加练9 二次函数综合题-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

加练9 二次函数综合题 1．如图①，是某种音乐喷泉，其形状如抛物线，图②是它的示意图，喷头A到地面BC的距离AO为5m，抛物线AEB与AFC关于AO对称，点D在抛物线AFC的最高处，离地面BC的距离为6m．到AO的距离为1m，已知喷泉的落地点中，B，C间距离最远． （1）请建立恰当的平面直角坐标系，求抛物线AEB的解析式； （2）要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须满足什么条件？ 图① 图② 第1题图 2．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣0.5x2+3x+1的一部分． （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高BC＝5米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 第2题图 3．数学活动小组通过观察投掷铅球的运行轨迹来研究二次函数的性质：在投掷铅球的实验中，该铅球运行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是二次函数y＝ax2+bx+c．小明投掷铅球出手时离地面的高度为1.8m，经测量铅球落地成绩刚好是8m（铅球成绩达到8m是满分）． （1）写出的取值范围是　 　； （2）若小明投掷的铅球运行到水平距离为3m时，铅球达到最大高度，求该铅球运行路线的解析式； （3）已知小红投掷铅球出手时离地面的高度为1.6m，， ①若小红投掷铅球成绩也是满分，求b的取值范围； ②若小红投掷铅球成绩刚好是8m，求：小红投掷铅球的运行水平距离为多少米时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大？ 第3题图 4．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞L1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞L1上，y与x近似满足函数关系y＝ax2+c（a≠0）．经测量在主桥洞L1上得到x与y的几组数据： x（米） ﹣1.4 ﹣1 0 1 1.4 y（米） 1.02 1.5 2 1.5 1.02 根据以上数据回答下列问题： （1）求主桥洞L1的函数表达式； （2）若L2的表达式：，L3的表达式：，求五个桥洞的总跨度AB的长． 第4题图 5．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4 m，宽AB＝1 m的矩形水池ABCD进行加长改造（如图1，改造后的水池ABNM仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为，则y1关于x的函数解析式为y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为，则y2关于x的函数解析式为，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求y2关于x的函数解析式； （2）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于x（m）（x＞0）的函数解析式为y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值． 第5题图 6．【问题提出】 如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE＝4．动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S． 【初步感知】 如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P的坐标为（3，t），与y轴的交点N的坐标为（0，16），与x轴的交点为点M． （1）当点F与点A重合时，点G与点D重合，求矩形ABCD的边AB和AD的长； 【深入探究】 （2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式； 【拓展延伸】 （3）是否存在3个路程x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等． 第6题图 7．我们约定在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，若4ac﹣2b＝b2，则称该函数是“文昌函数”．例如“文昌函数”y＝3x2+4x+2这里a＝3，b＝4，c＝2，其4ac﹣2b＝4×3×2﹣2×4＝16＝b2，即4ac﹣2b＝b2． 根据该约定，完成下列各题． （1）填空：二次函数y＝x2+2x+2　 　“文昌函数”；（选填“是”或“不是”） （2）求证：“文昌函数”y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与直线y＝﹣x总有两个不相同的交点； （3）已知P（m，n）是“文昌函数”y＝x2+6x+c图象上的一个动点，且在直线y＝﹣x+6的下方，求m，n的取值范围． 第7题图 8．在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小晨同学用二次函数y＝﹣x2+2mx作为其中一个函数（标记该函数图象交x轴于原点O及点A）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当m＝2时，如图，抛物线L：y＝﹣x2+4x上的点O，B，C，D，A关于与之对应的“和合对称抛物线”图象L′的“和合点”分别为O'，B'，C'，D'，A′．如表： ⋯ O（0，0） B（1，3） C（2，4） D（3，3） A（_，_） ⋯ ⋯ O′（0，0） B'（1，﹣6） C'（2，﹣8） D'（3，﹣6） A'（4，0） ⋯ ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象L′． 