精品解析：江苏省南京市第二十九中学、常州中学、南菁中学2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

29中、常州中学、南菁中学2024-2025学年第二学期期中 高二数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义，求出导数得切线斜率. 【详解】, 所以. 故选：D 2. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 3. 北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ） A. 2880 B. 1440 C. 720 D. 576 【答案】A 【解析】 【分析】相邻问题采取“捆绑法”，先将4名女生排在一起，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列即可求解. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 4. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 5. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 6. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性有，进而有，则有，应用二项分布求概率、期望、方差判断各项正误. 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； 在的概率为，则， 所以，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，所以，故D错误． 故选：B 7. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球， 分别求出利用条件概率公式即可求解. 【详解】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,， 所以 所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：. 故选：C. 8. 已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，构造并用导数研究函数的单调性得，将目标式化为，再构造，最后应用导数求其最大值，即可得. 【详解】因为，分别是函数与的零点， 所以，则，即， 又，，所以，． 设，则， 所以在上单调递增，所以，则， 所以，则． 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，， 所以的最大值为． 故选：B 二、多选题（共3小题） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据分布列的概率和为1可求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于C，根据二项分布的方差公式即可求解；对于D，根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】对于：， 所以，所以，故A正确； 对于，可得，故B不正确； 对于，因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据满足，数形结合分析判断AB；证明对数均值不等式，再化简判断C；根据有两根且判断即D. 【详解】对于A，，即，设相切时切点为， 则对求导有，又切点与原点确定直线的斜率与该点处的导数值相等，即， 解得，则切点，此时，当函数有两个零点时，，A正确； 对于B，由图象得，，B错误； 对于C，先证明：当时，， 构造函数，则， 函数在上单调递增，又，故， 即，化简可得，即， 又，则，于是，， 因此，即，C正确； 对D，依题意，即有两根且，令，则， 令函数，求导得，即在上递减， 又，因此，，D正确. 故选：ACD 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（ ） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为 C. 存在点，使得直线与平面所成的角为 D. 为所在直线的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由几何体性质利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值为，可判断D正确. 【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面， 又平面，， 为的中点，， ，，，，即， 又，是平面内的相交直线，平面， 又平面，平面平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 当为中点时，，，， 设平面的一个法向量为，则； 取，则，，所以， 所求异面直线与之间的距离为，故B正确； 对于C，设点，，，其中，0， 由射影定理知，，即， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与平面所成的角为， 则， 由知，代入上式整理得，此方程无解， 所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项C错误； 对于D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为， 如图， 以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面，且，， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当，（在延长线上）三点共线时取得最大值为， 又弧所在圆圆心为，半径为2， ，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为钝角， 则，解得， 当共线时，由，即，解得， 所以当夹角为钝角时. 故答案为：. 13. 设函数，则满足的x的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，确定函数单调性及奇偶性，利用函数性质来解不等式即可得答案. 【详解】， 设， 又，为上的奇函数， ， 在上单调递增， 又， ， ，， 又∵为上的奇函数， ， 又在上单调递增，，即， 故的取值范围是． 故答案为： 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）先计算得分和得分的概率，再利用独立事件的概率公式列出分布列； （2）记得1分的次数为，则，利用求二项分布的概率最值解出，再根据得出或，则可求的值. 【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 四、解答题（共6小题） 15. 已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式即可解； （2）由可得，3，6，从而可解． 【小问1详解】 已知的展开式的通项公式为， 因为第五项的，所以第五项的二项式系数：， 因为第三项的，所以第三项的系数为：， 由题意可得，得， 由二项式系数的性质可知，展开式中第4项的二项式系数最大， 即， 【小问2详解】 由（1）知，， 又，，由，可得 故展开式中的有理项为：． 16. 已知函数，. （1）若在单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数及其导数，再利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解. （2）求出函数在区间上的最大值，再借助建立不等式求解. 【小问1详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此， 设，，则在上单调递增， 于是，即， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，，即在上单调递增，， 函数，求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点. （1）在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建系，求出相关点和相关向量的坐标，通过线线垂直建立方程组，即可求得点的坐标，得出结论； （2）按（1）建系，利用四点共面求得点坐标，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因底面，且是正方形，故可以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则 因点P、Q分别是棱的中点，则, , 假设在底面内存在点，使得平面，则 则由，解得， 故存在点，满足平面； 【小问2详解】 按照（1）建系，设点， 依题意，四点共面，故必有, 即，则得，，解得， 即，又, 设平面的法向量为，则， 故可取.因， 设与平面所成角为，则. 即与平面所成角的正弦值为. 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 均值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易知的所有可能取值为，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值； （2）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得； （3）由五局三胜制的规则，可知的所有可能取值为，求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为 设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以， . 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为. 【小问2详解】 设第一局比赛甲获胜为事件，则. 由（1）知，， 由全概率公式，得 解得，即第一局比赛甲获胜的概率. 【小问3详解】 由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则， 设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立， 所以的所有可能取值为， 因此可得； 故该场比赛甲获胜的概率. 19. 已知函数，且定义域为. （1）求函数的单调区间； （2）若有2个零点，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，在上单调递减， 时，在上递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）由（1）先确定的一个大致范围，然后根据零点个数列不等式，结合零点存在性定理求得的取值范围. （3）构造函数，求得，对进行分类讨论，由恒成立列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 ，， ①时，恒成立，所以在上递减； ②时，恒成立，所以在上递增； ③时，令得， 单调递减，单调递增， 综上：时，在上单调递减， 时，在上递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为不是单调函数，由（1）知，，且在上单调递减， 在上单调递增，要使得有2个零点， 则必有，所以，， 又当时，， 先证：，令， 令， 令在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以成立，所以，，即：成立， 取则有，且， 所以时，有2个零点. 综上：. 【小问3详解】 令， 则恒成立，且， ， ①时，， 当时，，当时， ， 时，恒成立，所以，在上递增， 所以，，符合题意. ②时，，与题意不符，舍去. ③时，时， ， 由得，， 所以，存在，使， 且可使，单调递减，时，，舍去 综上： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 29中、常州中学、南菁中学2024-2025学年第二学期期中 高二数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ） A. 2880 B. 1440 C. 720 D. 576 4. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 10. 已知函数的两个零点分别为且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（ ） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，异面直线与之间的距离为 C. 存在点，使得直线与平面所成的角为 D. 为所在直线的动点，则的最大值为 三、填空题（共3小题） 12. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 13. 设函数，则满足的x的取值范围是__________. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 四、解答题（共6小题） 15. 已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 16. 已知函数，. （1）若在单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点. （1）在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值. 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 19. 已知函数，且定义域为. （1）求函数的单调区间； （2）若有2个零点，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $