山西省吕梁市2025届高三第三次模拟考试数学试题

吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试 数学试题 2025.5 注意事项：】 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|lnx<2},B=(-1,0,2,e},则A∩B= A.(-1,0,2} B.(2,e C.(0) D.{e} 2.复数x满足2希=-1+i,则- A.√10 B.10 C.8 D.2√2 3.已知等差数列(an}的公差d>0,a1=1,a-aa=9,则d= A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知向量A=(m,n),A心=(2,1)，BC·AC=0,则m2+n2的最小值是 A B.√5 C.5 D.25 5.在(x+2)x+是) 的展开式中，x的系数是 A.11 B.15 C.20 D.25 6.已知点A,R:分别为双曲线C号-带=1(a>0,6>0)的左顶点和右焦点，过点R, 且与x轴垂直的直线l与双曲线交于M,N两点，以线段MN为直径的圆过点A,则 该双曲线的离心率为 A.3 B.√5 C.2 D.√2 7,已知点M为圆0：2十y=4与)y轴负半轴的交点，直线1：y=kx+号与圆0交于A, B两点，则△ABM面积的最大值为 A.3 B普 C.4 D号 8.已知函数f(x)=(x一a)2-|x-a一a2十a(a>0)有三个零点，则三个零点之和为 A.0 B.1 C.2 D.3 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知变量x和变量y,根据最小二乘法估计得到成对数据组(1，y),(2,y2),(3,y), (4,y4),(5,y)的经验回归方程1：y=bx十a,成对数据组(1，y1一1)，(2，y2), (3,）,4,),(5,+1)的经验回归方程4：5=ax+,记=号2，则 (参考公式，对于一组成对数据(x1,y),(x2,y2),…,(xnyn),其经验回归直线y= d十à的斜率和我距的最小三乘估计公式为：6-名一)（习 -,a=y-Bx) 2(x- A.直线1经过点(3，y) B.直线2不经过点(3，y) C.B<a D.a<c 10.已知在正四面体A一BCD中，M,N分别是AB,CD的中点，平面a与直线AB,CD 都平行，则 A.MN∥a B.MN⊥a C.直线AC与平面a所成角为60° D,平面ABC与平面a的夹角的余弦值为 3 11.已知定义域为（一1,1）的函数f(x)满足x,y∈（一1,1），都有f(x)+f(y)+1= f(),且xe(0,1)时，fx)>-1,则 A.f(0)=-1 B.f(x)是偶函数 C.f2x-1)>f1-x)的解集为（号，1） D.罗f()+罗-)=-4048 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知抛物线y一子2上的点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为 13.已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则 球的体积与圆柱的体积的比值是 14.设函数f(x)=cosx(|sinx|十1)，若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤ f(x2),则|x1一x2|的最小值为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,其中c=2,W3 bsin C=2cosB. (I)求B; (I)若△ABC的面积S=+史，求b的值， 2 16.(本小题满分15分) 某企业为了提高生产效率，采用智能监测器对企业的生产设备进行监测.已知该企 业的生产设备正常的概率=0.8，在生产设备异常的情况下，每台智能监测器出 现预警信号的概率为1(0<<1)；在生产设备正常的情况下，每台智能监测器出 现预警信号的概率为=产， (I)如果用2台智能监测器进行监测，且每台智能监测器相互独立，已知1=0.9， 在生产设备异常的情况下，求智能监测器出现预警信号的台数X的分布列及 数学期望； (Ⅱ)如果用1台智能监测器进行监测，要使在智能监测器出现预警信号的条件下， 生产设备异常的概率超过95%，求p1的范围. 17.(本小题满分15分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，AD∥EF,AD⊥BE. (I)证明：平面ABCD⊥平面ABE; (I)若EA=EB=6,当平面BDE与平面CDF的夹角为需时，求该多面体的体积. E 数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知A,B分别为椭圆E:若+芳-1(。>6>0)的左、右顶点，R,R分别为其左，右 焦点，P是椭圆E上与A,B不重合的任意一点，点P到原点O的距离的最小值为 1,直线PA与直线PB的斜率之积为-分.已知M,(n,0)(n∈N,m≥2)，以F,M 为直径的圆与以AB为直径的圆在x轴上方的交点为G, (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)(i)证明：直线MGm为椭圆E的切线； （1)设切线M,G,与椭圆E的切点的横坐标为x,证明：2<号 19.