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°． 在△ABO和△ACO中，， ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∴OC⊥AC， ∵OC为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， 则OB＝r，OA＝4+r． 在Rt△OAB中，∵OB2+AB2＝OA2， ∴r2+82＝（r+4）2，解得r＝6， ∴⊙O的半径为6． 3．（1）证明：如解图，连接OC, 第3题解图 则OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC， ∵CD⊥AB于E，∴∠AEC＝90°， ∵CA平分∠FCE，∴∠ACF＝∠ACE， ∴∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°， ∵FC经过⊙O的半径OC的外端，且FC⊥OC， ∴FC与⊙O相切； （2）解：∴OC＝OD，OF⊥CD， ∴∠COF＝∠DOF， ∵OD∥AC，∴∠DOF＝∠OAC， ∴∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，∴∠F＝30°， ∴OA＝OCOF，∴AF＝OAAB， ∴，∴的值是． 4．解：（1）如解图，连接OP， ∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°， ∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°， ∴∠POD＝60°， ∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°， ∴∠OPD＝90°，∴PD是⊙O的切线； 第4题解图 （2）如解图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 又∵C为弧AB的中点， ∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，AC＝BC， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝2，∴， ∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC， ∴△CAE∽△CPA，∴ ∴CP•CE． 5．（1）证明：连接OA，OB，如解图①， 第5题解图① ∵∠APB+2∠ACB＝180°，∠AOB＝2∠ACB， ∴∠APB+∠AOB＝180°， ∴∠OAP+∠OBP＝180°， ∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA， ∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°， ∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线； （2）解：延长AO并延长交BC于D，连接OC，过P作PQ⊥BC于Q，如解图②， 第5题解图② ∵PA⊥OA，BC∥PA，∴AD⊥BC， ∴，四边形ADQP是矩形， ∴， ∴AD＝OA+OD＝5+4＝9， ∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB， 在Rt△PBQ中，设PB＝PA＝x， 则BQ＝x﹣3， 由勾股定理得（x﹣3）2+92＝x2， 解得x＝15，即PA的长为15． 6．（1）解：如解图，连接OB， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°， ∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BED∠BOD＝60°， 第6题解图 （2）证明：如解图，连接BD， ∵OB＝OD，∠BOD＝120°， ∴∠ODB（180°﹣60°）＝30°＝∠A， ∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF， ∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°， ∵OD⊥DF，OD是半径， ∴DF是⊙O的切线． 7．（1）证明：如解图，连接OE，DE， 第7题解图 ∵CD是⊙O直径， ∴∠CED＝90°，即DE⊥BC， ∵在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴点E是BC的中点， 又∵点O是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥AB， ∵EF⊥AB，∴EF⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10， ∵AC＝6，∴BC8， ∵点E是BC的中点， ∴BEBC＝4， 在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4， ∴DE3， ∵S△BDEDE•BEBD•EF， 即3×4＝5×EF， ∴EF， 在Rt△DEF中，DE＝3，EF， ∴DF． 8．（1）证明：如解图，连接OD， 第8题解图 ∵AC是直径，∠ADC是AC所对的圆周角， ∴∠ADC＝90°， ∵OC＝OD＝OA，∠DAC＝30°， ∴∠ODA＝∠DAC＝30°， ∴∠COD＝∠DAC+∠ODA＝60°， ∴△OCD是等边三角形，∴∠OCD＝60°， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CDE+∠ODC＝90°， 又∵OD是半径，∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO⊥AC，∴∠AOG＝∠EOF＝90°， ∵∠DAC＝∠E＝30°， ∴∠AGO＝∠F＝60°， ∴∠F＝∠FGD＝60°， ∴△FGD是等边三角形， ∴FD＝DG＝FG， 在Rt△ODF中，∠F＝60°， ∵OD＝AO＝3，，∴， ∴△FGD周长． 9．（1）证明：如解图，连接OD， 第9题解图 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝90°， ∵DE∥AB，∴∠ODE＝∠BOD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴AD＝BDAB＝5， ∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∴∠BOD＝90°， ∴阴影部分的面积＝扇形BOD的面积﹣△BOD的面积5×5π． 10．证明：（1）由题意可知，⊙O是△ABC的外心，且CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°， ∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠ABC， ∵AO∥BE，∴∠OAB＝∠ABE， ∴∠OAF＝∠FAB+∠OAB＝∠ABC+∠ABE＝ ∠CBE＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA， ∴AF与⊙O相切； （2）如解图，延长AO交BC于点L， 第10题解图 ∵AF∥BC，∠OAF＝90°， ∴∠ALC＝∠OAF＝90°， ∴AL⊥BC，∴BL＝CL， ∵AL垂直平分BC，∴AB＝AC， ∴∠BAL＝∠CAL，即∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC． 11．（1）证明：连接O1D，BD，如解图①， 第11题解图① ∵A（0，）、C（﹣4，0）， ∴OA＝2，OC＝4， ∵以BC为直径作⊙O1交OC于点D， ∴∠BDC＝90°， ∵AB∥OC，OC⊥OA，∴AB⊥OA， ∴四边形ABDO为矩形， ∴OD＝AB＝2，BD＝OA＝2， ∴CD＝OC﹣OD＝2， ∴BC4， ∴O1C＝O1D＝2， ∴△O1CD为等边三角形， ∴∠O1CD＝∠O1DC＝60°， ∵∠EDO＝30°， ∴∠O1DE＝180°﹣∠O1DC﹣∠EDO＝90°， ∴O1D⊥DE， ∵O1D为⊙O1的半径，∴DE是⊙O1的切线； （2）解：∵线段BC上存在一点P，使以点P为圆心，PC为半径的⊙P与y轴相切， ∴点P到y轴的距离等于PC，过点P作PF⊥y轴于点F，PH⊥x轴于点H，如解图②， 第11题解图② 则PF＝PC． 由（1）知∠BCD＝60°， ∴CHPC，PHPC， ∵PF⊥y轴，PH⊥x轴，OA⊥OC， ∴四边形PHOF为矩形，∴OH＝PF＝PC， ∴OC＝CH+OHPC+PC＝4，∴PC， ∴PF＝OH，PH， ∴点P的坐标为（，）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$