精品解析：广东省东莞市三校（东莞市大岭山中学、东莞市众美中学、东莞市松山湖莞美学校）2024-2025学年高二下学期期中联考检测数学试卷

2024～2025学年度第二学期三校联考期中检测 高二数学 命题学校：众美中学 审题人：莞美、大岭山中学 说明：本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑. 1. 若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值． 【详解】因为，切点为(0,)， 所以切线的斜率为，则切线方程为，即， 又切线方程为，即， 所以，. 故选：D 2. 无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选， 号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合. 故选：B 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的运算公式与运算法则计算，对每个选项逐一分析. 【详解】A. ，故A错；B. ，故B错；C. ，故C正确；D. ，故D错. 故选：C. 4. 已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从三个函数中任意取两个相乘得到新函数，基本事件总数n＝,所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝=2，所以根据概率计算公式p=求得概率为 【详解】解：∵f1（x）＝x是奇函数， f2（x）＝ 是奇函数， 是偶函数， 从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数， 基本事件总数n＝， 所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝＝2， ∴所得新函数为奇函数的概率p＝. 故选C． 【点睛】本题考查了概率的求法，考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，是基础题． 5. 盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是坏的 D. 至多有2个是坏的 【答案】C 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式，结合组合数公式求出每个选项对应的概率，即可求解. 【详解】盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为. A：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好1个是坏的概率为，故A错误； B：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 4个全是好的概率为，故B错误； C：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好2个是坏的概率为，故C正确； D：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 至多2个是坏的概率为，故D错误. 故选：C 6. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 7. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质进行计算即可. 【详解】随机变量服从正态分布， 且, 所以， ， 所以， 故选:D. 8. 若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可 【详解】，， 设公切线与的图像切于点， 与曲线切于点， 所以， 故，所以， 所以， 因为，故， 设， 则，令 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以实数a的最大值为e， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合赋值逐项进行判断即可. 【详解】由， 所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确； 的展开式中，的系数为，的系数为， 则，故B错误； 令，得，故C正确； 令，得， 所以，，故D 正确； 故选：ACD. 10. 设函数则下列说法正确的有（ ） A. 函数仅有1个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D. 【详解】对AB，，， 当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以，，又， 所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误； 对C，由，得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对D，设切点为，则，故切线方程为， 又过点，所以，整理得， 即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确． 故选：ACD． 11. 高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用利用独立重复试验的概率公式和对称性求出. 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知， ，， ，， 所以A，B正确, ， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据散点图直接求解即可. 【详解】由散点图可知， 所以. 故答案为:. 13. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件， 由题意可知：，，且， 由全概率公式可知：， 即，代入， 可解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知随机变量，若最大，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可. 【详解】由题意知：，要使最大，有， 化简得，解得，故，又， 故. 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球. （1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 【答案】（1）16 （2）150 【解析】 【分析】（1）由特殊元素优先的原则，先排球，再排，两球，其余小球任意排； （2）把5个小球分成3组，再进入3个盒子中. 【小问1详解】 将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻， 则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排， 方法有种. 【小问2详解】 将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球， 则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中. 若按311分配，方法有种， 若按221分配，方法有种. 综上可得，方法共有种. 16. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） . 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 因为是的极值点， 所以，即，所以，经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的定义域为，若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 令，只需，又， 令得， 时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以，解得：. 【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得. 17. 某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 民俗文化周届数编号 1 2 3 4 5 外地游客人数（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 （1）求关于的线性回归方程； （2）据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元. 参考公式： ，. 【答案】（1） （2）2320万元 【解析】 【分析】（1）根据题意利用公式算出相关系数即可； （2）结合（1）中的数据进行计算和分析即可. 【小问1详解】 由所给数据计算得： ， ， ， ， ， ， 所以所求的线性回归方程为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人， 由232 000×100＝23 200 000（元）， 所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元. 18. 某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图： （Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出结论）； （Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率； （Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于的人数，求的数学期望． 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得 ②若，则， 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826 【解析】 【分析】(I)根据图中的数据即可判断方差的大小，利用频率总和为1即可求出的值； (II)先设设事件：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，根据图形数据可得到它们的概率，而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另一种是这个人在高二；再不出它们的概率和即可； (III)利用所给的数据分别求出样本平均数和样本方差，代入公式即可求出概率和数学期望. 【详解】解：（Ⅰ），； （Ⅱ）设事件：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟， 事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟， 事件：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间大于20分钟，且另一个不大于20分钟， 则， ， ． （Ⅲ），由条件得， 从而， 从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于的概率是0．6826， 根据题意得，． 【点睛】本题考查了概率的计算及正态分布期望值的计算，考查了学生对数据的处理能力和计算能力，属于一般题. 19. 已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有： ①当时，； ②当时，； ③当时，， 则称为函数的一个“ʃ­-点”. （1）判断是否是下列函数的“ʃ­-点”： ①； ②.（只需写出结论） （2）设函数. （ⅰ）若，证明：是函数的一个“ʃ­-点”； （ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，直接写出的取值范围. 【答案】（1）①0是的“ʃ­-点”； ②0不是的“ʃ­-点”. （2）（ⅰ）证明：因为 ，， 所以 在点处的切线方程为， 即 . 令 ， 则 . 因为 ，所以 . 所以 函数是上的增函数.，且 ， 所以 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以 是函数的 “ʃ­-点”. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据“ʃ­-点”的定义进行判断，即可得结论; （2）（ⅰ）先求导,再求在处的切线的方程为.令.在求导,讨论导数的符号可得函数的单调性.根据其单调性判断函数在时, 时,和时的符号即可. （ⅱ）由（ⅰ）可知. 【详解】（1） ①0是的“ʃ­-点”； ②0不是的“ʃ­-点”. （2）当时，，其定义域为，（）. （ⅰ）略 （ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，则的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期三校联考期中检测 高二数学 命题学校：众美中学 审题人：莞美、大岭山中学 说明：本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑. 1. 若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为 A. B. C. D. 5. 盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是坏的 D. 至多有2个是坏的 6. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A. B. C. D. 7. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 8. 若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数则下列说法正确的有（ ） A. 函数仅有1个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 11. 高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______． 13. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为________． 14. 已知随机变量，若最大，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球. （1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 16. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求a的取值范围； 17. 某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表： 年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 民俗文化周届数编号 1 2 3 4 5 外地游客人数（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 （1）求关于的线性回归方程； （2）据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元. 参考公式： ，. 18. 某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图： （Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出结论）； （Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率； （Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于的人数，求的数学期望． 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得 ②若，则， 19. 已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有： ①当时，； ②当时，； ③当时，， 则称为函数的一个“ʃ­-点”. （1）判断是否是下列函数的“ʃ­-点”： ①； ②.（只需写出结论） （2）设函数. （ⅰ）若，证明：是函数的一个“ʃ­-点”； （ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，直接写出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $