加练13 解直角三角形的实际应用-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练13 解直角三角形的实际应用 1．华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE，若手机显示AC＝1.75m，AD＝2.45m，∠CAD＝53°，求浮雕像CD的高度．（结果精确到0.1，参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，1.41） 图① 图② 第1题图 2．滕王阁（如图①），位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，它与湖南岳阳楼并称为“江南三大名楼”，某数学小组为了测量滕王阁的面的C处设立观测点，如图②，测得楼顶A的仰角为45°，再沿坡比为7：24的斜坡CE前行25m到达平台E处，此时测得楼顶A的仰角为55°． （1）求平台DE与地面的高度； （2）滕王阁的高度AB（结果精确到0.1m） （参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428） 图① 图② 第2题图 3．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30°的AC，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． （1）求AB的距离；（结果保留根号） （2）一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为6米，EF⊥AC，若CF＝32米，求此时货车顶端E到水平线CD的距离DE．（精确到0.1米，参考数据：1.73） 第3题图 4．停车楔（如图①）是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要．如图②是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔B置于轮胎⊙O后方即可防止车辆倒退，此时AC紧贴轮胎，边AB与地面重合且与轮胎⊙O相切于点A．为了更好地研究这个停车楔与轮胎⊙O的关系，小明在示意图②上，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD后发现 AD∥BC． （1）求证：∠D+∠B＝90°； （2）小明通过查阅资料从停车楔的规格了解到，此停车楔的高度为15cm（点C到AB所在直线的距离），支撑边BC与底边AB的夹角∠B＝60°，求轮胎的直径． 第4题图 5．图①是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图②，座杆AB与水平桌面垂直，臂杆BC可绕点B旋转调节，灯体CD可绕点C旋转调节．若AB，BC，CD在同一平面上，AB＝5厘米，BC＝40厘米，CD＝40厘米，臂杆BC与座杆AB的夹角即∠ABC＝138°，臂杆BC与灯体CD的夹角即∠BCD＝90°．灯体上D点到水平桌面的高度为DE． （1）求∠CDE的度数． （2）求DE的长．（结果精确到0.1厘米．参考数据：sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111） 图① 图② 6．如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向． （1）求此时货轮到小岛B的距离． （2）在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由． 第6题图 7．城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m． 成果梳理 … 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点C到地面DE的距离； （2）求顶部线段BC的长． （结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144） 加练13 解直角三角形的实际应用 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．解：如解图，过点C作CF⊥AD，垂足为F， 第1题解图 ∴∠AFC＝∠DFC＝90°， 在Rt△ACF中，∠DAC＝53°，AC＝1.75m， ∴CF＝AC•sin53°≈1.75×0.8＝1.4（m）， AF＝AC•cos53°≈1.75×0.6＝1.05（m）， ∵AD＝2.45m， ∴DF＝AD﹣AF＝2.45﹣1.05＝1.4（m）， 在Rt△CDF中，CD1.42.0（m）， ∴浮雕像CD的高度约为2.0m． 2．解：（1）由题意可知CE＝25m， 如解图，过点E作EF⊥BC， 第2题解图 ∵斜坡坡比为7：24， 则设EF＝7x m，CF＝24x m， ∴， 解得x＝1， ∴EF＝7m，CF＝24m， 即平台DE与地面的高度为7m； （2）由题意可知∠ACB＝45°，∠AED＝55°，则AB＝BC，ED⊥BD，∠DBE＝90°，EF⊥BC， ∴四边形DBFE是矩形， 由（1）可知，CF＝24m， 则BF＝DE，BD＝EF， 设AB＝BC＝am， 则BF＝DE＝BC﹣CF＝（a﹣24）m， AD＝AB﹣BD＝（a﹣7）m， 在Rt△ADE中，， 可得， 故滕王阁的高度AB约为63.7m． 3．