加练10 特殊三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练10 特殊三角形的性质与判定 1．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF． 第1题图 2．如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△AEM是直角三角形． 第2题图 3．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AB、CA的延长线上，且BE＝AF＝CD．求证：△DEF是等边三角形． 第3题图 4． Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的高CD与角平分线BE交于点F． （1）求证：∠CAD＝∠BCD； （2）求证：△CEF为等腰三角形． 第4题图 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上． （1）如图1，∠ADE＝∠B，证明：△ADE是直角三角形； （2）如图2，连接BD，BD平分∠ABC，∠A＝40°，求∠ADB的度数． 第5题图 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． （1）若AE＝4cm，求CE的长度； （2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 第6题图 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD． （1）求证：△ACD是等腰三角形． （2）若AC＝BC，∠B＝70°，求∠D的度数． 第7题图 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上，且CF＝DE． （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）连接AD，当AD⊥BC，BC＝8，△CEF的周长为16时，求△DEF的周长． 第8题图 9．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 第9题图 10．如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC． （1）求证：MN＝MB+NC； （2）当OB＝OC时，直接写出图中的所有等腰三角形．（△BCO除外） 第10题图 11．已知，如图△ABC，E是BC上一点，∠BAC＝∠AEB＝α，△ABC角平分线BD交AE于H，G为DH中点，延长AG交BC于F． （1）求证：AH＝AD； （2）若α＝80°，∠C＝40°，求证：AF＝AB． 第11题图 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 第12题图 13．在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）若∠AFE＝55°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF为等腰三角形，连接AD，求∠ADC的度数； （3）在（2）的条件下，若△BDE也为等腰三角形，求纸片中∠B的度数． 第13题图 14．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 第14题图 15．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）； （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；并完成以下解答过程： 理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F． …… （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 第15题图 加练10 特殊三角形的性质与判定 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．解：∵∠AFD＝152°，∴∠DFC＝28°， ∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠DFC＝28°， ∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°． 2．证明：∵AD是BC边上的高， ∴∠DMC+∠DCM＝90°， ∵∠DCM＝∠MAE，∠DMC＝∠AME， ∴∠AME+∠MAE＝90°， ∴△AEM是直角三角形． 3．证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠EAF＝∠EBD＝120°， ∵BE＝AF，∴BE+AB＝FA+AC，即AE＝CF， 在△BDE和△AEF中，， ∴△AEF≌△BDE（SAS），∴EF＝ED， 同理可得△AEF≌△CFD， ∴EF＝FD， ∴EF＝ED＝FD， ∴△DEF为等边三角形． 4．（1）证明：∵△ABC的高CD与角平分线BE交于点F，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCD； （2）证明：由（1）得∠BDC＝90°， ∵△ABC的高CD与角平分线BE交于点F， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠ABE+∠BFD＝∠CBE+∠CEB＝90°， ∴∠CEF＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形． 5．（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°， ∵∠ADE＝∠B，∴∠A+∠ADE＝90°， ∴∠AED＝90°，∴△ADE是直角三角形； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝90°+25°＝115°． 6．解：（1）如解图，连接BE， 第6题解图 ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4 cm， ∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣30°＝30°， ∴BE＝2CE，∴AE＝2CE， ∴CE＝2 cm； （2）△BCD是等边三角形，理由如下： ∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点， ∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD， ∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形． 7．（1）证明：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD， ∴△ACD是等腰三角形； （2）解：∵AC＝BC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠BAC＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠DAC＝∠DCA＝40°， ∴∠D＝180°﹣2×40°＝100°． 8．（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵ED∥AB，∴∠EDC＝∠B， ∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC， ∵CF＝DE，∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形； （2）如解图，连接AD， 第8题解图 当AD⊥BC时，∵AB＝AC， ∴BD＝CDBC＝4， ∵△DEF周长＝DE+DF+EF， DE＝CE，DF＝CF+CD， ∴△DEF的周长＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周长+CD＝16+4＝20． 9．（1）证明：如解图，连接OA， 第9题解图 ∵AC＝BC，点F为AB的中点，∴CF⊥AB， ∴CF垂直平分AB，∴OA＝OB， ∵DE垂直平分AC， ∴OA＝OC，∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰三角形； （2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB， ∴CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝∠ACF＝23°， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝23°， ∵∠EDC＝90°∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°， ∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE， ∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°． 10．（1）证明：∵MN∥BC， ∴∠CON＝∠OCB，∠BOM＝∠OBC， ∵CO平分∠ACB，BO平分∠ABC， ∴∠OCN＝∠OCB，∠OBM＝∠OBC， ∴∠CON＝∠OCN，∠BOM＝∠OBM， ∴CN＝ON，BM＝OM，∴MN＝MB+NC； （2）解：由（1）可得CN＝ON，BM＝OM， ∴△BMO，CNO是等腰三角形， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠CON＝∠OCB，∠BOM＝∠OBC， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBM＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB， ∴∠OBM＝∠OBC＝∠OCN＝∠OCB， ∴∠MBO+∠OBC＝∠OCB+∠NCO， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形， 又∵MN∥BC， ∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形， ∴图中的所有等腰三角形有：△BMO，CNO，△ABC，△AMN． 11．证明：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， 又∵∠BAC＝∠AEB，∠ABD+∠BAC+∠BDA＝180°，∠AEB+∠EBD+∠BHE＝180°， ∴∠BHE＝∠AHD＝∠ADH， ∴AH＝AD； （2）∵AH＝AD，G为DH中点，∴AG⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠BAF＝∠BFA，∴BA＝BF， 又∵∠BAC＝80°，∠C＝40°， ∴∠ABF＝60°， ∴△ABF为等边三角形，∴BA＝BF＝AF． 12．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm， （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形， 即4﹣2t＝t，∴， 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t，∴t＝1； ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t），∴， 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 13． 解：（1）由折叠的性质得∠AFE＝∠DFE＝55°， ∴∠CFD＝180°﹣55°﹣55°＝70°， ∵∠ACB＝90°，∴∠CDF＝90°﹣70°＝20°； （2）如解图，连接AD， 第13题解图 ∵△CDF为等腰三角形，∠FCD＝90°， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 由折叠的性质得AF＝DF，AE＝DE， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠CFD＝∠FAD+∠FDA， ∴∠FDA＝22.5°＝∠FAD，∴∠ADC＝67.5°； （3）∵∠ADC＝∠B+∠DAB， ∴∠DAB＝67.5°﹣∠B， ∵AE＝DE，∴∠DAB＝∠ADE＝67.5°﹣∠B， ∴∠DEB＝∠EAD+∠EDA＝135°﹣2∠B， ∵DE＝BD，∠DEB＝∠B， ∴135°﹣2∠B＝∠B，∴∠B＝45°， 若BE＝BD，则∠DEB＝∠EDB， ∴∠DEB＝∠EDB＝135°﹣2∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB＝180°， ∴135°﹣2∠B+135°﹣2∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝30°， 若DE＝BE，则∠EDB＝∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB＝180°， ∴135°﹣2∠B+∠B+∠B＝135°≠180°（不合题意舍去）， 综上所述，∠B＝30°或45°． 14．解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝FMBC， ∵EF＝5，BC＝11，∴△EFM的周长＝EF+EM+FM＝EF+BC＝5+11＝16； （2）①∵EM＝BM＝FM＝CMBC， ∴∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠CEM， ∵∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BMF+∠CME＝360°﹣（∠BFM+∠MEC+∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2x°， ∴∠EMF＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝180°﹣360°+2x°＝2x°﹣180°， ∵x＝120，∴∠EMF＝2×120°﹣180°＝240°﹣180°＝60°； ②由①知，∠EMF＝2x°﹣180° ∵∠EMF＝y°，∴y＝2x﹣180． 15．解：（1）＝； （2）＝；理由如下： 过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中，， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF，则AE＝DB； （3）如解图，点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 同理可得△DBE≌△CFE， 第15题解图 ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$