【初步探讨】（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L的顶点为点P，点P对应的“和合点”为点Q，则由点O、P、A、Q四点所围成的四边形的面积为　 　； ②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数y＝﹣x2+2mx对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线L′，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线L′的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线L：y＝﹣x2+2mx及与它对应的“和合对称抛物线”L′与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值． 第8题图 9．小明为了探究函数M：y＝x2﹣b|x|﹣3的性质，他想通过列表描点画出它的图象，然后再观察、归纳，并运用性质解决问题． （1）使用特殊到一般的方法，当b＝4时． ①列出y与x的几组对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 2 ﹣3 ﹣6 ﹣7 ﹣6 ﹣3 ﹣6 ﹣7 ﹣6 a 2 … 表格中，a＝　 　； ②结合上表，在如图①所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象； ③观察图象，当x＝　 　时，y有最小值为　 　； （2）求函数M：y＝x2﹣4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标； （3）已知P（1﹣2m，y1），Q（2﹣2m，y2）两点在b＝4时函数M的图象上，当y1＜y2时，求m的取值范围； （4）如图②，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣4，0），B（﹣4，﹣4），C（3，﹣4），D（3，0），当函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，直接写出b的取值范围． 图① 图② 第9题图 加练9 二次函数综合题 参考答案与解析 1．解：（1）以O为原点，以BC所在直线为x轴，以AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如解图所示； 第1题解图 由题意知，A（0，5），D（1，6）， ∵抛物线AEB与AFC关于AO对称， ∴抛物线AEB的顶点坐标为（﹣1，6）， 设抛物线AEB的解析式为y＝a（x+1）2+6， 把A（0，5）代入解析式得5＝a（0+1）2+6，解得a＝﹣1， ∴抛物线AEB的解析式为y＝﹣（x+1）2+6； （2）令y＝0，则﹣（x+1）2+6＝0，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝﹣1，∴BC＝2OB＝2+2． 答：要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须大于2+2． 2．解：（1）∵y＝﹣0.5x2+3x+1，∴a，b＝3，c＝1， ∴，，∴顶点坐标为（3，5.5）， 答：演员弹跳离地面的最大高度为5.5米； （2）当x＝4时，代入中， 得＝﹣8+12+1＝5， ∵5＝5，∴这次表演成功了． 3．解：（1）【解法提示】∵成绩刚好是8m，∴，∴． （2）根据题意，y＝ax2+bx+c经过点， ∴，解得，∴抛物线的解析式为； （3）①根据离地面的高度为1.6m，，得到， ∴，∴，∴，解得，∴b的取值范围为； ②设高度差为， ∵，∴Δy有最大值，且当时，取得最大值， ∴铅球的运行水平距离为4.1m时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大． 4．解：（1）将（0，2），（1，1.5）代入y＝ax2+c（a≠0），得，解得，∴y＝﹣0.5x2+2； （2）在L1上，令y＝0，有0＝﹣05x2+2，解得x1＝2，x2＝﹣2，∴C1（2，0）， ∵C1也在L2上，将C1（2，0）代入，解得h1＝3.4，h2＝0.6（舍去）， ∴，∴y2称轴为x＝3.4， ∴y2一个根为2，根据对称性，另一个根为4.8，即 C2（4.8，0）， 故C2（4.8，0）也在L3上，将C1（2，0）代入， 0＝0.5，解得h21＝5.8，h22＝3.8（舍去）， ∴，∴y3称轴为x＝5.8， ∴y3一个根为4.8，根据对称性，另一个根为6.8，即B（6.8，0），∴AB＝6.8×2＝13.6． 5．解：（1）由图象得，y1＝x+4（x＞0）经过点C，E，∵点C的横坐标为1，点E的横坐标为4， ∴当x＝1时，y1＝5，当x＝4时，y1＝8，∴C（1，5），E（4，8）， ∵经过（1，5），E（4，8）， ∴，解得，∴y2关于x的函数解析式为y2＝﹣x2+6x； （2）如解图，在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G， 则线段FG表示两个水池面积差，设F（m，﹣m2+6m）， 第5题解图 则G（m，m+4），∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0，∴当m时，FG有最大值为， ∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为； （3）∵水池3与水池2的面积相等， ∴y3＝y2，即x+b＝﹣x2+6x，∴x2﹣5x+b＝0， ∵若水池3与水池2的面积相等时，x有唯一值，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，解得b， ∴若水池3与水池2的面积相等时，x有唯一值，b的值为米． 6．解：（1）∵抛物线与y轴的交点N的坐标为（0，16），即当t＝0时，S＝16， 当t＝0时，点F与点B重合，此时线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形为△ABG，如解图1， AG＝BE＝4，SAB•AG＝16，∴AB＝8； 第6题解图 如解图2，过点G作GH⊥BC于点H，由此推得△FBE∽△EHG，∴， 当FB＝3时，即，∴EH＝6，∴AG＝BH＝4+6＝10．