加练11 全等三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练11 全等三角形的判定及性质 1．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：∠B＝∠C． 第1题图 2．如图，在△ABC与△DEF中，如果AB＝DE，BE＝CF，∠ABC＝∠DEF；求证：AC∥DF． 第2题图 3．已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC． 第3题图 4．如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论． 第4题图 5．如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证：CF＝DE． 第5题图 6．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC． 第6题图 7．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB． 第7题图 8．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连结DE． （1）求证：△ABD≌△AED． （2）已知AB＝9，△CDE周长为15，求△ABC的周长． 第8题图 9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC∥AD且BC＝2AD，AE平分∠BAC，并与BD交于点F． （1）求证：△AFD≌△EFB； （2）若∠BAC＝60°且AB＝6，求AF的长． 第9题图 10．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD＝CE； （2）求∠DFC的度数． 第10题图 11．如图，△ABC和△DCE是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，D（与A，B不重合）是AB边上一点． （1）判断线段AD与BE的数量关系，并说明理由； （2）若BE＝5，DE＝13，求AB的长． 第11题图 12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB＝30°． （1）求∠PAD的度数； （2）试说明：PD＝PC． 第12题图 13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）当AD＝6cm，BE＝2cm，则DE的长为多少？ 第13题图 14．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E，取BE的中点M，连接AM． （1）求证：△AEM是等边三角形； （2）若S△AEM＝1，求△ABC的面积． 第14题图 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，AD＝AE． （1）如图①所示，求证：BD＝CE； （2）如图②所示，若点D为线段BE的中点，∠BAE＝90°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与DE相等的线段． 图① 图② 第15题图 16．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DA＝DC，DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥AC于点N． （1）求证：Rt△ADM≌Rt△CDN； （2）若∠ABC＝60°，BD＝8，求四边形ABCD的面积． 第16题图 17．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：△EDF≌△MDF； （2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？ 第17题图 18．如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：BD＝CD． 甲、乙同学的证明过程如下： 甲同学的证明： 作线段AD，使得AD平分∠BAC， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）∴BD＝CD． 乙同学的证明： 连接AD，过A分别作DB、DC的垂线，分别交DB、DC的延长线于E、F点， … （1）甲同学的证明过程是否正确？请简要说明理由； （2）请根据乙同学的证明思路补充完整的证明过程． 加练11 全等三角形的判定及性质 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴∠B＝∠C． 2. 证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF． 3. 证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C， 在△BDE和△ACB中，， ∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC． 4. 解：CD＝AB，CD∥AB，理由如下： ∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，∴CF＝BE， 在△CFD和△BEA中，， ∴△CFD≌△BEA（SAS）， ∴CD＝AB，∠C＝∠B，∴CD∥AB． 5. 证明：∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC， ∵AE∥BF，∴∠A＝∠B， 在△ADE和△BCF中，， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF，即CF＝DE 6. 证明：在△AEC与△ADB中，， ∴△AEC≌△ADB（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC． 7. 证明：如解图，延长AE，BC交于点F， 第7题解图 ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE， ∵点E是DC的中点，∴ED＝CE， 在△ADE与△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF， ∵AE平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF， ∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠F， ∴∠BAF＝∠F，∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD． 8.（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△AED中，， ∴△ABD≌△AED（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△AED，∴DE＝BD， ∴△CDE周长＝DE+CD+CE＝BD+CD+CE＝BC+CE＝15， ∵AE＝AB＝9， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AE+CE+BC＝9+9+15＝33． 9.（1）证明：∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴EB＝ECBC， ∵BC∥AD且BC＝2AD， ∴∠D＝∠EBF，ADBC，∴AD＝EB， 在△AFD和△EFB中，， ∴△AFD≌△EFB（AAS）． （2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°且AB＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝6，∴EB＝ECBC＝3， ∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°， ∴AE3， ∵△AFD≌△EFB， ∴AF＝EFAE3， ∴AF的长是． 10. 证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC． 又∵AE＝BD，∴△AEC≌△BDA（SAS）． ∴AD＝CE； （2）∵△AEC≌△BDA， ∴∠ACE＝∠BAD， ∴∠DFC＝∠FAC+∠ACF＝∠FAC+∠BAD＝∠BAC＝60°． 11. 解：（1）AD＝BE，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE＝5， ∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∵BE＝5，DE＝13， ∴BD12， ∴AB＝AD+BD＝17． 12. 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°． ∵∠CPB＝30°， ∴∠PBC＝90°﹣∠CPB＝60°． ∵PB平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠PBC＝120°． ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°． ∵AP平分∠DAB， ∴． （2）如解图，过点P作PE⊥AB于点E． 第12题解图 ∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB， ∴PE＝PD． ∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB， ∴PE＝PC，∴PD＝PC． 13. （1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠CEB＝90°＝∠ADC， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∵∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ACD和△CBE中，， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）解：由（1）知，△ACD≌△CBE， ∴AD＝CE＝6cm，CD＝BE＝2cm， ∴DE＝CE﹣CD＝6﹣2＝4（cm）． 14. （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是AC上的高线，∴BD⊥AC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°， ∴∠E＝60°， ∵点M是BE的中点， ∴AM＝EM＝BMBE， ∴△AEM是等边三角形． （2）解：∵△AEM是等边三角形，AD⊥EM，且S△AEM＝1，∴DE＝ME， ∴S△AMD＝S△AEDS△AEM， ∵EM＝BM， ∴S△ABM＝S△AEM＝1， ∴S△ABD＝S△AMD+S△ABM1， ∵AB＝CB，BD⊥AC， ∴AD＝CD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴S△ABD＝S△CBD， ∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD3， ∴△ABC的面积是3． 15. 证明：（1）如解图，过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF与Rt△ACF中，， ∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL）， ∴BF＝CF， 同理可得，Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）， ∴DF＝EF，∴BD＝CE； 第15题解图 （2）由（1）可得，BD＝EC， ∵点D为线段BE的中点，∠BAE＝90°， ∴BD＝AD＝DE， ∵AD＝AE， ∴DE相等的线段是AD，AE，EC，BD． 16. （1）证明：∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥AC，∴DM＝DN， 在Rt△ADM和Rt△CDN中， ∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL）； （2）解：∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝30°， 在Rt△BDN中，∵∠DBC＝30°，BD＝8， ∴DN＝4，BN4，∴8， 在Rt△BDM和Rt△BDN中， ∴Rt△BDM和≌Rt△BDN（HL）， ∴＝＝2＝2×816． 17. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5， 由旋转得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM， ∠EDM＝90°， ∴∠DCF+∠DCM＝180°， ∴F、C、M三点在同一条直线上， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDF＝45°， ∴∠EDF＝∠FDM， ∵DF＝DF， ∴△EDF≌△MDF（SAS）； （2）解：设CF＝x， ∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x， 由旋转得：AE＝CM＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝3，FM＝CF+CM＝2+x， ∵△EDF≌△MDF， ∴EF＝FM＝2+x， 在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2， ∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2， ∴x， ∴EF＝2+x， ∴EF的长为． 18. （1）解：不正确． 理由：第一步作辅助线：“作线段AD，使得AD平分∠BAC”错误，作辅助线不能同时满足两个条件； （2）证明：连接AD，过A分别作DB、DC的垂线，分别交DB、DC的延长线于E、F点，则∠E＝∠F， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴180°﹣∠ABD＝180°﹣∠ACD， 即∠ABE＝∠ACF， 在△ABE和△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AE＝AF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中，， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴DE＝DF， ∴DE﹣BE＝DF﹣CF，即BD＝CD． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$