精品解析：四川省成都市铁路中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

成都铁中2024-2025学年高一下学期半期考试 数学 命题：谭杨颖 审题：刘杨 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A. B. C. D. 5. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 与垂直 C. D. 10. 下列各式中，化简结果为 的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________. 13. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 14. 已知中，角的对边分别为，，.过点作的垂线，为上一点，若，且点在外部，则线段长的取值范围为_______. 四、解答题：本题关5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 16. 已知，． （1）当为何值时，与共线？ （2）当为何值时，与垂直？ （3）当为何值时，与的夹角为锐角 17. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 18. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式 ，这个公式常称为海伦公式，其中，，我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式，请你结合阅读材料解答下面的问题： （1）已知的三条边分别为，请利用公式求出的面积； （2）中，所对的边分别为.已知的面积为6，其内切圆半径为1，，求； （3）在中，，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都铁中2024-2025学年高一下学期半期考试 数学 命题：谭杨颖 审题：刘杨 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标进行数量积、共线、垂直和模长计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【详解】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 故选：D 3. 下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据象限角的定义可知（1）错误；正切函数只在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数；易知函数的零点是或，可得结论. 【详解】对于（1），第一象限的角不一定是锐角，例如，即（1）错误； 对于（2），函数的定义域为，在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数，所以（2）错误； 对于（3），令，可得，即或，可知（3）错误； 所以真命题的个数只有0个. 故选：A 4. 若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，且，代入运算即可. 【详解】因为，，，， 可知， 又因为向量在基底，下的坐标为， 则， 所以在基底，下的坐标为. 故选：C. 5. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 6. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知可求得，利用投影向量的定义可求向量在向量方向上的投影向量. 【详解】因为，所以，即， 又，，所以，则， 设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为： ． 故选：B． 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件的两个式子平方相加可得，然后可得，再由，，可得，从而可求出，由商式关系可求得. 【详解】由，得， 由，得， 两式相加得，，所以可得， 因为，，所以， 所以，可得. 故选：B 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 与垂直 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A向量无法比大小；B判断数量积是否为0即可；C利用反证法，再计算等式两侧的模，最终转化为判断是否成立；D利用数量积的运算律即可. 【详解】A：向量无法比大小，只有向量的模可以比大小，故A错误； B：， 故与垂直，故B正确； C：假设成立，则， 即， 因，，是任意的非零向量，则， 而均为中的任意数，故不一定成立， 故C错误； D：， 故D正确. 故选：BD 10. 下列各式中，化简结果为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B，利用两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以， 为钝角三角形，A正确； 选项B：如图所示， 若有两解，则，解得，B错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C正确； 选项D：若，， 由余弦定理，， 所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，再根据正弦函数性质即可求出其增区间. 【详解】 ， 由，， 可得，，令，则， 又因为，则其在上单调增区间为. 故答案为：. 13. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 14. 已知中，角的对边分别为，，.过点作的垂线，为上一点，若，且点在外部，则线段长的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，由正弦定理可得，进而可求得，可求得其取值范围. 【详解】设，，则，， 在中，由正弦定理知，， ， 在中，由正弦定理知，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 故线段长的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题关5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，设所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简即可得出，进而得出，结合范围即可求得的值； （2）由已知利用余弦定理解得，进而根据三角形的面积公式即可计算得解． 【小问1详解】 利用正弦定理可化简为， 则， 则， 因，则，则， 因，则. 【小问2详解】 因为，，且， 所以由余弦定理， 可得，解得， 所以， 故的面积为. 16. 已知，． （1）当为何值时，与共线？ （2）当为何值时，与垂直？ （3）当为何值时，与的夹角为锐角 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算得，，再根据平面向量的平行，垂直，数量积的坐标运算方法，即可解决. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得 【小问2详解】 因为，， 所以，， 因为与垂直， 所以， 即， 所以 【小问3详解】 因为，， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 解得且 17. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】（1）60°； （2）等边三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. 【小问3详解】 因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 18. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再由函数的周期确定的值即得函数解析式； （2）先根据平移伸缩变换求得的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象性质即得的值域； （3）先求出函数的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可判断方程的解的个数，求得，再根据图象的对称性化简计算即得参数的值. 【小问1详解】 由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. 【小问3详解】 ， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质的应用，属于较难题. 解决此类问题的关键是先利用三角恒等变换确定三角函数解析式，再将看成整体角，借助于正弦函数的图象的性质即可求解. 19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式 ，这个公式常称为海伦公式，其中，，我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式，请你结合阅读材料解答下面的问题： （1）已知的三条边分别为，请利用公式求出的面积； （2）中，所对的边分别为.已知的面积为6，其内切圆半径为1，，求； （3）在中，，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合材料将三角形边长代入海伦公式和三斜求积公式，求解三角形面积即可. （2）利用给定的三角形内切圆半径结合三角形的面积公式得到，再代入海伦公式中得到，再联立方程组求解即可. （3）利用两角和的正弦公式得到，再代入三斜求积公式中将三角形面积表示为二次函数，再利用二次函数性质求解最大值即可. 【小问1详解】 由题意得， 根据海伦公式，可得的面积 ， 由“三斜求积”公式，可得的面积 ； 【小问2详解】 设内切圆半径为， 由题意得，结合且，解得①， 由，结合海伦公式， 则，整理得，代入①可得②， 由①②组成方程组，结合.解得、； 【小问3详解】 若，则， 化简得， 结合正弦定理得，由，结合“三斜求积”公式， 到得， 由二次函数的性质，可知当，即时，面积取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $