精品解析：福建省三明市沙县区三明北附高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

三明北附2024—2025（下）期中考高一数学A卷 命题人：李厚华 （考试时间：120分，总分150） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简计算即可. 【详解】由， 则. 故选：B. 2. 已知A､B是球O的球面上两点，且，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解. 【详解】设球的半径为，因，则的面积， 而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大， 于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得， 所以球的表面积为. 故选：C. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算． 【详解】由题意，． 故选：A． 4. 正方体中，直线与平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长为2，求出向量，以及平面的法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】如图，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长2，则，，，， 所以，， 因为在正方体中，，平面，所以， 又，所以平面， 因此向量为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则. 故选A 【点睛】本题主要考查求线面角，熟记空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型. 5. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角的大小. 【详解】由，则，而，故或， 显然，所得角均满足. 故选：B 6. 已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，得到的坐标，设，联立解方程组，求出得出结论. 【详解】建立如图直角坐标系，则， ， 设，则 所以 解得：， 故， 故选：D. 7. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是（ ） A. B. 16 C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】根据球体体积求得球半径，结合球半径和棱柱高的倍数关系，以及球半径和底面三角形棱长之间的关系，求得棱柱的高和底面三角形棱长，再由棱柱的体积公式即可求得结果. 【详解】不妨设该正三棱柱底面棱长为，高为，内切球半径为， 由题可知，解得； 又，故可得该棱柱的高， 又因为该球体与棱柱三个侧面都相切， 故半径为的圆是边长为的正三角形的内切圆， 则由等面积法可知：， 解得， 故该正三棱柱的体积. 故选：D 【点睛】本题考查棱柱的内切球，涉及球体体积的计算，属中档题. 8. 如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据三点共线得到关于的等式，再依据均值定理去求的最小值 【详解】因为G是△ABC的重心，所以 由于M､G､N共线，所以，即 所以 （当且仅当即时取等号） 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A. B. ，且 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为，，则平行或相交，故错误； B. 因为，，则或 ，或 ，故错误； C. 因为，，，，则平行或相交，故错误； D. 因为，，，由面面平行的性质定理得 ，故正确； 故选：ABC 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 C. 若向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项调整向量收尾顺序即可；对于B选项找到夹角为平角的特殊情况即可排除；对于C选项发现向量的共线即可；对于D选项按照同向和反向两种情况分类讨论即可. 详解】对于A: ； 对于B: 当时，夹角为平角； 对于C: ，所以共线，不能构成基底； 对于D：在上的投影向量为，当与同向时，成立；当与反向时也成立. 故选：AD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项. 【详解】由，有，得，选项A正确． 因为，由正弦定理有，，得，选项B正确． 的面积为，选项C错误． 因为，由余弦定理， 解得，故的周长为，选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为_________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的概念可得出结果. 【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________． 【答案】30 【解析】 【分析】先证明四边形ABCD为矩形，然后即可求出面积. 【详解】，又因为 所以四边形ABCD为矩形，所以 所以. 故答案为：30. 14. 在复数范围内，的所有平方根为________，并由此写出的一个四次方根_________. 【答案】 ①. ②. ，，，之一 【解析】 【分析】由题意利用虚数单位的运算性质，复数的开方运算，得出结论． 【详解】解：在复数范围内，，故的所有平方根为． ，故它的四次方根为， 故它的一个四次方根，同理可得，，也为的四次方根； 故答案为：；，，，之一． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 由得，∴，∴ 【小问2详解】 由已知， 又，∴，解得 16. 在①复数z满足和均为实数；②为复数z的共轭复数，且；③复数是关于x方程的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题： （1）求复数z； （2）在复平面内，若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①：设，根据复数的相关概念与运算求解；若选②：设，根据复数的乘法运算结合复数相等运算求解；若选③：直接求解方程即可得结果； （2）由（1）可得，根据复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 若选①：设， 则，， 若和均为实数，则，解得， 所以； 若选②：设，则， 因为，则， 整理得， 则，解得， 所以； 若选③：因为，则，解得， 且，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 若对应的点在第四象限，则，解得或， 所以实数m的取值范围为. 17. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面； （2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点． 【小问1详解】 证明：如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； 【小问2详解】 证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，是边的中线，求长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理解三角形即可； （2）法一：结合中线公式求出，然后借助平面向量的运算求出，进而求出的模长，即长度；法二：在中利用余弦定理求出，结合得到，然后在和结合余弦定理可得，解方程即可求出结果. 【详解】解：因为，即 即，所以，故 法一：中线公式：由，故 又，则 故，故 法二：，则，故， 又 即 19. 如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）当为中点时，∥平面. 【解析】 【分析】（1）由线面平行性质定理即可证明. （2）由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面. （3）取中点，连接，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得∥平面. 【小问1详解】 ∥平面平面平面平面, 所以. 【小问2详解】 因为平面平面平面平面， ，所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 取的中点，连接， 分别为的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， ，所以平面平面，又因为平面，所以∥平面. 线段上存在点N，使得∥平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明北附2024—2025（下）期中考高一数学A卷 命题人：李厚华 （考试时间：120分，总分150） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知A､B是球O的球面上两点，且，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 正方体中，直线与平面所成角的正弦值为 A B. C. D. 5. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ） A B. 或 C. D. 6. 已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是（ ） A. B. 16 C. 24 D. 48 8. 如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A. B. ，且 C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A B. 已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 C. 若向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D. 若，则在上的投影向量为 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 面积为 D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为_________．（用表示） 13. 在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________． 14. 在复数范围内，的所有平方根为________，并由此写出的一个四次方根_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 在①复数z满足和均为实数；②为复数z的共轭复数，且；③复数是关于x方程的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题： （1）求复数z； （2）在复平面内，若对应点在第四象限，求实数m的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，是边的中线，求长度. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$