精品解析：湖南省长沙市湘军高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024—2025学年下学期高一4月期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 2. 已知复数，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法法则可求得，进而求得. 【详解】因为，所以其共轭复数.. 故选：C. 3. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知 ．故选B． 4. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小. 【详解】解：∵， ∴， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，解得， ∴，B＝． 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键 6. 已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥和圆柱底面半径为，表示圆锥和圆柱的高，利用圆锥和圆柱的体积公式可得结果. 【详解】 设圆锥和圆柱底面半径为，则圆锥母线长，圆柱的高为， 故圆锥高， 圆锥体积，圆柱体积， 所以. 故选：C. 7. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则四边形是平行四边形，可得，就是直线和BN所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接，相交于点，连接，则， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以就是直线和BN所成的角， 设正方体的棱长为2， 则， 由余弦定理得. 故选：C. 8. 已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法1：设正方体棱长为，利用截面圆的半径、到平面的距离、球的半径构成的直角三角形可得答案；解法2：设正方体棱长为，利用的面积相等解得可得答案． 【详解】解法1：设正方体棱长为，则球的半径为， ∵平面截此球所得的截面的面积为，∴截面圆的半径为， 由题意，球心与的距离为， 设到平面的距离为， 是边长为的等边三角形，， 由得，可得， ，由平面，所以球心到平面的距离为， ∴，∴，即正方体棱长为； 解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点， 恰好为等边三角形各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆， 又因为平面截此球所得的截面的面积为， 所以截面圆的半径为，， 所以，整理得， 故截面圆的半径，解得， 即正方体棱长为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：在方法1中关键点是根据勾股定理求出. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则. C. 若，则 D. 若，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间直线和平面平行、垂直的判定与性质分别进行判断即可． 【详解】对于A：因为，可知在平面内存在直线，使得，如图所示， 又因为，且，则，所以，因此A正确； 对于B：如图所示：，但，故B错误； 对于C：若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确. 对于D：，如图所示，，故D错误. 故选：AC. 10. 用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ） A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆 【答案】CD 【解析】 【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆. 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：CD 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法求得三棱锥的体积判断A；设外接球半径为，底面外接圆半径为，由正弦定理可得，根据，可求得正三棱柱的外接球表面积判断B；计算可得可判断C；取，的中点分别为，，连接，，，利用线面垂直证得面面垂直，可判断D. 【详解】对于，取的中点为，连接，所以， 因为平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离， 由正三棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，又平面，所以平面， 又，所以，所以， ，故正确； 对于，在正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为，所以，即， 因为，所以正三棱柱的外接球表面积为，故正确； 对于，由侧面展开图所示， 周长，所以周长的最小值为，故错误； 对于，由，可知为的中点，取，的中点分别为，，连接，，，此时，且平面，故平面，又平面，所以平面平面，故正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是__________.（填序号） ①异面直线与所成的角为； ②直线与垂直； ③直线与平行. 【答案】①② 【解析】 【分析】连接，，，则可得出为等边三角形，则与所成角等于与所成角，其大小为；证明，再由可得；证明平面，得出，从而证得. 【详解】对于①，连接，则根据正方体的特点可知，且， 则为等边三角形，所以与所成角等于与所成角，其大小为，故①正确； 对于②，如图所示，因为，又，所以，故②正确； 对于③，由②可知，又，且，平面，平面， 所以平面，所以，则，故③错误. 故答案为：①② 13. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义求解. 【详解】设复数，则， 即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆， ，其表示点到点的距离， 其最大值为到圆心的距离加上半径，即， 故答案为：. 14. 已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的外心为点，连接、，则平面，利用余弦定理求出方长，利用正弦定理求出的长，利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】如下图所示： 设的外心为点，连接、，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得，则， 所以，， ， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【小问1详解】 因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以. 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. 【小问2详解】 由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为. 16. 如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． （1）若平面，求长度； （2）证明：平面； 【答案】（1） （2） 证明：如图所示： 取线段AB的中点F，连接EF，FD， 因为E，D为中点， 所以，， 又平面，平面， 所以平面， 又，所以，同理平面， 又， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据平面，得到平面，从而，设，由求解； （2）取线段AB的中点F，连接EF，FD，论证平面平面即可. 【小问1详解】 解：因为平面，即平面， 又平面，所以, 设，则， 又，解得； 【小问2详解】 略 17. 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. （1）求的取值范围； （2）当三点共线时，求三角形的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）易得，再由，利用基本不等式求解； （2）根据三点共线，由得到，再利用数量积求得夹角，利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以； 【小问2详解】 因为， 且三点共线时，有， 即， 解得 此时，， 所以， 所以. 18. 如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． （1）求证：点为线段的中点； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 由已知为三棱台， 则， 又，，且点为中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 平面，且，，平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可证面面平行，进而可证线线平行，结合中位线的性质即可得证； （2）根据棱台性质可得四边形为等腰梯形，结合等腰梯形的性质可得面积，等体积转化可得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 由（1）可知，， 又， 即，， 又，，平面， 平面， ， 易知四边形为直角梯形，则， 同理， 四边形为等腰梯形， 且等腰梯形的高为， 则， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得. 19. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面平面； （2）若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 过点作于点，连接，由，，为公共边， 得，则，，因此， ，是二面角的平面角， 在中，，则， 则，， 又，则，即，因此二面角的平面角为直角， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）作于点，借助三角形全等及余弦定理、勾股定理证明直二面角即可得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离，利用余弦定理求出，再利用公式法求出线面角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为，由（1）得， 平面，又，则，即， 由，得， 则， 在中，，则 而，即，， 因此，解得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期高一4月期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 2. 已知复数，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是 A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（　　） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则. C. 若，则 D. 若，则. 10. 用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ） A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是__________.（填序号） ①异面直线与所成的角为； ②直线与垂直； ③直线与平行. 13. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______. 14. 已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 16. 如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． （1）若平面，求长度； （2）证明：平面； 17. 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. （1）求的取值范围； （2）当三点共线时，求三角形的面积. 18. 如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． （1）求证：点为线段的中点； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面平面； （2）若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $