加练14 特殊四边形的性质与判定-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练14 特殊四边形性质及判定 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（　　） 第1题图 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图①，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图②中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） 图① 图② 第2题图 A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 第3题图 第4题图 4．如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形PBCQ．若DE＝5，AF＝4，则矩形PBCQ的面积是 （　　） A．40 B．20 C．15 D．10 5．如图①，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图①的基础上进行尺规作图，得到如图②，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） 图① 图② 第5题图 A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 6．如图，AB∥CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，关于下列结论：①DE∥BF；②∠DAC＝∠ACB；③点B到AC的距离是线段BF的长度；④∠DAC+∠ACD＝∠ADC；⑤如果∠BAD＝∠BCD，那么AD∥BC．其中结论正确的序号为（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．②④⑤ 第6题图 第7题图 7．小明将4个全等的直角三角形（其中两直角边长分别是a，b）拼成如图所示的五边形，则五边形的面积表示为　 　． 8．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为　 　． 第8题图 第9题图 9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，AD＝10，BD＝12，则AC的长为　 　． 10．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF； ②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为　 　.（将正确的序号都填入） 第10题图 11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝2， ∠BAD＝60°，则EF的最小值为　 　． 第11题图 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝9cm，BC＝12cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t（0≤t≤15）s．若G，H分别是AB，DC的中点，且t≠7.5，当以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形时，t的值为　 　． 第12题图 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13．如图，过△ABC的顶点B作BD∥AC，以B为圆心，AC的长为半径画弧，交BD于点E，连接CE． （1）请你判断所画的四边形ABEC是平行四边形吗？请说明理由； （2）若∠ABC＝50°，求∠BCE的度数． 第13题图 14．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长． 第14题图 15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若OA＝5，OD＝4，求四边形AECD的面积． 第15题图 16．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，连接BE，DF，BE与DF交于点P，BE＝DF．添加下列条件之一使▱ABCD成为菱形：①CE＝CF；②BE⊥CD，DF⊥BC． （1）你添加的条件是　 　（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，若∠A＝45°，△BFP的周长为4，求菱形的边长． 第16题图 17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）加上条件　 　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③∠AEC＝90°；这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明． 第17题图 18．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形． （2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长． 第18题图 19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？ 第19题图 20．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，EF⊥BC于点F，点G为BC上一点，连接OG，OE，且OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG为矩形； （2）若，BD＝10，∠CAD＝45°，求矩形OEFG的面积． 第20题图 21．如图所示，点E是矩形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，DE＝DF． （1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）判断线段BF与线段CD，AE之间的数量关系． 第21题图 22．如图①，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图②，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 图① 图② 第22题图 加练14 特殊四边形性质及判定 参考答案与解析 1. C【解析】∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形，∴能画出3个平行四边形． 2. C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∵OA＝OC，MN⊥AC，∴四边形AMCN是菱形，故方案甲正确；∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，∴∠MAC＝ ∠NAC，∵∠AOM＝∠AON＝90°，在△AOM和△AON中，，∴△AOM≌△AON（ASA），∴OM＝ON，∵OA＝OC，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC⊥MN，∴四边形AMCN是菱形．故方案乙正确． 3. C【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD，∴CE． 4. A【解析】由题意，BP＝AF＝4，∵点D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC，∴BC＝2DE＝2×5＝10，∴矩形PBCQ的面积＝BP•BC＝4×10＝40． 5. B【解析】根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，∵l1∥l2，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD对角线互相垂直．∴①错误，②正确． 6. B【解析】∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC，∴∠DEF＝∠BFE＝90°，∴DE∥BF，故①正确；∵AD和BC不一定平行，∴∠DAC和∠ACB不一定相等，故②不正确；∵BF⊥AC，∴点B到AC的距离是线段BF的长，故③正确；∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，故④不正确；∵AB∥CD，∴ ∠BCD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴ ∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC．故⑤正确． 7. a2+ab+b2【解析】如解图，根据题意得AB＝BD＝DF＝FA，∠BAF＝∠BAG+∠FAG＝90°，所以四边形ABDF是正方形，且AB2＝a2+b2，所以五边形的面积为：． 第7题解图 第8题解图 第9题解图 8. 3【解析】如解图，连接AE，∵AB∥EC，AB＝EC＝2，∴四边形AECB是平行四边形，∴AE∥BC，∵，DE＝5，∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC， ∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3． 9. 16【解析】如解图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，设AC、BD交点为O．∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；∵BD＝12，∴OD＝OB＝6，∴OA8，∴AC＝2OA＝16． 10. ①②③【解析】①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣ ∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌ △OCF（ASA）；故②正确；③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④错误；综上所述，正确的是①②③． 11. 【解析】如解图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝2，∴，，∴，S△ABOOA•OBAB•OP，∴，∴EF的最小值为． 第11题解图 第12题解图 12. 1.5或13.5【解析】如解图，连接GH，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝CH，∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为1cm/s，∴AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△AFG与△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，在△AGE与△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GH＝BC＝12cm，∴当EF＝GH＝12cm，四边形EGFH是矩形，分两种情况：∵AB＝9cm，BC＝12cm，∴AC15（cm），①当0≤t≤7.5时，EF＝（15﹣2t）cm，即15﹣2t＝12，解得t＝1.5，②当7.5＜t≤15时，EF＝（2t﹣15）cm，即2t﹣15＝12，解得t＝13.5，当t＝1.5或13.5时，四边形EGFH是矩形． 13．解：（1）四边形ABEC是平行四边形，理由如下： ∵BD∥AC，BE＝AC，∴四边形ABEC是平行四边形； （2）∵四边形ABEC是平行四边形，∴CE∥AB，∴∠BCE＝∠ABC＝50°． 14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE， ∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE， ∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6， ∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32． 15．（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED， ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴平行四边形AECD是菱形； （2）解：∵四边形AECD是菱形，∴AC＝2AO＝10，DE＝2DO＝8，AC⊥DE， ∴四边形AECD的面积AC•BD＝40． 16．解：（1）②． 证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠CEB＝90°， 在△CFD和△CEB中，，∴△CFD≌△CEB（AAS），∴CD＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形； （2）如解图，连接CP， 第16题解图 由（1）知△CFD≌△CEB，∴CF＝CE， 在Rt△CEP和Rt△CFP，∴Rt△CEP≌Rt△CFP（HL），∴PE＝PF， 在菱形ABCD中，∠A＝45°，∴∠BCD＝45°，∵∠CFD＝∠CEB＝90°，∴∠BFP＝∠DEP＝90°， ∴∠CBE＝∠BPF＝∠BCD＝45°，∴BE＝CE，BF＝PF， ∵△BFP的周长为4，∴BP+PF+BF＝BP+PE+BF＝BE+BF＝CE+BF＝CF+BF＝BC＝4， 即菱形的边长为4． 17．证明：（1）已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理， ∴DE∥AC，且DEAC＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形； （2）选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE， 又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF， ∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB， ∵CF＝AE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形， ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DFBE是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°， ∴BC10， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DFA， ∵AF是∠DAB的平分线，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DFA， ∴DF＝DA＝10，∴DC＝DF+CF＝10+6＝16． 19．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）得∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形， ∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，∴∠FDC＝30°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°， ∵AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝60°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴OE∥BC， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥BC，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC＝3，∴∠OCG＝∠DAC＝45°， 由（1）可知，四边形OEFG为矩形，∴∠OGF＝90°，∴∠OGC＝90°， ∴△OCG是等腰直角三角形，∴CG＝OG， ∵OC2＝OG2+CG2，∴CG＝OG＝3，∵GB2+GO2＝OB2，∴GB2+9＝25，∴GB＝4， ∴BC＝CG+GB＝3+4＝7，∴OEBC，∴S矩形OEFG＝OG•OE＝3． 21．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠DCB＝∠DCF＝∠ADC＝90°， ∵DF⊥DE，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠1+∠3＝∠3+∠2，∴∠1＝∠2， 在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AD＝CD， ∴矩形ABCD为正方形； （2）解：BF＝CD+AE．理由如下： 由（1）可知：△ADE≌△CDF（AAS），矩形ABCD为正方形， ∴AE＝CF，AB＝CD＝BC，∴BF＝BC+CF＝CD+AE． 22．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE； （2）①证明：如解图①，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN，∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， 在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形； 图① 图② 第22题解图 ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，∴CE⊥CG，∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3，∴CE＝6，如解图②，连接EG， ∴EG3，∴DEEG＝3．∴正方形DEFG的边长为3． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$