∴t（8﹣3）×10＝25， 设抛物线为S＝a（x﹣h）2+k（a≠0），∵抛物线顶点P的坐标为（3，25），∴抛物线为 S＝a（x﹣3）2+25， 如解图3，∵抛物线与y轴的交点N的坐标为（0，16）， ∴16＝a（0﹣3）2+25，∴a＝﹣1，∴S＝﹣（x﹣3）2+25＝﹣x2+6x+16， 当S＝0时，解得x1＝﹣2 x2＝8，∴抛物线与x轴的交点为点M的坐标为（8，0）， 由此可知，当点F与点A重合时，点G与点D重合，在Rt△ABE中，， 由△ABE∽△DEA得，即，∴AD＝20； 第6题解图4 （2）如解图4，过点F作FH⊥BC于点H， 由此推得△FHE∽△ECG，得，即， ∴CG＝24﹣2x，∴DG＝8﹣（24﹣2x）＝2x﹣16， ∴SDG•DF（2x﹣16）×[20﹣（x﹣8）]＝﹣x2+36x﹣224； （3）存在3个路程x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等．理由如下： 由S＝﹣x2+6x+16知，抛物线的对称轴为直线x＝3，∴x2+x1＝2×3＝6， 当x3﹣x2＝x2﹣x1时，则x3＝2x2﹣x1＝2（x2+x1）﹣3x1＝12﹣3x1， ∴6x1+1636x3﹣22436（12﹣3x1）﹣224， 整理得21x1﹣24＝0，Δ＝212﹣4×4×（﹣24）＝825＞0， ∴存在，当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等． 7．（1）解：是；【解法提示】∵4ac﹣2b＝4×1×2﹣4＝4＝b2＝2，∴二次函数y＝x2+2x+2 是“文昌函数”． （2）证明：∵4ac﹣2b＝b2，联立2个函数表达式得ax2+bx+c＝﹣x，整理得ax2+bx+x+c＝0， 则Δ＝（b+1）2﹣4ac＝b2+2b+1﹣4ac＝2b+1﹣2b＝1＞0， ∴“文昌函数”y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与直线y＝﹣x总有两个不相同的交点； （3）解：∵4ac﹣2b＝b2，即36＝4c﹣12，∴c＝12， 第7题解图 ∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+12， 两个函数的大致图象如解图所示， 设两个函数的交点为点A、B，当点P在AB下方时，满足题设条件， 联立直线和抛物线的表达式得x2+6x+12＝﹣x+6，解得x＝﹣1或﹣6， 即点A、B的坐标分别为（﹣6，12）、（﹣1，7）， 而抛物线的顶点坐标为（﹣3，3），则﹣6＜m＜﹣1且3≤n＜12． 8．解：（1）①4，0；【解法提示】和合对称二次函数图象与x轴交点相同，∴A坐标与A坐标相同，同为（4，0）． 第8题解图 ②描点画图即可，如解图； （2）①3；【解法提示】当m＝﹣1时，抛物线L：y＝﹣x2﹣2x，与x轴交点为O（0，0）、A（﹣2，0），y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∴顶点P坐标为 （﹣1，1），设抛物线L′：y＝ax2+bx，则，解得，∴抛物线L′：y＝2x2+4x，当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）＝﹣2，∴Q坐标为（﹣1，﹣2），∴． ②抛物线L：y＝﹣x2+2mx与x轴交点为点为（0，0）、（2m，0）， 则设抛物线L′：y＝2x2+bx 与x轴交点为点为（0，0）、，，解得b＝﹣4m， 抛物线C：y＝2x2﹣4mx，∴y＝2x2﹣4mx＝2（x﹣m）2﹣2m2，∴顶点为（m，﹣2m2）， ∵其横、纵坐标互为相反数，∴m﹣2m2＝0，解得， ∴抛物线E为y＝2x2或y＝2x2﹣2x； （3）抛物线L：y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2，∴其顶点为（m，m2）， 则抛物线C：y＝2x2﹣4mx＝2（x﹣m）2﹣2m2，∴其顶点为（m，﹣2m2）， 当直线y＝m过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点， ∴m＝m2或m＝﹣2m2，解得m＝0、m＝1或， 当m＝0时，两个抛物线与y＝m只有一个交点，不满足条件，∴m的值为1或． 9．解：（1）①﹣3；【解法提示】当b＝4时，y＝x2﹣4|x|﹣3，当x＝4时，y＝42﹣4×|4|﹣3＝﹣3． ②如解图①，当x＞0时函数M的图象如图所示； 图① 图② 第9题解图 ③﹣2或2，﹣7；【解法提示】观察图象可知：当x＝﹣2或2时，y有最小值﹣7． （2）当x＜0时，可得，解得或（舍去）， 当x≥0时，可得，解得或， ∴函数M：y＝x2﹣4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣2，﹣7）或（0，﹣3）或（6，9）； （3）当b＝4时，函数M：y＝x2﹣4|x|﹣3，如解图②， ∵P（1﹣2m，y1），Q（2﹣2m，y2）两点在b＝4时函数M的图象上，∴当y1＝y2时，m或或， 当y1＜y2时，或2﹣2m，∴m的取值范围为m或m； （4）b的取值范围为b＝2或b．【解法提示】如解图③，当点B（﹣4，﹣4）在函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象上时，把B（﹣4，﹣4）代入y＝x2﹣b|x|﹣3，得﹣4＝16﹣4b﹣3，解得b，此时，函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象与矩形的边恰有3个交点；如解图④，当点C（3，﹣4）在函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象上时，则﹣4＝9﹣3b﹣3，解得b，此时，函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象与矩形的边恰有5个交点，当函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象顶点在BC边上时，如解图⑤，则﹣34，解得b＝2，此时，函数y＝x2﹣b|x|﹣3（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点，综上所述，b的取值范围为b＝2或b． 图③ 图④ 图⑤ 第9题解图 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$