2025年中考数学冲刺专题提升导与练《专题十一 圆的综合(一)》

中考冲刺专题提升导与练 专题十一 圆的综合(一) 【考点探究】 命题角度一　圆与三角形的综合热门命题点 1．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连结BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　 　) A．28° B．34° C．56° D．62° 第1题图 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连结OA，OB，则∠OAB＝____． 　　 第2题图 　 3．正三角形的边长为6，则它的内切圆的半径大小是____________． 4．如图，已知△ABC是等边三角形，O是边BC的中点，⊙O分别与边AB，AC切于点D和点E，连结DE.若AB＝4，则DE的长为__________． 　 第4题图 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝__________． 　 第5题图 命题角度二　圆与四边形的综合热门命题点 6．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为(　 　) A．60 B．55 C．45 D．50 第6题图 7．如图，点A，B，C在⊙O上，P为弧BC上任意一点，∠A＝m，则∠D＋∠E等于(　 　) A．2m B．90°－m C．180°－2m D．45°＋m 8．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为(　 　) A．4 B．4 C．6 D．8 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝2∠B，D是弧AC的中点． 第9题图 (1)求∠B的度数． (2)求证：四边形AOCD是菱形． 10．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB. 第10题图 (1)求证：BE是⊙O的切线． (2)当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan ∠AEB的值． 命题角度三　圆、三角形、四边形的综合热门命题点 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD.若弧AC=弧BC，∠BDC＝50°，则∠ADB的度数是(　 　) A．65° B．70° C．75° D．80° 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，∠BOC＝120°，则∠OCD＝_____°. 第12题图 13．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点E在弧AD上，则∠E＝__________°. 　 第13题图 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连结DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝__________． 　 第14题图 15．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连结CI并延长交⊙O于点D，E是弧BC上任意一点，连结AD，BD，BE，CE. 第15题图　　　 　 (1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数． (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明． (3)若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长． 【跟踪训练】 16．如图，AD是⊙O的切线，D是切点，C是⊙O上的一点，连结CD，AC，AC交⊙O于点B，若∠C＝25°，则∠A的度数是(　 　) A．20° B．25° C．30° D．40° 第16题图 17．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝__________°. 　　　 第17题图 18．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结BD，AO.已知∠DCA＝40°，则∠ABC的度数是_________． 　　 第18题图 19．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC＝60°，求AD的长度． 第19题图 20．如图，圆外接于Rt△ABC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD交圆于点E，连结BE，过点B的切线交AC的延长线于点F. (1)证明：∠CBF＝∠BEC. (2)若AC＝4，CF＝2，求BF的长． 【参考答案】 命题角度一　圆与三角形的综合热门命题点 1．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连结BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　B　) A．28° B．34° C．56° D．62° 第1题图 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连结OA，OB，则∠OAB＝__50°__． 　　 第2题图 　 3．正三角形的边长为6，则它的内切圆的半径大小是____． 4．如图，已知△ABC是等边三角形，O是边BC的中点，⊙O分别与边AB，AC切于点D和点E，连结DE.若AB＝4，则DE的长为__3__． 　 第4题图 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝____． 　 第5题图 命题角度二　圆与四边形的综合热门命题点 6．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为(　D　) A．60 B．55 C．45 D．50 第6题图 7．如图，点A，B，C在⊙O上，P为弧BC上任意一点，∠A＝m，则∠D＋∠E等于(　C　) A．2m B．90°－m C．180°－2m D．45°＋m 8．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为(　B　) A．4 B．4 C．6 D．8 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝2∠B，D是弧AC的中点． 第9题图 　 第9题答图 (1)求∠B的度数． 解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＋∠B＝180°， ∴∠B＝60°. (2)求证：四边形AOCD是菱形． 证明：连结OD，如图所示． ∵D为弧AC的中点，所以弧AD=弧CD， ∴∠AOD＝∠COD. ∵∠B＝60°，∠AOC＝120°， ∴∠AOD＝∠COD＝60°. ∵AO＝DO＝CO， ∴△AOD，△COD为等边三角形， ∴AO＝CO＝AD＝CD， ∴四边形AOCD为菱形． 