2025年中考数学冲刺专题提升导与练《专题十 平行四边形与特殊平行四边形综合(二)——正方形》

中考冲刺专题提升导与练 专题十 平行四边形与特殊平行四边形综合(二) —— 正方形 【考点探究】 命题角度一　正方形的轴对称性热门命题点 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连结B′D，B′E，B′F.当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F成为正方形时，B′D的长为(　 　) A． B． C．2 D．3 第1题图 2．如图，N为正方形ABCD对角线BD上的任意一点(不包括B，D两点)，过点N作NG⊥BC，NM⊥DC，垂足分别为G，M，若四边形NGCM的周长为6 cm，则正方形ABCD的面积是(　 　) A．9 cm2 B．12 cm2 C．36 cm2 D．45 cm2 第2题图 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC. 　 第3题图 (1)求证：四边形OCED是正方形． (2)若AC＝，则点E到边AB的距离为__________． 命题角度二　正方形中的垂直问题热门命题点 4．将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心(对角线的交点)，则图中四块阴影面积的和为(　 　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 第4题图 5．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(　 　) A．30 B．34 C．36 D．40 　 第5题图 6．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中相邻两条直线之间的距离依次为h1，h2，h3.若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积为(　 　) A．24 B．36 C．52 D．48 　 第6题图 7．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. (1)求证：∠BAF＝∠ADE. (2)求证：DE－BF＝EF. 第7题图 命题角度三　正方形的综合热门命题点 8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是(　 　) A．3 B．4 C． D． 　 第8题图 9．如图，正方形ABCD的4个顶点和正方形BEFG的3个顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是(　 　) A．4＋ B．9 C．4 D．6 第9题图 10．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB∶AD＝____________时，四边形MENF是正方形． 　　 第10题图 11．现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是____________(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是__________cm__． 　　 第11题图 【跟踪训练】 12．如图，正方形ABCD的面积为144，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为84.5，则BE的长为(　 　) A．5 B．6 C．8 D．9 第12题图 13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，连结DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC.若AF＝1，则EF的长为(　 　) A． B． C． D． 　 第13题图 14．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，连结DE，过点A作DE的垂线交CD于点F，连结BF.若CE＝2，则BF的长为(　 　) A．2 B．4 C．8 D．2 　 第14题图 15．如图，在正方形ABCD中，E，F，H分别是AB，BC，CD的中点，CE，DF交于G，连结AG，HG.有下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD.其中正确的结论个数为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 　 第15题图 16．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连结AE，若AB＝2，则AE的长为____________． 第16题图 17. 如图，M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，求BN的长度． 　 第17题图 18．如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，连结AC，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，求的值及tan ∠CAF的值． 第18题图 19．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，D，B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连结AD，AB，CD，CB，∠ADO＝45°. 　 第19题图 　 (1)求证：四边形ABCD是正方形． (2)若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离． 20．点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H. 第20题图 (1)如图1，证明：AE＝EF. (2)如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长． 【参考答案】 命题角度一　正方形的轴对称性热门命题点 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连结B′D，B′E，B′F.当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F成为正方形时，B′D的长为(　A　) A． B． C．2 D．3 【解析】如图，连结BB′，连结BD. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC. ∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1. ∵四边形BEB′F是正方形， ∴BB′＝BE＝，BB′平分∠ABC， ∴B，B′，D三点共线，∴B′D＝BD－BB′＝. 第1题图 　 第1题答图 　 2．如图，N为正方形ABCD对角线BD上的任意一点(不包括B，D两点)，过点N作NG⊥BC，NM⊥DC，垂足分别为G，M，若四边形NGCM的周长为6 cm，则正方形ABCD的面积是(　D　) A．9 cm2 B．12 cm2 C．36 cm2 D．45 cm2 第2题图 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC. 　 第3题图 　 第3题答图 (1)求证：四边形OCED是正方形． 证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC， ∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是正方形． (2)若AC＝，则点E到边AB的距离为__1.5__． 解：如图，连结EO并延长，交AB于G，交CD于H. 由(1)知四边形OCED是正方形，∴CD⊥OE. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD， ∴EG⊥AB.∵AC＝，∴AB＝BC＝1＝GH. 在Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD， ∴DH＝CH， ∴EH＝CD＝0.5，∴EG＝1＋0.5＝1.5， ∴点E到边AB的距离为1.5. 故答案为1.5. 命题角度二　正方形中的垂直问题热门命题点 4．将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心(对角线的交点)，则图中四块阴影面积的和为(　B　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 第4题图 5．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(　B　) A．30 B．34 C．36 D．40 　 第5题图 6．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中相邻两条直线之间的距离依次为h1，h2，h3.若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积为(　C　) A．24 B．36 C．52 D．48 　 第6题图 　　 第6题答图 【解析】如图，过点A作AM⊥l3分别交l2，l3于点N，M，过点C作CH⊥l2分别交l2，l3于点H，G. ∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4， ∴AB＝CD，∠ABN＋∠HBC＝90°. ∵CH⊥l2，∴∠BCH＋∠HBC＝90°， ∴∠BCH＝∠ABN. 同理可知∠BCH＝∠CDG，∴∠ABN＝∠CDG. 在△ABN和△CDG中，∵ ∴△ABN≌△CDG(AAS)，∴AN＝CG，AM＝CH， ∴h1＋h2＝h2＋h3，∴h1＝h3＝4，CH＝4＋2＝6. 同理可证得△ABN≌△BCH，∴BN＝CH＝6. 在Rt△ABN中，由勾股定理得，AB2＝AN2＋BN2＝42＋62＝52， 故正方形ABCD的面积＝AB2＝52. 7．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. (1)求证：∠BAF＝∠ADE. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE＋∠BAF＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠DAE＋∠ADE＝90°. ∴∠BAF＝∠ADE. (2)求证：DE－BF＝EF. 证明：∵BF∥DE， ∠AED＝∠FED＝90°， ∴∠BFA＝90°. 在△AED和△BFA中， ∵ ∴△AED≌△BFA(AAS). ∴AE＝BF，DE＝AF. ∵AF－AE＝EF， ∴DE－BF＝EF. 第7题图 命题角度三　正方形的综合热门命题点 8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是(　D　) A．3 B．4 C． D． 　 第8题图 　 第8题答图 　 【解析】连结AC，CF，如图． ∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°. ∴∠ACF＝45°×2＝90°. ∵H是AF的中点，CH＝3，∴AF＝2CH＝6. 在Rt△ABC中，AC＝BC＝. 在Rt△ACF中，CF＝＝. 在Rt△ECF中，∵CE2＋EF2＝CF2，CE＝EF， ∴CE＝CF＝×＝. 9．如图，正方形ABCD的4个顶点和正方形BEFG的3个顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是(　C　) A．4＋ B．9 C．4 D．6 第9题图 【解析】如图，连结OC，OF， 设OB＝x， ∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在半圆O上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°. ∵BG＝4，四边形BEFG是正方形， ∴OE＝x＋4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°. 在Rt△BCO中，OC＝＝x， 在Rt△FEO中，OF＝＝. ∵OF＝OC，∴5x2＝x2＋8x＋32， 解得x＝4或x＝－2(舍去)，OC＝4， 则半圆O的半径是4. 第9题答图 10．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB∶AD＝__1∶2__时，四边形MENF是正方形． 　　 第10题图 【解析】当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形，理由：∵AB∶AD＝1∶2，AM＝DM，AB＝CD， ∴AB＝AM＝DM＝DC.∵∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°， ∴∠BMC＝90°.∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴BM＝CM. ∵N，E，F分别是BC，BM，CM的中点， ∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM， ∴四边形MENF是菱形． ∵∠BMC＝90°，∴四边形MENF是正方形， 即当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形． 11．现有一张边长等于a(a＞16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是__正方形__(填写图形的形状)(如图)，它的一边长是__8__cm__． 　　 第11题图 【跟踪训练】 12．如图，正方形ABCD的面积为144，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为84.5，则BE的长为(　A　) A．5 B．6 C．8 D．9 【解析】∵∠ECF＝90°，∠DCB＝90°， ∴∠BCE＝∠DCF，在△BCE和△DCF中， ∵ ∴△CDF≌△CBE(ASA)，∴CF＝CE. ∵Rt△CEF的面积是84.5，即·CE·CF＝84.5， ∴CE＝13.∵正方形ABCD的面积为144， ∴BC＝12，根据勾股定理得BE＝＝＝5. 第12题图 13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，连结DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC.若AF＝1，则EF的长为(　B　) A． B． C． D． 　 第13题图 　 第13题答图 【解析】如图，在EF上截取EG＝EC，连结DG， 在△DCE和△DGE中，∵ ∴△DCE≌△DGE(SAS)，∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC.∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AD＝DC＝4， ∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝AD， 在Rt△DAF和Rt△DGF中，∵ ∴Rt△DAF≌Rt△DGF(HL)， ∴AF＝GF＝1.∵EG＝EC， ∴BE＝BC－EC＝4－EG，EF＝EG＋FG＝EG＋1，BF＝AB－AF＝4－1＝3. 在Rt△BEF中，根据勾股定理得，BE2＋BF2＝EF2，∴(4－EG)2＋32＝(EG＋1)2， 解得EG＝2.4，∴EF＝EG＋FG＝2.4＋1＝3.4＝.∴EF的长为. 14．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，连结DE，过点A作DE的垂线交CD于点F，连结BF.若CE＝2，则BF的长为(　D　) A．2 B．4 C．8 D．2 　 第14题图 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°， ∴∠DEC＋∠CDE＝90°＝∠CDE＋∠AFD， ∴∠AFD＝∠DEC，∴△ADF≌△DCE(AAS)， ∴DF＝CE＝2，∴CF＝4， ∴BF＝＝＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15．如图，在正方形ABCD中，E，F，H分别是AB，BC，CD的中点，CE，DF交于G，连结AG，HG.有下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD.其中正确的结论个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 　 第15题图 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°. ∵E，F，H分别是AB，BC，CD的中点， ∴BE＝CF.在△BCE与△CDF中， ∵∴△BCE≌△CDF(SAS)， ∴∠ECB＝∠CDF.∵∠BCE＋∠ECD＝90°， ∴∠ECD＋∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点， ∴HG＝CD＝AD，故④错误； 连结AH交DF于点K，如图， 易得AH⊥DF. ∵HG＝HD＝CD， ∴DK＝GK， ∴AH垂直平分DG， ∴AG＝AD，故②正确； ∴∠DAG＝2∠DAH， 同理可得，△ADH≌△DCF， ∴∠DAH＝∠CDF. ∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠GHC＝∠HDG＋∠HGD＝2∠CDF， ∴∠CHG＝∠DAG.故③正确． 16．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连结AE，若AB＝2，则AE的长为____． 【解析】如图，过点E作EM⊥AD交BC于点N，交AD于点M，则MN＝2. ∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， ∴CG＝CE，∠B＝90°＝∠CNE，∠GCE＝90°， ∴∠GCB＝∠CEN， ∴△BCG≌△NEC(AAS)， ∴NE＝BC＝2，CN＝BG＝AB＝1， ∴ME＝4，AM＝BN＝1，∴AE＝＝. 第16题图 　 第16题答图 17. 如图，M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，求BN的长度． 　 第17题图 　 第17题答图 解：如图，过点B作BE⊥CM于E. ∵DN⊥CM，BE⊥CM，∴∠DNC＝∠CEB＝90°， ∴∠DCN＋∠CDN＝90°.∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠DCN＋∠BCE＝90°，∴∠CDN＝∠BCE， ∴△DCN≌△CBE(AAS)，∴DN＝CE，CN＝BE. ∵DN＝2CN＝2，∴CN＝BE＝1，CE＝2， ∴EN＝CE－CN＝2－1＝1，∴EN＝BE＝1， ∵∠BEN＝90°，∴△BNE是等腰直角三角形， ∴BN＝BE＝. 18．(10分)如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，连结AC，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，求的值及tan ∠CAF的值． 解：设AD＝2.∵四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，CF⊥AE， ∴DE＝EC＝1，AE＝. 易得△ADE∽△CFE，∴＝＝， ∴＝＝，得CF＝，EF＝， ∴AF＝，∴＝，tan ∠CAF＝＝. 第18题图 19．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，D，B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连结AD，AB，CD，CB，∠ADO＝45°. 　 第19题图 　 (1)求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF. ∵BF＝DE，∴BO＝DO. 又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形． (2)若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离． 解：∵正方形ABCD的面积为72， ∴AC·BD＝72，∴×4BO2＝72， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，∴AC＝12. ∵BF＝4，∴OF＝2.∵四边形AECF是菱形， ∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积＝AC·EF＝24. 在Rt△AOE中，AE＝＝2. 设点F到线段AE的距离为h， ∴AE·h＝24，即2h＝24， ∴h＝. 即点F到线段AE的距离为. 20．点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H. 第20题图 　 第20题答图 (1)如图1，证明：AE＝EF. 证明：如图，连结CE.∵四边形ABCD是正方形， ∴点A，C关于BD对称，∴CE＝AE，∠DCE＝∠DAE. ∵∠AEF＋∠FDA＝180°， ∴∠EFD＋∠EAD＝180°， 又∠EFC＋∠DFE＝180°，∴∠EAD＝∠EFC， ∴∠DCE＝∠CFE，∴EC＝FE，∴AE＝FE. (2)如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长． 解：由四边形ABCD是正方形，得AD＝AB＝2， ∠EBA＝∠EDF＝45°，BD＝AB＝2. 由AD＝ED，得AB＝DE，∠EAD＝∠DEA， ∴∠BAD－∠DAE＝∠FEA－∠DEA，即∠BAE＝∠DEF， ∴△EBA≌△FDE， ∴DF＝BE＝BD－DE＝2－2， ∴CF＝CD－DF＝2－(2－2)＝4－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$