精品解析：江苏省沭阳如东中学2024-2025学年高一下学期期中学情检测数学试卷

2024~2025 学年度第二学期期中学情检测试卷 高一数学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页， 包含选择题(1~11，共58分)、填空题(第12题~第14题， 共15分)、解答题(第15~19题，共77分).本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置. 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效.4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对化简后，再利用模的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 3. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求. 【详解】在平行四边形中， ，， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把分子中化为，利用两角差的余弦公式进行计算即可. 【详解】原式= . 故选：C. 5. 已知向量，， 则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的坐标，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由向量，，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：A 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 7. 设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，得，，化简后结合向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以， 所以，② 由②①，得，则， 所以，得，所以， 因为， 是两个非零向量， 所以， 因为，所以. 故选：C 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由，得，然后利用三角函数恒等变换公式及同角三角函数的关系对化简变形，再代入计算即可. 【详解】由，得， . 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数， 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例；B设，计算得出，再利用复数相等的概念即可；C利用以及是方程的根即可判断；D设，求出所有满足题意的，最后分别计算即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B,设，则， 若，则，则，则，故B正确； 对于C,因，则是方程的根， 因，则是方程的根，即，故C正确； 对于D,设，则， 因，则，则，则， 若，则， 则若，则；若，则； 由B选项可知，若，则， 则若，有；若，有； 综上可知，，故D正确. 故选：BCD 10. 点在所在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，取中点，连接，取的中点，连接，结合向量的加法法则分析判断，对于B，根据数量积的定义结合锐角三角形的定义分析判断，对于C，由已知条件结合向量的加减法法则可得为上靠近的三等分点，从而可求出两三角形的面积比，对于D，举例判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，则， 因，所以，所以与共线， 因为与有公共点，所以三点共线，即在中线上， 取的中点，连接，同理可得在中线上， 所以为的重心，所以A正确， 对于B，由，得，所以， 因为，所以角为锐角，而其它角不一定为锐角， 所以不一定为锐角三角形，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以，所以与共线， 因为与有公共点，所以三点共线，且为上靠近的三等分点， 所以，设到边的距离为，则 ，所以C正确， 对于D，若为的中点，则， 所以 ，所以D错误. 故选：AC 11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即(S为三角形的面积，为三角形的三边).现有满足， 且的面积，则（ ） A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得，则设，再结合面积公式及的面积可求出，从而可求出三边长，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，则设， 因为的面积，， 所以， 化简整理得，解得， 所以， 对于A，因为，所以的最长边长为14，所以A正确， 对于B，由余弦定理得， 因为，所以，所以， 所以，所以B正确， 对于C，因为的面积，且， 所以的三条高的和为，所以C错误， 对于D，因为为的中线，所以， 所以 ， 所以，即，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12 已知复数若，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得. 故答案为： 13. 四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形性质以及可求得为等腰梯形，再由平面向量共线定理以及三角形相似计算可得，利用勾股定理求出梯形的高计算即可求得其面积. 【详解】取的中点为，连接，作于点，如下图所示： 因为四边形内接于圆，所以， 又，可得， 所以，因此可得四边形为等腰梯形， 易知，所以，由可得三点共线， 由圆的性质可知，所以， 可知，可得， 所以，； 可知梯形面积. 故答案为： 14. 已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，，通过角平分线定理得出，再利用中垂线过点 M，可得出与相似，从而得出，结合三角形性质和余弦定理即可求解. 【详解】设，，根据角平分线定理得， 所以，， 因为线段AB的中垂线过点 M，所以，, 所以与相似，所以，即，化简为， 因为，所以， 所以， . 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， . （1）设， 若向量与互相平行， 求的值; （2）设， 当取得最小值时， 求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再由向量模的坐标表示计算可得； （2）用坐标法表示，结合二次函数求出取最小值时的值，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又向量与互相平行，所以，解得， 所以，则； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以当时取得最小值， 此时，则，， ， 所以设向量与夹角，则， 所以向量与夹角的余弦值为. 16. 已知 ， （1）求tanα的值; （2）若在角终边上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式得出，再利用解方程组，结合的范围即可求出，最后利用即可求得； （2）根据三角函数的定义写出，再利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 则， 因，则或， 因，则，则， 则. 【小问2详解】 因点在角终边上，则 则 ， ， 则. 17. 在 中， 内角的对边分别为，且． （1）求角B； （2）若边的面积为角A的平分线交边于点D，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，诱导公式即可求解； （2）由余弦定理得出和，再根据等面积法和三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 ， 所以或，即或（舍）， 所以． 【小问2详解】 因为的面积为 所以， 由余弦定理得，， ， 由得，， 解得． 18. 复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角. （1）若喷灌的有效覆盖区域面积为，求； （2）设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中求出，在再中利用面积公式表示出，利用余弦定理表示出，再结合完全平方公式可求得结果； （2）在和中分别利用正弦定理表示出，然后表示出，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值. 【小问1详解】 由已知得 为直角三角形， 因为 ， 所以， 设点到的距离为，则， 所以，得， 因为， 所以，得， 在中，由余弦定理得, 即，得， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以 ， 所以， 则. 在中，由正弦定理得：，得， 所以， 在中，由正弦定理得：, 得， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当，即时，取得最大值. 所以，喷灌的有效覆盖区域的最大面积为. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义及条件，得到，又，再结合的性质，即可求解； （2）根据条件，利用向量模长及夹角公式，得到，进而得到，再结合题设条件，即可求解； （3）根据题设可得，利用，得，再结合是正整数，对取值讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则， 又，所以，得到， 又，且 所以的取值范围是. 小问2详解】 因为和，则，， 则设向量和的夹角为，则， 所以， 则，整理得到， 所以（舍）或，解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 因为，则，， 又，则，即， 又，则，又是正整数， 当，不合题意， 当，，由，得到， 所以，满足题意，故， 当时，，得到，解得， 此时，不是有理数，所以不合题意， 当时，，所以时，不合题意， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025 学年度第二学期期中学情检测试卷 高一数学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页， 包含选择题(1~11，共58分)、填空题(第12题~第14题， 共15分)、解答题(第15~19题，共77分).本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置. 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效.4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知向量，， 则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 设， 是两个非零向量，且， ， 则与夹角是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数， 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 点在所在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则 11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即(S为三角形的面积，为三角形的三边).现有满足， 且的面积，则（ ） A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知复数若，则_____ 13. 四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为______ 14. 已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， . （1）设， 若向量与互相平行， 求的值; （2）设， 当取得最小值时， 求向量与夹角余弦值. 16. 已知 ， （1）求tanα的值; （2）若在角终边上，求的值. 17. 在 中， 内角的对边分别为，且． （1）求角B； （2）若边的面积为角A的平分线交边于点D，求． 18. 复兴中学有一直径为8米半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角. （1）若喷灌的有效覆盖区域面积为，求； （2）设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与夹角. （1）若非零向量满足，且，求的取值范围； （2）若向量，且，求正数的值； （3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$