10．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB. 第10题图 第10题答图 (1)求证：BE是⊙O的切线． 证明：设AB与CD相交于点F，连结BD，OC，OD，如图所示， 弧BC=弧BD，∴BC＝BD. ∵OC＝OD， ∴点O，B在CD的垂直平分线上， ∴OB垂直平分CD， ∴∠AFD＝90°. ∵∠ADC＝∠AEB，∴CD∥BE， ∴∠ABE＝∠AFD＝90°， ∴AB⊥BE. ∵AB是⊙O的直径， ∴BE是⊙O的切线． (2)当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan ∠AEB的值． 解：∵⊙O的半径为2， ∴AB＝2×2＝4. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.∵BC＝3， ∴AC＝＝＝， ∴tan ∠ABC＝＝. ∵弧AC=弧AC ∴∠ADC＝∠ABC. ∵∠AEB＝∠ADC， ∴∠AEB＝∠ABC， ∴tan ∠AEB＝tan ∠ABC ＝. 命题角度三　圆、三角形、四边形的综合热门命题点 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD.若弧AC=弧BC，∠BDC＝50°，则∠ADB的度数是(　D　) A．65° B．70° C．75° D．80° 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，∠BOC＝120°，则∠OCD＝__70__°. 第12题图 13．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点E在弧AD上，则∠E＝__125__°. 　 第13题图 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连结DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝__29°__． 　 第14题图 15．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连结CI并延长交⊙O于点D，E是弧BC上任意一点，连结AD，BD，BE，CE. 第15题图　　　 　 第15题答图 (1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°. 又∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°－25°＝65°. ∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形， ∴∠CEB＋∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°－∠CAB ＝115°. (2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明． 解：DI＝AD＝BD，如图1，连结AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI， ∠ACI＝∠BCI＝∠ACB＝45°， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD. ∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI， ∠DIA＝∠ACI＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝AD＝BD. (3)若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长． 解：如图2，过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P. ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP. ∵CI＝2，∠IFC＝90°， ∠ACI＝45°， ∴CF＝CI·cos 45°＝2＝CP. ∵DI＝AD＝BD，DI＝，∠ADB＝90°， ∴AB＝＝×＝13， ∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC ＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP ＝AB＋AQ＋BQ＋2CF ＝2AB＋2CF＝2×13＋2×2＝30. 【跟踪训练】 16．如图，AD是⊙O的切线，D是切点，C是⊙O上的一点，连结CD，AC，AC交⊙O于点B，若∠C＝25°，则∠A的度数是(　D　) A．20° B．25° C．30° D．40° 第16题图 17．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝__65__°. 　　　 第17题图 18．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结BD，AO.已知∠DCA＝40°，则∠ABC的度数是__50°__． 　　 第18题图 19．“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC＝60°，求AD的长度． 第19题图 　 第19题答图 解：过点B作BE⊥CD，垂足为E， 过点B作BG⊥AC，垂足为G，如图． ∵∠BDC＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°. 在Rt△BDE中，BD＝8， ∴DE＝BD·cos 60°＝8×＝4， BE＝BD·sin 60°＝8×＝4. ∵CD＝5，∴CE＝CD－DE＝5－4＝1， 在Rt△BCE中， BC＝＝＝7， 在Rt△ABG中，AG＝AB·cos 60°＝6×＝3， BG＝AB·sin 60°＝6×＝3， 在Rt△BCG中， CG＝＝＝， ∴AC＝AG＋CG＝3＋. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴AD·BC＋AB·CD＝AC·BD， ∴7AD＋6×5＝8×(3＋)，解得AD＝. 20．如图，圆外接于Rt△ABC，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD交圆于点E，连结BE，过点B的切线交AC的延长线于点F. (1)证明：∠CBF＝∠BEC. 证明：∵∠ACB＝90°， ∴AB是直径，∠A＋∠ABC＝90°. ∵BF是圆的切线， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABC＋∠CBF＝90°， ∴∠A＝∠CBF. ∵∠A＝∠BEC， ∴∠CBF＝∠BEC. (2)若AC＝4，CF＝2，求BF的长． 解：∵∠ACB＝∠BCF＝90°，∠A＝∠CBF， ∴△ACB∽△BCF，∴＝， ∴BC＝＝＝2， ∴BF＝＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$