(本小题满分17分) 存在非零常数W,使Hx∈R,都有f(x十W)=Wf(x),我们称具有上述性质的函数 为稳定函数 (I)判断一次函数y=px十q(p≠0)能否为稳定函数，并说明理由； (Ⅱ)如果指数函数f(x)=a(a>0,且a≠1)是稳定函数，求底数a的范围； （Ⅲ)若g(z)=c0skx是稳定函数，求g(号)的值. 数学试题第4页（共4页） 吕梁市2025年高三年级第三次模拟考试 数学试题参考答案及评分标准 2025.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.B 【解析】A={x0<x<e2},则A∩B={2,e},故选B. 2.A 【解析】由希=一1+i,得=(2+i)(一1+i)=-3+i,所以：=0，故选A 3.B 【解析】已知等差数列{an}的公差d>0.因为a1=1,a号一a=9 所以(a1+d)2-(a1+2d)=d=9,解得d=3或-3（舍），故选B. 4.C 【解析】因为BC=AC-A=(2-m,1-n),所以B武·AC=2(2-m)+1-n=0,所以2m十n= 5,所以m2+n2=m2+(5一2m)2=5(m一2)2+5，所以当m=2时，m2+2取最小值5，故选C. 另解，由BC.AC=0,得BC⊥AC,所以m2+n=|A1'≥AC1=5,所以当AB=AC时，m2+ n2取最小值5，故选C. 5.C 【解析】由(x+)）=C2+Cx+Cx+Cx1+Cx+Cx,得(x2+2)(x+）的展开 式中，x3的系数为2×C+1×C号=20，故选C. 6.C 【解析由已知条件，得a十c=仁，将公=2-心代入整理，得c-ac一2a=0,所以有（台） 台-2=0，解得后=2或-1（舍），故选C 7.B 3 【解析1直线1过定点N0,子.期品- 3 2 ,所以△ABO的面积S△m与△ABM的面 数学试题参考答案及评分标准第1页（共8页） 积Sam的比值为一0-号，即Sam一子sam.因为Sam-专×1A01×BO S△AHM sin∠AOB,且圆心O到直线的距离d满足0<d≤受，所以当∠AOB=受时，Sam最大，此时 d=2,满足d的取值范围，所以Sam的最大值为号×AO1XBO1sin受=号X2X2=2,从而 S6m的最大值为子×2=兰，故选B. 8.D 【解析】函数f(x)=(x一a)2一|x一a|一a2十a的图象关于直线x=a对称，若f(x)存在三个零 点，则f(a)=0,解得a=1或a=0(舍)，所以f(x)=(x-1)2一|x一1|，令f(x)=0,得 |x一1|=0或1，解得x=0,1,2,则三个零点之和为3，故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.AC 【解析】两组成对数据的变量x的平均值都是3，变量y的平均值都是y,所以直线，2都经过点 (3,y),故A正确，B错误； a=-2×(M-1--1×(-)+0+1×(y-)+2×(y+1-2 4+2(x-)(y-) 2x-) 2(x-) i,故C正确：c=y-ax=y-3a,a=y-br=y-36,所以c<a,故D错误，故选AC. 10.BD 【解析】如图，在正方体中作正四面体A一BCD,易知平面a与平面ABE平行.因为M,N分别 是AB,CD的中点，由图知，MC=MD,所以MN⊥CD,同理得MN⊥AB.又因为CD∥ME,所 以MN⊥ME.因为ME交AB于点M,所以MN⊥平面ABE,所以MN⊥a,故A错误，B正确： 直线AC与平面a所成角为∠CAE=45°，故C错误：平面ABC与平面a的夹角为∠CME,根据 余弦定理求得c0s∠CME=号，故D正确，故选BD, D E 数学试题参考答案及评分标准第2页（共8页） 11.ACD 【解析】令x=y=0,则f(0)+f(0)+1=f(0),解得f(0)=一1，故A正确； 令y=一x,则f(x)十f(一x)十1=f(0)=一1，解得f(x)十f(一x)=一2，故B错误： 对于C,先证明f(x)是增函数. x1,x2∈(-1,1)，设x1<x 由+-)=-2，可得f)-)=f)+f(-x)+2=(产十1 因为产>0.所以()+1>0. 所以f(x)是增函数. 因为f(2x-1)>f(1-x), -1<2x-1<1, 所以-1<1-x<1,解得号<x<1,故C正确： 2x-1>1-x, 由vx(-1.10,有x)+f-x)=-2.得()+罗f(-）f(侵)+f(兮）)+…+ f(202s)+f(-2）+…+f(-202s)=f(2）+r(-2)+…+f(202s)+f(-202s)= (一2)++（一2）=（一2）×(2025一2+1)=-4048，故D正确，故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(±23,3) 【解析】抛物线y=子x的准线方程为y=一1.设P(),依题意，得%一（一1)=4， 所以。=3，故3=，所以x,=士25，故点P的坐标为（士25,3）. 13.5⑤ 3 【解析】设球的半径为R,圆柱的底面圆周的半径为r,高为h,则R=广+ 4 由题知表面积的关系为4πR2=2(2xr2+2πrh),即h=4r,故R=√5r, 3xX55 所以球的体积与圆柱的体积之比为 =5⑤ xrh 4πr2 3 14.号 【解析】因为f(-x)=cos(-x)(|sin(-x)|+1)=cosx(sinx|+1)=f(x),所以f(x)是R 上的偶函数. 