精品解析：四川省成都市成都七中万达集团学校联考2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

成都七中万达学校2024-2025学年度下期高2024级半期考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基底的定义计算即可. 【详解】选项B中，，与共线，不能作为一组基底， 选项A，C，D中两向量均不共线，可作为一组基底. 故选：B． 2. 已知，分别为两个实根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理结合两角和正切公式计算即可. 【详解】因为，分别为两个实根，则， 则. 故选：C. 3. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示B；利用垂直关系的向量表示判断C；求出向量的模判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， ，不平行，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式进行求解. 【详解】，由辅助角公式得，故， 故选：B. 5. 一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ） A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 6. 函数的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为，那么下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 函数向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得，，从而求出解析式，再结合三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由三角函数的图象可得， 解得，所以，故A错误； 又，所以， 因为，所以， 由，所以， 所以，，故B错误； 令，解得， 令，解得，故C错误； 由右平移一个单位长度后所得的函数为 ，此函数为偶函数，故D正确. 故选：D 7. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，结合三角恒等变换化简可得结果. 【详解】将代入， 可得 . 故选：C. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数图象即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数与的图形如下： 根据图象可知：交点为6个， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 下列式子运算正确的有 （ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角的平方关系计算即可判断A；根据两角和的余弦公式计算即可判断B；根据二倍角的正切公式计算即可判断C；根据两角和正切公式计算即可判断D. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：由得 所以，故C正确； D：，， ，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中，错误的是（ ） A. 在中，若，则为等腰直角三角形 B. 在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是 C. 在中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120° D. 在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 【答案】AB 【解析】 【分析】由，可得或，即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用韦达定理结合余弦定理求出边，再利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，且, 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为恰有两解，所以，即， 解得，故B错误； 对于C，不妨设三边分布为， 则对应的角最大，设为， 则， 所以，即三角形的最大内角为120°，故C正确； 对于D，设所对的边分别为，由题设该方程有两个不等的解， 若为最大角，则，若为最小角，则， 所以角既不是最大角也不是最小角，即边既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程的两个实根， 所以，， 由余弦定理得， 所以，所以的外接圆半径，故D正确. 故选：AB. 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】对A：由是的重心可得， 所以，故A项错误； 对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确． 故选:BCD. 第Ⅱ卷（综合题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 函数的周期为，则实数ω的值为 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，，解得. 故答案为：. 13. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为___________.（用坐标作答） 【答案】 【解析】 【分析】设点，求出，再利用投影向量的公式求解. 【详解】解：设点，则，根据题意若将逆时针旋转，即可得，故， 整理得， 而由A、B两点坐标可知， 故：，解得， 则点P的坐标为，所以. 所以向量在向量上的投影向量为 故答案为： 14. 在锐角三角形中，已知，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形内角和性质，结合两角和正弦公式、两角和正切公式、弦化切思想，可把原式转化为关于的函数，再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】根据三角形内角和可知：，即， 所以， ， 代入得： 当且仅当即时（因为是锐角三角形成立）等号成立. 所以的最小值为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【小问1详解】 由，，， 得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以. 16. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数过原点. （1）求的解析式； （2）若函数的一个零点为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由周期求出，再由题意可得函数为奇函数，可得的值，可得函数的解析式； （2）由题意可得，即可求出，再由及两角差的余弦公式计算可得． 【小问1详解】 由题意可得，可得，又， 而，可得，此时， 由题意可得， 要使函数为奇函数，则，， 即，，而， 所以，所以； 【小问2详解】 由题意令， 可得，即， 因为， 所以，所以， 所以 . 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）若，，求的面积； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将角化为边，利用余弦定理可求出角A，再利用三角形面积公式即可求解； （2）利用正弦定理可分别将边，用角B，C来表示，进而利用两角差的正弦公式、辅助角公式等即可求解范围. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得，，即， 由余弦定理可得，∴ ∵，∴，而，， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，由正弦定理可得， ∴，， ∴ ， ∵为锐角三角形，∴，解得， 所以，所以， 所以， 所以， 即的周长的取值范围. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过内一点M的直线与直线交于D，记与夹角为. （1）已知， （i）求角A﹔ （ii）M为的重心，，，求； （2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立？ 【答案】（1）（i）45°；（ii） （2） 直线与的边相交于点，如图， 由，得，即， 又， ， ， 因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）（i）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii）由及数量积模的运算求得，根据正弦定理结合三角恒等变换得，将代入求值即可. （2）由，结合数量积可得，再运用数量积定义可分别求出、、，代入整理即可. 【小问1详解】 （i）在中，由及正弦定理，得， 即，整理得， 而，则，又， 所以. （ii）由M为的重心，得， 则， 在中，由正弦定理，得， 由，得平分，又， 所以 . 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的对称中心； （2）若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设列求x即可得对称中心； （2）由已知得，问题化为在上恒成立，结合正弦型函数性质求参数范围； （3）由已知得，将问题化为，根据三角函数及二次函数性质研究最值，进而求参数范围. 【小问1详解】 由题设，令，可得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 由题设，，又，则，故， 由， 又，则，故， 所以， 当，只需，可得； 当，只需，可得； 当，则，，此时满足题设； 综上，. 【小问3详解】 由题设，又，则， 对任意的，有，即， 所以，则，有，故， ， 又，则， 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上恒成立为关键；第三问，问题化为为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中万达学校2024-2025学年度下期高2024级半期考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，分别为两个实根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ） A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里 6. 函数的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为，那么下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 函数向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数 7. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 下列式子运算正确的有 （ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，错误的是（ ） A. 在中，若，则为等腰直角三角形 B. 在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是 C. 在中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120° D. 在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（综合题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 函数的周期为，则实数ω的值为 _____. 13. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为___________.（用坐标作答） 14. 在锐角三角形中，已知，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数过原点. （1）求的解析式； （2）若函数的一个零点为，且，求. 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）若，，求的面积； （2）若，求的周长的取值范围. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过内一点M的直线与直线交于D，记与夹角为. （1）已知， （i）求角A﹔ （ii）M为的重心，，，求； （2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立？ 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的对称中心； （2）若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $