2025年中考数学冲刺专题提升导与练《专题十二 圆的综合(二)》

中考冲刺专题提升导与练 专题十二 圆的综合(二) 【考点探究】 命题角度一　圆的计算相关热门命题点 1．在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝65°.分别以B，C为圆心，BC长为半径画圆B、圆C，关于A点位置，下列叙述正确的是(　 　) A．在圆B外部，在圆C内部 B．在圆B外部，在圆C外部 C．在圆B内部，在圆C内部 D．在圆B内部，在圆C外部 2．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连结BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为____________． 第2题图 　 3．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为_________． 　 第3题图 　 4．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，图2是它的部分设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是___________ cm2.(结果用π表示) 　 第4题图 　 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，内切圆⊙O半径为2，则图中阴影部分面积是___________． 　 第5题图 命题角度二　圆的证明相关热门命题点 6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若B为弧CD的中点，则下列说法错误的是(　 　) A．弧CB=弧BD B．OE＝BE C．CE＝DE D．AB⊥CD 第6题图 　 7．下列说法正确的个数是(　 　) ①平分弦所对两条弧的直线，必经过圆心且垂直平分弦． ②圆的切线垂直于圆的半径． ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． ④在同圆中，弦心距越大则该弦越短． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论：①OD∥AC.②∠B＝∠C.③2OA＝AC.④DE是⊙O的切线．其中正确的是_____________．(填序号) 第8题图 9．如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连结BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°.求证：BD是半圆O的切线． 　 第9题图 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE.求证：CD⊥AB. 第10题图 命题角度三　圆的计算与证明综合热门命题点 11．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连结AC，BC. 　 第11题图 (1)求证：△ABC∽△ACD. (2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 12．)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE. 第12题图 (1)求证：AD平分∠CAE. (2)若AB＝6，BF＝3，求AD的长． (3)若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF∶FD的值. 【跟踪训练】 13．下列说法中，正确的是(　 　) A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 14．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C.则OC的长为(　 　) A．10 B．6 C．5 D．12 第14题图 15．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型(如图所示)，经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12 cm，圆锥的高为8 cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为(　 　) A．145° B．120° C．216° D．180° 第15题图 16．如图，某新产品促销活动中经销商在圆形展区边缘的P点处安装了一个监控摄像头，其有效监控角度为70°.为了监控整个展区，圆形边缘上至少应安装这样的摄像头(　 　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第16题图 17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝__________°. 第17题图 18．如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连结OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠CAI＝_________°. 　 第18题图 19．已知：AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行． 第19题图　　　　 (1)如图1，求证：弧CD=弧BD (2)如图2，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，交AB于点F，连结AE，若AB＝10，AC＝3BF，求AE的长． (3)在(2)的条件下，如图3，连结CD，CE，延长AC，ED，相交于点G， ①请在图中找出与△ACE相似的所有三角形并选择其中一对说明理由． ②求△GCD的周长． 20．如图，四边形ABCD内接于圆O，连结BO并延长交AD于点G，延长BC，AD交于点E，连结AC，BD，交于点F.已知BD＝AB，∠DBC＝∠ABC，＝. (1)求证：AC⊥BD. (2)若OB＝5，求DE的长． (3)求的值． 【参考答案】 命题角度一　圆的计算相关热门命题点 1．在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝65°.分别以B，C为圆心，BC长为半径画圆B、圆C，关于A点位置，下列叙述正确的是(　A　) A．在圆B外部，在圆C内部 B．在圆B外部，在圆C外部 C．在圆B内部，在圆C内部 D．在圆B内部，在圆C外部 2．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连结BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为__40°__． 第2题图 　 3．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为__4π__． 　 第3题图 　 4．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，图2是它的部分设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是__3__000π__ cm2.(结果用π表示) 　 第4题图 　 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，内切圆⊙O半径为2，则图中阴影部分面积是__10－__． 　 第5题图 命题角度二　圆的证明相关热门命题点 6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若B为弧CD的中点，则下列说法错误的是(　B　) A．弧CB=弧BD B．OE＝BE C．CE＝DE D．AB⊥CD 第6题图 　 7．下列说法正确的个数是(　B　) ①平分弦所对两条弧的直线，必经过圆心且垂直平分弦． ②圆的切线垂直于圆的半径． ③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． ④在同圆中，弦心距越大则该弦越短． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论：①OD∥AC.②∠B＝∠C.③2OA＝AC.④DE是⊙O的切线．其中正确的是__①②③④__．(填序号) 第8题图 9．如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连结BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°.求证：BD是半圆O的切线． 　 第9题图 证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵∠D＝∠ABC， ∴∠D＋∠A＝90°， ∴∠ABD＝90°. ∵AB是半圆O的直径， ∴BD是半圆O的切线． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE.求证：CD⊥AB. 证明：∵FA＝FE， ∴∠FAE＝∠AEF. ∵∠FAE与∠BCE都是弧BF所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE. ∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CEB＝∠BCE. ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE. ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴CD⊥AB. 第10题图 命题角度三　圆的计算与证明综合热门命题点 11．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连结AC，BC. 　 第11题图 第11题答图 (1)求证：△ABC∽△ACD. 证明：连结OC，如图． ∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l. ∵AD⊥l，∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB. ∵∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD. (2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 解：∵AC＝5，CD＝4，∠D＝90°， ∴AD＝＝3. ∵△ABC∽△ACD，∴＝， ∴＝，∴AB＝， ∴⊙O的半径为. 12．)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE. 第12题图 第12题答图 (1)求证：AD平分∠CAE. 证明：∵AE为⊙O的直径， AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ABE＝90°. ∵直径AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠AFD. ∵∠AEB＝∠ACD， ∴∠AFD＝∠ACD，AF＝AC. ∵AD⊥FC，∴AD平分∠CAE. (2)若AB＝6，BF＝3，求AD的长． 解：由(1)得∠AFD＝∠AEB， 又∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AEB＝∠BFE， ∴BF＝BE＝3.易证△ABE∽△ADF， ∴＝＝2.设DF＝x，则AD＝2x， 在Rt△ABD中，根据勾股定理可得， (3＋x)2＋(2x)2＝62，解得x1＝－3(舍)，x2＝， ∴AD＝2x＝. (3)若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF∶FD的值. 解：当点O在直角三角形ABD的斜边中线DG上时，DG∥BE， ∴DG⊥AB，则△ABD为等腰直角三角形． ∵∠ABE＝∠ADC，∠E＝∠C， ∴△ABE∽△ADC， ∴＝＝. 又∵AF＝AC，AD⊥FC，∴DC＝DF， 设BF＝BE＝a，则FD＝DC＝a， ∴BF∶FD＝＝. 【跟踪训练】 13．下列说法中，正确的是(　D　) A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 14．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，OC⊥AB于点C.则OC的长为(　C　) A．10 B．6 C．5 D．12 第14题图 15．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型(如图所示)，经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12 cm，圆锥的高为8 cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为(　C　) A．145° B．120° C．216° D．180° 第15题图 16．如图，某新产品促销活动中经销商在圆形展区边缘的P点处安装了一个监控摄像头，其有效监控角度为70°.为了监控整个展区，圆形边缘上至少应安装这样的摄像头(　B　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第16题图 17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝__130__°. 第17题图 18．如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连结OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠CAI＝__35__°. 　 第18题图 19．已知：AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行． 第19题图　　　　 　 第19题答图 (1)如图1，求证：＝. 证明：∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠D. ∵AC∥OD，∴∠CAD＝∠D， ∴∠CAD＝∠DAB， . (2)如图2，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，交AB于点F，连结AE，若AB＝10，AC＝3BF，求AE的长． 解：如图1，连结BC，∵AB是⊙O的直径，且AB＝10， ∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5. ∵DE⊥AB，∴∠OFD＝90°. 设BF＝x，则OF＝5－x，AC＝3x. ∵AC∥OD，∴∠BAC＝∠DOF， ∴cos ∠BAC＝cos ∠DOF，∴＝，即＝，解得x＝2，∴OF＝5－2＝3. 在Rt△DOF中，DF＝＝＝4. ∵直径AB⊥弦DE，∴EF＝DF＝4，∠AFE＝90°. ∵AF＝AB－BF＝10－2＝8， ∴AE＝＝＝4. (3)在(2)的条件下，如图3，连结CD，CE，延长AC，ED，相交于点G， ①请在图中找出与△ACE相似的所有三角形并选择其中一对说明理由． 解：与△ACE相似的三角形有△AEG和△DCG， 选择△ACE∽△AEG，理由如下： ∵直径AB⊥弦DE，， ∴∠AED＝∠ACE，即∠AEG＝∠ACE. ∵∠GAE＝∠EAC，∴△ACE∽△AEG. 选择△ACE∽△DCG，理由如下： ∵四边形ACDE是圆内接四边形， ∴∠CAE＋∠CDE＝180°. ∵∠CDG＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDG， 同理可得∠AED＝∠DCG. ∵∠AED＝∠ACE，∴∠ACE＝∠DCG， ∴△ACE∽△DCG. ②求△GCD的周长． 解：如图2，连结BC交OD于T，过点C作CK⊥AB于K， 过点E作EH⊥CK交CK的延长线于H， 由(2)得BF＝2， OA＝OB＝OD＝5，EF＝4，∠ACB＝90°，AE＝4， AC＝6，∴BC＝＝＝8. ∵OD∥AC，∴△BOT∽△BAC， ∴＝＝，即＝＝， ∴OT＝3，BT＝4，∴CT＝4，DT＝2， ∴CD＝＝＝2. ∵S△ABC＝AB·CK＝AC·BC， ∴CK＝＝＝. 在Rt△BCK中，BK＝＝＝， ∴FK＝BK－BF＝－2＝. ∵∠EFK＝∠FKH＝∠EHK＝90°， ∴四边形EFKH是矩形，∴KH＝EF＝4， EH＝FK＝，∴CH＝CK＋KH＝＋4＝， 在Rt△CEH中， CE＝＝＝， ∴△ACE的周长C△ACE＝AC＋AE＋CE＝6＋4＋＝6＋. ∵△ACE∽△DCG，∴＝＝＝， ∴C△DCG＝C△ACE＝×(6＋)＝2＋14. 20．如图，四边形ABCD内接于圆O，连结BO并延长交AD于点G，延长BC，AD交于点E，连结AC，BD，交于点F.已知BD＝AB，∠DBC＝∠ABC，＝. (1)求证：AC⊥BD. 证明：∵AB＝BD， ∵BO是半径， ∴BG⊥AD， ∴∠ABG＝∠DBG. ∵∠DBC＝∠ABC， ∴∠ABG＝∠DBG＝∠DBC＝∠DAC， ∴∠DAC＋∠ADB＝∠DBG＋∠ADB＝90°， 即AC⊥BD. (2)若OB＝5，求DE的长． 解：如图，连结OD，延长BG交圆O于点M. ∵tan ∠DBC＝， ∴tan ∠ABG＝tan ∠DBC＝tan ∠DAC＝tan ∠DBG＝. ∵OB＝5，∴BM＝2OB＝10， ∴BD＝3，∴GD＝3，BG＝9， ∴OG＝BG－OB＝4. ∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO， ∴∠BDO＝∠DBC， ∴OD∥BE， ∴△OGD∽△BGE， ∴＝， ∴＝，即GE＝， ∴DE＝GE－GD＝－3＝. (3)求的值． 解：设FD＝m，BF＝n，则AB＝BD＝m＋n， AB2＝AF2＋BF2， 即(m＋n)2＝(3m)2＋n2， 化简得n＝4m. ∴CF＝BF＝m，AF＝3FD＝3m， ∴＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$