数学试题参考答案及评分标准第3页（共8页） 当x=0时，f(0)=cos0(|sin0l+1)=1: 当x=r时，f(x)=cosx(|sinx|+1)=一1： 当x∈(0，x)时，J(x)=cosx(sinx+1)=2sin2x+cosx, f(x)=cos 2x-sin x=-2sin'x-sin x+1=(sin x+1)(-2sin x+1), 所以当x∈(o,若)U(x时，sinx(0,）f(x)>0,fx)在(0，若)和（管，x上单调递 增：当x∈（后，语）时，simx(合]了)<0)在（管，音x上单调递减。 在（答名x上，令八x)=0,可得x=受 因为f(x)是偶函数，所以可得f(x)在[一π，π]上的图象. 由f(x+2π)=cos(x+2x)(|sin(x+2x)川+1)=cosx(|sinx|+1)=f(x),可知f(x)的最小 正周期为2π，故其部分图象如下图所示. 对于任意的x∈R,都有f(x)≤f(x)≤f(x2),要求|x1一x2|的最小值，即求相邻的最大值点 与最小值点的距离，即1一=晋-吾=号 x) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,解：(1)由Bc得binC=cin B. …1分 又因为v3 bsin C=2cosB,所以W3 csin B=2cosB. 3分 义因为c=2,所以anB= eeee ee.e...ee....... 3 4分 因为B∈(0，)，所以B=吾 …6分 (Ⅱ)方法一：因为S= 2acsin B=4=3+1 2 2 …7分 所以a=5十1.… 8分 由余弦定理，得b=a2十c2一2 accos B… …444…4444444…044…4…444410分 =W3+1)2+2-2×(W5+1)×2×cos吾 =2,… 12分 所以b=√瓦（负值已舍去).……………………………………………13分 数学试题参考答案及评分标准第4页（共8页） 方法二：因为S=acsin B=号=5中1 2 2 ……7分 所以a=√3十1.… …8分 如图，过点A作BC边上的高AD,则AD=2AB=1,BD=尽，… 10分 所以DC=BC-BD=1,……………………………………………12分 因此b=AC=√AD+DC=√2. …13分 B D 16.解：(I)智能监测器出现预警信号的台数X的所有可能取值为0,1,2.…1分 P(X=0)=(1-0.9)2=0.01, 2分 P(X=1)=C×0.9×(1-0.9)=0.18, …3分 P(X=2)=0.92=0.81.………4分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.01 0.18 0.81 …5分 因为X~B(2,0.9), 所以E(X)=2×0.9=1.8. …7分 (Ⅱ)设生产设备正常为事件A,生产设备异常为事件A,智能监测器出现预警信号为事件B, …8分 则PA)==0.8,P()=1-=0.2,P(B1A)==2,P(B万)=A:…9分 由全概率公式知P(B)=P(A)P(B1A)+P(不)P(B1A)=0.8×12+0.2Xp,=0.4- 2 0.2p1. …11分 P(BA)=P(A)P(B|A)=0.2p1,… 12分 所以P(AB)=PB=、0.2p1 222>0.95= P(B)0.4-0.2p12-p1 201 …13分 解得A>器 …14分 因为0<p,<1,所以p:的范围是 (器小 ……15分 数学试题参考答案及评分标准第5页（共8页） 17.(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥AB.…1分 又因为AD⊥BE,BE∩AB=B,AB,BEC平面ABE,…2分 所以AD⊥平面ABE.…3分 又因为ADC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面ABE. 4分 (Ⅱ)解： 取AB的中点O,CD的中点G,连接OE,OG. 因为EA=EB=√6，AB=4,所以OE⊥AB,OE=√2， 又因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,OEC平面ABE, 所以OE⊥平面ABCD.…5分 如图，分别以OA,OG,OE所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系.·6分 设EF=a(a>0),依题意得D(2,4,0),B(-2,0,0).C(-2,4,0),E(0,0√2)，F(0,aN2) 设平面BDE的法向量m=(x,y,z).因为BD=(4,4,0),BE=(2,0W2),…7分 4x+4y=0, x=一y 所以 即 令x=1,得m=(1,一1，一√2).……8分 2x+√2x=0.x=-√2x. 设平面CDF的法向量n=(x1y,名).因为C市=(4,0,0)，D亦=(-2，a一4,2)，…9分 4x1=0, 所以 令y1=√2，得n=(0,W2,4一a).…10分 -2x1+(a-4)y1+√2x1=0. 记平面BDE与平面CDF的夹角为O, 所o0=o音- =cos(m,n)|=- m·nl_-2-2(4-a)l mn ,…12分 2√2+(4-a) 所以a2一4a十4=0，解得a=2.………………………13分 将该多面体补成三棱柱，如图所示。 则多面体的体积V=号×4×E×4-子×号×4X2×2=202. 3 …15分 数学试题参考答案及评分标准第6页（共8页）