解：（1）如解图①，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G， 第3题解图① 在Rt△BCG中， ∵∠CBG＝45°，BC＝20米， ∴CG＝BC•sin45°＝2020（米）， BG＝BC•cos45°＝2020（米）， 在Rt△ACG中， ∵∠CAG＝30°， ∴AG20（米）， ∴AB＝AG﹣BG＝2020（米）， 答：AB的距离为（2020）米； （2）如解图②，过点F作FH⊥CD于点H，过点E作EM⊥FH于点M， 第3题解图② 由题意知ED⊥CD， ∴四边形DEMH是矩形， ∴DE＝HM， 在Rt△CFH中， ∵CF＝32米，∠FCH＝∠A＝30°， ∴FHCF32＝16（米）， ∵EF⊥AC， ∴∠EFM+∠CFH＝90°， 又∵∠FCH+∠CFH＝90°， ∴∠EFM＝∠FCH＝30°， 在Rt△EFM中，∵EF＝6米， ∴FM＝EF•cos30°＝63（米）， ∴HM＝FH﹣FM＝16﹣316﹣3×1.73＝10.81≈10.8（米）， ∴DE≈10.8米， 答：货车顶端E到水平线CD的距离DE约为10.8米． 4．解：（1）如解图①，连接AC，OA， 根据题意可知，CD为⊙O的直径，∠CAD是直径CD所对的圆周角， ∴∠CAD＝90°， ∴∠OAC+∠OAD＝∠CAD＝90°， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°， ∴∠OAC+∠CAB＝∠OAB＝90°， ∴∠OAD＝∠CAB， ∵OD＝OA， ∴∠D＝∠OAD， ∴∠D＝∠CAB， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠D+∠B＝90°， 图① 图② 第4题解图 （2）如解图②，过点C作CH⊥AB于H点， ∵∠CAB+∠B＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣60＝30°， ∵CH⊥AB，点C到AB所在直线的距离为15cm， ∴CH＝15cm， ∴AC＝2CH＝2×15＝30cm， ∵∠CAD＝90°， ∴∠D+∠OCA＝90°， 又∵∠D+∠B＝90°， ∴∠OCA＝∠B＝60°， ∵OC＝OA， ∴△OAC为等边三角形， ∴OC＝AC＝30cm， ∴轮胎直径＝2OC＝2×30＝60（cm）． 5．解：（1）如解图，过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交CF于点G， 第5题解图 由题意得AG⊥CF， ∴∠AGC＝∠CFD＝90°， ∵∠ABC＝138°， ∴∠CBG＝180°﹣∠ABC＝42°， ∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝48°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCG＝42°， ∴∠CDE＝90°﹣∠DCF＝48°， ∴∠CDE的度数为48°； （2）由题意得AG＝EF， 在Rt△CBG中，BC＝40厘米，∠BCG＝48°， ∴BG＝BC•sin48°≈40×0.743＝29.72（厘米）， 在Rt△CDF中，∠CDF＝48°，CD＝40厘米， ∴DF＝CD•cos48°≈40×0.669＝26.76（厘米）， ∵AB＝5厘米， ∴DE＝DF+EF＝DF+AG＝DF+BG+AB＝26.76+29.72+5≈61.5（厘米）， ∴DE的长约为61.5厘米． 6．解：（1）如解图①，标注字母，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向． 第6题解图① 由题意知∠EAB＝80°，∠EAC＝40°， ∠QCB＝60°， ∴∠ACQ＝40°， ∴∠BAC＝80°﹣40°＝40°， ∠ACB＝40°+60°＝100°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴BC＝AC＝80海里， 即此时货轮到小岛B的距离为80海里； （2）如解图②，作BD⊥CD于点D， 第6题解图② 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣60°＝30°，BC＝80海里， ∴海里， ∵40＞36， ∴货轮向正东方向航行没有触礁危险． 7．解：（1）如解图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N， ∵∠CDE＝97°，∴∠CDN＝83°， 在Rt△CDN中，，CD＝6.7m， ∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m）， 答：点C到地面DE的距离为6.65m； 第7题解图 （2）如解图，过点B作BP⊥CF，垂足为P， ∵CF∥DE， ∴∠FCD＝∠CDN＝83°， ∵∠BCD＝98°， ∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°， ∵平行线间的距离处处相等， ∴EF＝CN＝6.65m， ∵AE＝8.5m， ∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85， 在Rt△BCP中， ∴（m）， 答：顶部线段BC的长为7.14m． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$