精品解析：浙江省诸暨中学暨阳分校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

诸暨中学暨阳分校2024学年第二学期期中考试 高二数学 试题 命题：吕夏平 审题：倪志华 考生须知： 1.本试题卷分为四部分，共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、考号、班级用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，将自变量代入求导数值. 【详解】由题设，则. 故选：A 2. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数的性质可得出的值，再利用组合数公式可求得的值. 【详解】由题意可知，因为，则，解得， 因此，. 故选：C. 3. 设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 4. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 是函数的极值点 C. 函数在处取得极大值 D. 函数一定有2个零点 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合，由导函数的正负即可判断原函数的单调性以及极值、极值点. 【详解】由导函数的图象可得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为，故A错误． 当时函数取得极大值，故B正确． 当时函数无极值，故C错误． 由于不知道的值，所以无法判断零点个数，故D错误． 故选：B. 5. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 5 C. 7 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意：. 所以. 所以. 故选：D 6. 已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（ ） A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出回归直线方程，再代入计算可得. 【详解】依题意，， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选：C. 7. 某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（ ） A. 132 B. 114 C. 90 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，第二种分配方式再分，两人一组去一个社区，，两人加上另一个人三人去一个社区，进行求解，最后利用分类加法原理求解即可. 【详解】第一种分配方式这每个社区各两人，则，为一组，再从，，，中选两人为一组，剩下的两人为一组，所以有种分配方法， 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当，两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，所以有种分配方法， 当，两人加上另一个人三人去一个社区，则剩下的3人，1人为一组，2人为一组，所以有种分配方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的分配方法. 故选：B 8. 已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式等价于，， 设，，所以， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，且时，， 因此与的图象如下， 当时，显然不满足条件， 当时，若0，1是不等式的解，只需要满足，即，解得． 当的切线过点时，设切点为， 则切线方程为，该直线过点，， 解得， 若是原不等式的解，则，解得； 所以k的范围为. 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的相关性越弱 B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好 C. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位 D. 经验回归方程相对于点的残差为0.5 【答案】BC 【解析】 【分析】由相关系数r,回归直线方程，残差知识可逐一判断各个选项. 【详解】对于A项，两个变量的相关系数为，越大，与之间的相关性越强，故A错误 ； 对于B，在回归分析中， 越接近于1， 模型的拟合效果越好， ∴为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好，故B正确； 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位，C正确； 对于 B，残差=观测值减去预测值=，故D错误. 故选：BC 10. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意结合正态分布的对称性求解判断，对于B，由题意可知，然后根据二项分的期望公式及性质分析判断，对于C，根据二项分布的方差公式计算判断，对于D，根据对立事件的概率公式计算判断. 【详解】对于A，因为高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且， 所以， 所以，所以A正确， 对于B，由选项A可知在区间的概率为，则， 所以，所以，所以B正确， 对于C，由选项B可知，所以，所以C错误， 对于D，由题意得，所以D正确. 故选：ABD 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于BD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可. 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以， 即，A正确； B选项：令，则， 可知在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，B错误； C选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，C正确； D选项：由B可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再由可求出的单调递减区间. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 13. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法. 【答案】504 【解析】 【详解】依题意，六门课程的全排列为，其中“礼”排在第一周有种，“数”排在最后一周有种， “礼”排在第一周且“数”排在最后一周有种， 所以符合要求的排法种数为. 故答案为：504 14. “算两次”是一种重要数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可. 【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为， 所以． 故答案：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，求 （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）513. 【解析】 【分析】（1）令求，应用二项式的展开式求系数； （2）令求出所有项系数和，结合（1），即可得. 【小问1详解】 令，得，又，， 所以，有. 【小问2详解】 令，得， 又，所以. 16. 已知函数，其图象上点处的切线的斜率是-4. （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得，求解即可； （2）利用导数知在和上递增，在上递减，所以. 【小问1详解】 ， 所以由已知得， 解得，. 小问2详解】 由（1），， 令，则或，令，则， 所以在和上递增，在上递减， 所以 17. 甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出甲箱中任取2个产品和这2个产品只有1个是次品的方法数，然后根据古典概型的概率公式求解即可； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【小问1详解】 令事件“这2个产品只有1个是次品”， ； 【小问2详解】 令事件“从乙箱取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，则两两互斥，且， 则，， 则 18. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 5 女生 8 合计 45 已知在全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）根据小概率值的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？ （3）现从女生中抽取2人做进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与均值. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）与性别有关 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整； （2）根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可； （3）根据题意可知喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与均值. 【小问1详解】 因为全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为， 则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人， 所以列联表补充如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 22 5 27 女生 8 10 18 合计 30 15 45 【小问2详解】 零假设为：喜爱打篮球与性别无关， 计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问3详解】 喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2. 所以，，， 故的分布列为： 0 1 2 所以的期望值. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“2类函数”； （2）若，为上的“2类函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义判断即可； （2）不妨设，结合新定义得为上的增函数，为上的减函数可得，令，利用导数求出，令，利用导数求出可得答案. 【小问1详解】 对于任意不同的，，设，则，， 所以， 所以不是上的“2类函数”； 【小问2详解】 因为，由题意知，对于任意不同的，， 都有， 不妨设，则， 故且， 故为上的增函数，为上的减函数， 所以，， 故对任意，都有， 即，即， 令，， 故在单调递减，所以，所以， 令，， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨中学暨阳分校2024学年第二学期期中考试 高二数学 试题 命题：吕夏平 审题：倪志华 考生须知： 1.本试题卷分为四部分，共4页，满分150分，考试时间为120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名、考号、班级用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若函数，则（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 是函数的极值点 C. 函数在处取得极大值 D. 函数一定有2个零点 5. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 5 C. 7 D. 21 6. 已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（ ） A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元 7. 某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（ ） A. 132 B. 114 C. 90 D. 72 8. 已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的相关性越弱 B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好 C. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位 D. 经验回归方程相对于点的残差为0.5 10. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ） A B. C. D. 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则函数单调递减区间是__________. 13. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法. 14. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，求 （1）求，值； （2）求的值. 16. 已知函数，其图象上点处的切线的斜率是-4. （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最小值. 17. 甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 18. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 5 女生 8 合计 45 已知在全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球学生的概率为. （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）根据小概率值的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？ （3）现从女生中抽取2人做进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与均值. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“2类函数”； （2）若，为上的“2类函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $