加练12 相似三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练12 相似三角形的判定及性质 1．如图，矩形ABCD中，AD＝6，E为BC上一点，，DF⊥AE于F．求DF的长． 第1题图 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线． （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长． 第2题图 3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E． （1）求证：DE＝BD+CE； （2）若AD＝4，BD＝3，CE＝2，求BC的值． 第3题图 4．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）求AB的边长． 第4题图 5．如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E． （1）求证：AD•BC＝AB•DE； （2）若S△ADE：S△ABC＝4：9，BC＝6，求DE的长． 第5题图 6．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 第6题图 7．如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四边形EFGH是△ABC内接正方形， （1）△AHG与△ABC相似吗？为什么？ （2）求内接正方形EFGH边长EF． 第7题图 8．如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将△CBE翻折，使得点B落在AD边上，记作点F． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）若，且CD＝10，求BC的长． 第8题图 9．【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：． 证明：连结ED． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，GH∥AB交BC于点H，则△EGH与△ABC的面积的比值为　 　． 第9题图 加练12 相似三角形的判定及性质 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵DF⊥AE，∴∠B＝∠AFD＝90°， 在△ABE与△DFA中： ∠B＝∠AFD，∠AEB＝∠DAE ∴△ABE∽△DFA． 在Rt△ABE中，， ∴， ∴设AB＝3x，BE＝4x（x＞0）， ∴AE＝5x，∵△ABE∽△DFA ∴，∴， ∴DF＝3.6． 2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∵BC是∠ABD的平分线， ∴∠ABC＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC， 又∵∠APC＝∠DPB，∴△APC∽△DPB． （2）解：设DP＝x， ∵AP＝PB＝1， ∴AD＝AP+DP＝1+x， 又∵AD＝CP，∴CP＝1+x， 由（1）得△APC∽△DPB， ∴AP：DP＝PC：BP，即1：x＝（x+1）：1， ∴x2+x＝1，∴x2+x﹣1＝0，解得，（不合题意，舍去）． ∴． 3．（1）证明：∵ OB和 OC分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB， ∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴DB＝DO，OE＝EC， ∵DE＝DO+OE，∴DE＝BD+EC； （2）解：∵BD＝3，CE＝2，AD＝4 ∴DE＝BD+CE＝5，AB＝AD+BD＝7， ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴， ∴，∴． 4．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°， ∴∠BAD＝∠EDC， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴，∴， ∴AB＝16，∴AB的长为16． 5．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+BAE＝∠EAC+∠BAE， ∴∠DAE＝∠CAB， ∵∠E＝∠C，∴△ADE∽△ABC， ∴AD：AB＝DE：BC， ∴AD•BC＝AB•DE； （2）解；∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴，∴DE＝4． ∴DE的长是4． 6．（1）证明：∵，∠BAD＝∠ECA， ∴△BAD∽△ACE，∴∠B＝∠EAC， ∵∠ACB＝∠DCA， ∴△ABC∽△DAC， ∴，∴AC2＝BC•CD； （2）解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA， 由（1）可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA， ∴∠ADC＝∠CED，∴CE＝CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD，∴BC＝2CE， 由（1）得AC2＝BC•CD， ∴AC2＝2CE•CE， ∴，即． 7．解：（1）相似，理由如下： ∵四边形EFGH是△ABC内接正方形， ∴HG∥BC， ∴△AHG∽△ABC； （2）设AD与HG的交点为M， ∵△AHG∽△ABC，∴， ∴，解得， ∴内接正方形EFGH的边长为． 8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴∠CFD+∠DCF＝90°， 由折叠得∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠AFE+∠CFD＝90°， ∴∠AFE＝∠DCF， ∴△AEF∽△DFC； （2）解：∵△AEF∽△DFC， ∴， ∵，且CD＝10， ∴，∴AF＝4， 由折叠得BE＝EF， 设BE＝x，则AE＝10﹣x，EF＝BE＝x， 由勾股定理得AE2+AF2＝EF2， ∴42+（10﹣x）2＝x2，∴x＝5.8， ∴AE＝10﹣5.8＝4.2， ∴，∴DF＝10.5， ∴BC＝AF+DF＝4+10.5＝14.5． 9．解：【教材呈现】连接DE，如解图， 第9题解图 ∵D、E分别为BC、BA的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DEAC， ∴△DEG∽△ACG， ∴， ∴， 即； 【结论应用】．【解法提示】∵D、F分别是边BC、AB的中点，∴，BD＝CD，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴，∴，同理可得，，∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$