精品解析：北京市密云区城内学区2024一2025学年下学期期中学业诊断 八年级数学试卷

密云区城内学区2024—2025学年第二学期期中学业诊断 八年级数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、 是最简二次根式，故此选项符合题意； C、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ， 是直角三角形，且， 故A选项不符合题意； B、，，， ， ， 故B选项不符合题意； C、，，， ， 是直角三角形，且， 故C选项符合题意； D、，，， ， 是直角三角形，且， 故D选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 13 B. 21 C. 26 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】根据D，E，F分别是边，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点， ∴，， ，， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键． 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可进行求解． 【详解】解：四边形是菱形，， 四边形是正方形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 5. 如图，中，，垂足为，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直定义，直角三角形的性质，由平行四边形性质可得，又，所以，最后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边中线的性质得到OP的长． 【详解】解：∵，B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴， ∵P为线段AB的中点， ∴OP==， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正确掌握勾股定理求出AB是解题的关键． 7. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先证，同理，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 即， 解得：； 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 8. 如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3， ∴设，则， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， ∴图①中正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，故D正确． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 10. 若实数满足，则代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，则，，求出，，进行计算，即可． 【详解】∵实数满足且，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________． 【答案】70 【解析】 【分析】由菱形的性质可得的度数，再根据余角的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，，， ，， ． 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，除平行四边形固有的性质外，菱形的对角线相互垂直，对角线平分对角等，解题的关键是掌握其性质定理． 12. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解∶∵，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∴， 即正整数n的最小值为7． 故答案为：7 【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可以证明四边形EFCH是平行四边形，再根据矩形的判定定理：有一个角等于的平行四边形为矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，，且，， ∴HG=EF，且HG∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， 当时，则四边形EFCH是矩形． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定定理，平行四边形的判定定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，矩形的判定定理． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，菱形中，，，，垂足为，是上一个动点． （1）菱形的面积是______； （2）的最小值是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由菱形的面积公式可得出答案； （2）连接，则，当、、在同一条直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理及三角形面积即可得到的长． 【小问1详解】 解：菱形中，，， 菱形的面积是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，则， ， 当、、在同一条直线上时，的最小值等于的长， 菱形中，，， ，， ， ，菱形的面积是， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本题共12道小题，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分，共68分） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则混合运算，先计算二次根式的乘除法，然后根据二次根式的性质化简，最后再合并二次根式即可． 【详解】解： 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．把，代入利用平方差公式及完全平方公式计算即可． 【详解】解： ，， ． 20. 绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 【答案】24m2 【解析】 【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答． 【详解】解： 如图，连接AC， ∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝5m． ∴SRt△ADC＝＝6m2． 在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m， ∴， ∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°， ∴SRt△CAB＝＝30m2， ∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 21. 如图，在中，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到，，则，再证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【详解】略 22. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程： 已知：在中，∠ABC＝90°． 求作：矩形ABCD． 作法：如图， ①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点； ②作直线EF，交AC于点P； ③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP； ④连接AD，CD． 则四边形ABCD是矩形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝______． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）． 【答案】（1） 矩形ABCD就是所求作的图形，如图， （2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定、基本尺规作图—垂直平分线的作法、平行四边形的判定等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 如图，在长方形中，，，将长方形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，在中，，可得，，设，则，在中，，可得，解方程即可． 【详解】解：由折叠得：， ∴， 在矩形中，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴． 24. 如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设与交于点，根据平行四边形的性质求出，根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键． 25. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 26. 像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且，，为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）14或46． 【解析】 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， 且， 且， ，，为正整数， 当，时； 当，时，． 所以的值为：14或46． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是结合完全平方公式进行求解． 27. 如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直线的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． （1）在图1中补全图形，_____（填“”“”或“”）； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全图形如图所示；     = （2） 证明：由（1）可知， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴． 又∵，， ∴； （3）， 证明如下： 如图，过点A作，与射线交于点Q．    ∵， ∴， 由对称性可知， 又∵， ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∵， ∴， ∵，    ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质，正方形的性质即可求解； （2）先证明得到，再由三角形外角的性质结合（1）的结论即可得到结论； （3）如图，过点A作，与射线交于点Q，证明为等腰直角三角形，得到，．再证明，再由全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点D、F关于对称， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 28. 我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点P（，）与上的任意一点Q（，），如果线段的长度最短，我们就称线段 “理想距离”． （1）如图1，点P在线段，上，点Q在线段上，如果为理想距离，那么的长为 ； （2）有射线，和线段，点P在线段上，点Q在射线上； ①如图2，当，时，画出理想距离的示意图，的长为 ； ②如图3，保持线段在x轴上（点A在点B的左侧），且为2个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） ①如图2，过点作于点，则的长即是的长， ； ②如图3，当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长， 【解析】 【分析】（1）由点在线段，上，点在线段上，可得当与点重合，与点重合时，最小，然后利用勾股定理求得答案； （2）①首先过点作于点，则的长即是的长，易得是等腰直角三角形，则可求得答案；②当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长，当在射线的右侧时，的长即为的长，然后分别求得即可求得答案． 【小问1详解】 解：点在线段，上，点在线段上， 当与点重合，与点重合时，最小， ，， ， 理想距离； 故答案为：； 【小问2详解】 ①如图2，过点作于点，则的长即是的长， 射线，， ， ， ， ； 故答案为：； ②如图3，当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长， ， ， ， ， 即； 当在射线的左侧时，的长即为的长， ， ； 的取值范围为：． 【点睛】此题属于新定义性题目．考查了勾股定理以及等腰直角三角形性质．注意准确做出图形，利用分类讨论思想求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 密云区城内学区2024—2025学年第二学期期中学业诊断 八年级数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 13 B. 21 C. 26 D. 52 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，垂足为，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 7. 在中，，分别平分，，分别交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 2 8. 如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 10. 若实数满足，则代数式的值是_______． 11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________． 12. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFCH是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 16. 如图，菱形中，，，，垂足为，是上一个动点． （1）菱形的面积是______； （2）的最小值是______． 三、解答题（本题共12道小题，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分，共68分） 17. 计算： ． 18. 计算：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 21. 如图，在中，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，．求证：． 22. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程： 已知：在中，∠ABC＝90°． 求作：矩形ABCD． 作法：如图， ①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点； ②作直线EF，交AC于点P； ③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP； ④连接AD，CD． 则四边形ABCD是矩形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AE，CE，AF，CF． ∵AE＝CE，AF＝CF， ∴EF是线段AC的垂直平分线． ∴AP＝______． 又∵BP＝DP， ∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）． 23. 如图，在长方形中，，，将长方形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，求的长． 24. 如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 25. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 26. 像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且，，为正整数，求的值． 27. 如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直线的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接． （1）在图1中补全图形，_____（填“”“”或“”）； （2）求证：； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点P（，）与上的任意一点Q（，），如果线段的长度最短，我们就称线段 “理想距离”． （1）如图1，点P在线段，上，点Q在线段上，如果为理想距离，那么的长为 ； （2）有射线，和线段，点P在线段上，点Q在射线上； ①如图2，当，时，画出理想距离的示意图，的长为 ； ②如图3，保持线段在x轴上（点A在点B的左侧），且为2个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $