2025年数学中考冲刺专题提升导与练 专题九 平行四边形与特殊平行四边形综合(一)——平行四边形和矩形、菱形

中考冲刺专题提升导与练 专题九 平行四边形与特殊平行四边形综合(一) —— 平行四边形和矩形、菱形 【考点探究】 命题角度一　平行四边形与特殊平行四边形中心对称性热门命题点 1. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，已知ABCD的面积为48，OA＝3，则CD的长为(　 　) A．6 B．8 C．10 D．12 第1题图 2．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连结OA，OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E，F分别在AD，BC上，则图中阴影部分的面积为(　 　) A．24 B．16 C．18 D．12 第2题图 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF＝2，点P在边AD上运动(不与点A，D重合)，连结点P与AC的中点O并延长交BC于点Q，连结PE，PF，QE，QF.在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形PEQF的形状变化依次是(　 　) A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 第3题图 4．已知，在矩形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F. (1)如图1，求证：AE＝CF. (2)如图2，连结DE，BF，tan ∠ACB＝，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有面积为△BCF面积4倍的三角形． 命题角度二　特殊平行四边形轴对称性热门命题点 5．如果将长为7 cm，宽为4 cm的矩形折叠一次，则这条折痕的长不可能是(　 　) A．8 cm B．1 cm C．5 cm D．7.5 cm 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2.若E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，则图中阴影部分的面积为(　 　) A． B．2 C．3 D．4 7．如图，在长与宽的比等于常数m的矩形ABCD中截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折，长与宽之比仍然等于m，则m的值为(　 　) A．或4 B．或4 C．或2 D．或2 第7题图 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝9 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向匀速运动(到点B停止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s.若经过t秒时，△DEF为等边三角形，则t的值为(　 　) A． B． C．3 D．2 　 第8题图 命题角度三　平行四边形与特殊平行四边形的综合热门命题点 9．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积(　 　) A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 第9题图 10．如图，点D在Rt△ABC的直角边BC上(与点B，C不重合)，CB＝CA，以AD为边作正方形ADEF，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q.下列结论：①AG＝CD；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.其中结论正确的个数为(　 　) A．4 B．3 C．2 D．1 　 第10题图 11．如图，直线l平分菱形ABCD的面积，与AB，CD分别交于点E，F，交CB的延长线于点G，若AB＝6，DF＝2，则线段BG的长是_____________． 　 第11题图 12．将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝___________． 　 第12题图 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形． (2)若点M，N，P分别是AD，BC，CD的中点，连结MP，NP，MN分别经过点H，G，O，且H，G，O分别为PM，PN，MN的中点，若△MNP的面积是矩形EFGH面积的m倍，求m的值． 【跟踪训练】 14．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan ∠EAF的值为(　 　) A． B． C． D． 第14题图 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动，下列结论中不正确的是(　 　) A．存在四边形APQB是矩形 B．存在四边形APQB是正方形 C．存在四边形APCQ是菱形 D．存在四边形APCQ是矩形 　 第15题图 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，E，F分别是AD，BC边上的两个动点，连结AF，EF，若FA平分∠BFE，则DE的最大值为_______________．(结果保留根号) 　 第16题图 17．在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，M为对角线AC的中点，N为边AB上一动点，若△AMN为等腰三角形，则BN的长为____________． 18．如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合． 　　 第18题图 (1)求证：四边形BEDF是菱形． (2)若AB＝3，BC＝4，求菱形BEDF的面积． 19．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE，GH过点O分别与AB，CD交于点G，H，证明： 第19题图 (1)AG＝CH. (2)GH，EF互相平分． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，动点P从点D出发沿DC方向匀速运动，运动速度为2 cm/s，动点Q同时从点O出发沿OB方向匀速运动，运动速度为1 cm/s，当P到达C时，P，Q两点停止运动，连结AP，AQ，PQ.设时间为t s(0＜t＜5)，解答下列问题： 第20题图 　 第20题答图 (1)当AP⊥CD时，求t的值． (2)设△APQ的面积为y cm2，请写出y与t的函数关系式． 【参考答案】 命题角度一　平行四边形与特殊平行四边形中心对称性热门命题点 1. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，已知ABCD的面积为48，OA＝3，则CD的长为(　C　) A．6 B．8 C．10 D．12 第1题图 2．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连结OA，OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E，F分别在AD，BC上，则图中阴影部分的面积为(　D　) A．24 B．16 C．18 D．12 第2题图 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF＝2，点P在边AD上运动(不与点A，D重合)，连结点P与AC的中点O并延长交BC于点Q，连结PE，PF，QE，QF.在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形PEQF的形状变化依次是(　C　) A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 第3题图 4．已知，在矩形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F. (1)如图1，求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中，∵ ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF. (2)如图2，连结DE，BF，tan ∠ACB＝，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有面积为△BCF面积4倍的三角形． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD＝CB，AD∥BC， ∴∠BAC＋∠BCA＝90°. ∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠ACB. ∵tan ∠ACB＝，∴tan ∠EBA＝tan ∠ACB＝＝， tan ∠BCE＝＝，∴CE＝4AE. ∵AE＝CF，∴CE＝4CF，∴S△BCE＝4S△BCF. ∵EF＝CE－CF＝3CF，∴AF＝4CF， ∴S△ABF＝4S△BCF.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF. 又∵AE＝CF，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(SAS)， ∴S△ADE＝S△BCF， 同理可得S△AFD＝S△CED＝4S△ADE＝4S△BCF. 综上所述，满足题意的三角形有△ABF，△BCE，△ADF，△CDE. 命题角度二　特殊平行四边形轴对称性热门命题点 5．如果将长为7 cm，宽为4 cm的矩形折叠一次，则这条折痕的长不可能是(　C　) A．8 cm B．1 cm C．5 cm D．7.5 cm 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2.若E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，则图中阴影部分的面积为(　A　) A． B．2 C．3 D．4 7．如图，在长与宽的比等于常数m的矩形ABCD中截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折，长与宽之比仍然等于m，则m的值为(　D　) A．或4 B．或4 C．或2 D．或2 【解析】设AB＝x(x＞0)，AD＝mx， 由题意得，＝＝＝2(m－1)＝m或＝＝m，∴m1＝2，m2＝，m3＝(不符合题意，舍去)，∴m的值为2或. 第7题图 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝9 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向匀速运动(到点B停止)，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s.若经过t秒时，△DEF为等边三角形，则t的值为(　C　) A． B． C．3 D．2 　 第8题图 　 第8题答图 【解析】如图，连结BD，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝9 cm，∠ADB＝∠ADC＝60°，∠ABC＝∠ADC＝120°，∴∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD. ∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°. 又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF. 在△ADE和△BDF中，∵ ∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE＝BF. 由题意得AE＝t cm，CF＝2t cm， ∴BF＝BC－CF＝(9－2t) cm，∴t＝9－2t，∴t＝3. 命题角度三　平行四边形与特殊平行四边形的综合热门命题点 9．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积(　D　) A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 第9题图 10．如图，点D在Rt△ABC的直角边BC上(与点B，C不重合)，CB＝CA，以AD为边作正方形ADEF，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q.下列结论：①AG＝CD；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.其中结论正确的个数为(　A　) A．4 B．3 C．2 D．1 　 第10题图 【解析】∵四边形ADEF为正方形， ∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF， ∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA， ∴∠G＝90°＝∠ACB，∴∠CAD＝∠AFG. 在△FGA和△ACD中，∵ ∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AG＝CD，故①正确； ∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG， 故②正确； ∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°， ∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确； ∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°， ∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ， ∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，故④正确． 11．如图，直线l平分菱形ABCD的面积，与AB，CD分别交于点E，F，交CB的延长线于点G，若AB＝6，DF＝2，则线段BG的长是__6__． 　 第11题图 【解析】∵直线l平分菱形ABCD的面积， ∴直线EF经过菱形的中心， ∴BE＝DF＝2，AE＝CF＝4. ∵AB∥CD，即BE∥CF，∴△BGE∽△CGF， ∴＝，即＝，即BG＝6. 12．将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝____． 　 第12题图 【解析】在Rt△C′BM中，C′M＝＝＝5，由折叠可得，C′M＝CM＝5，∠D′C′M＝∠D′＝∠D＝∠C＝90°. 又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠BC′M＋∠AC′E＝∠AEC′＋∠AC′E＝90°， ∴∠BC′M＝∠AEC′.又∵AC′＝BM＝3， ∴△BC′M≌△AEC′(AAS)， ∴BC′＝AE＝4，MC′＝C′E＝5，∴AB＝CD＝C′D′＝7，BC＝AD＝BM＋CM＝3＋5＝8，∴DE＝AD－AE＝8－4＝4，D′E＝C′D′－C′E＝7－5＝2. 设D′N＝DN＝a，则EN＝4－a， 在 Rt△D′EN中，NE2＝D′E2＋D′N2， 即(4－a)2＝22＋a2，解得a＝. 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AO＝BO＝DO＝CO.∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴HO＝FO＝EO＝GO， ∴四边形EFGH是平行四边形，HF＝EG， ∴四边形EFGH是矩形． (2)若点M，N，P分别是AD，BC，CD的中点，连结MP，NP，MN分别经过点H，G，O，且H，G，O分别为PM，PN，MN的中点，若△MNP的面积是矩形EFGH面积的m倍，求m的值． 解：∵四边形EFGH是矩形， ∴△HGO的面积＝S矩形EFGH. ∵H，G分别为PM，PN的中点， ∴HG∥MN，HG＝MN， ∴△PHG∽△PMN，∴＝. 易知H，G分别是DO，CO的中点， ∵点P为DC中点，∴PG∥DO，PH∥CO， ∴四边形PHOG是平行四边形，∴S△PHG＝S△HGO， ∴△MNP的面积＝矩形EFGH面积，∴m＝1. 【跟踪训练】 14．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan ∠EAF的值为(　D　) A． B． C． D． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠C＝∠D＝90°， 由翻折可知，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝10，∴BF＝＝＝8， ∴FC＝BC－BF＝10－8＝2. ∵EC＝CD－DE＝6－DE＝6－EF， 在Rt△EFC中，根据勾股定理得，EF2＝EC2＋FC2， ∴EF2＝(6－EF)2＋22， ∴EF＝，∴tan ∠EAF＝＝＝. 第14题图 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动，下列结论中不正确的是(　B　) A．存在四边形APQB是矩形 B．存在四边形APQB是正方形 C．存在四边形APCQ是菱形 D．存在四边形APCQ是矩形 　 第15题图 【解析】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 当点P与D重合，点Q与B重合时，存在四边形APCQ是矩形，故D正确； ∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形APCQ是平行四边形， 当AP＝CP时，四边形APCQ是菱形， 设AP＝x，则CP＝x，PD＝6－x， ∵∠D＝90°， ∴PC2＝PD2＋CD2，∴x2＝(6－x)2＋42，解得x＝， 故当AP＝时，四边形APCQ是菱形，故C正确； 当AP＝BQ时，四边形APQB是矩形， ∵AP＝CQ，∴BQ＝CQ＝BC＝3， 当AP＝3时，四边形APQB是矩形，故A正确； 不存在四边形APQB是正方形， 理由：当AP＝AB＝BQ＝4时，CQ＝2， 但∵AP＝CQ，∴CQ＝AP＝4，故与CQ＝2矛盾， ∴不存在四边形APQB是正方形． 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，E，F分别是AD，BC边上的两个动点，连结AF，EF，若FA平分∠BFE，则DE的最大值为__2－3__．(结果保留根号) 　 第16题图 　 第16题答图 【解析】如图，过点B作BG⊥AD于点G， 由菱形的性质易得∠BAD＝60°，AD∥BC， 则∠AFB＝∠DAF. ∵AB＝2，∴BG＝AB·sin ∠BAD＝3. ∵FA平分∠BFE，∴∠AFB＝∠AFE， 则∠DAF＝∠AFE，∴AE＝EF， ∴AE最小＝BG＝3，∴DE的最大值为2－3. 17．在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，M为对角线AC的中点，N为边AB上一动点，若△AMN为等腰三角形，则BN的长为__2－或1__． 【解析】如图，连结BD.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC与BD互相垂直平分，∠ABD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2，BM＝DM＝1，∴AM＝＝＝.当AN＝MN时，则∠BAM＝∠AMN，∵AC⊥DB，∴∠ABM＝∠BMN，∴BN＝MN，∴AN＝BN＝MN.∵AB＝2，∴BN＝1，当AM＝AN＝时，BN＝2－.故若△AMN为等腰三角形，则BN的长为2－或1. 第17题答图 18．如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合． 　　 第18题图 (1)求证：四边形BEDF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE.∵将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合， ∴DE＝BE，DF＝BF，∠DEF＝∠BEF， ∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF， ∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形BEDF是菱形． (2)若AB＝3，BC＝4，求菱形BEDF的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝90°， 设菱形BEDF的边长是x，则AE＝AD－DE＝4－x， 在Rt△ABE中，AE2＋AB2＝BE2，∴(4－x)2＋32＝x2， 解得x＝，∴BF＝， ∴菱形BEDF的面积是BF·AB＝×3＝. 19．(12分)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE，GH过点O分别与AB，CD交于点G，H，证明： 第19题图 (1)AG＝CH. 证明：在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD，AO＝CO. 在△AOG与△COH中， ∵ ∴△AOG≌△COH(ASA)，∴AG＝CH. (2)GH，EF互相平分． 证明：连结EH，GF(图略)，在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF. ∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF， 在△AGE与△CHF中，∵ ∴△AGE≌△CHF(SAS)， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEO＝∠HFO， ∴EG∥FH， ∴四边形GFHE是平行四边形， ∴GH，EF互相平分． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，动点P从点D出发沿DC方向匀速运动，运动速度为2 cm/s，动点Q同时从点O出发沿OB方向匀速运动，运动速度为1 cm/s，当P到达C时，P，Q两点停止运动，连结AP，AQ，PQ.设时间为t s(0＜t＜5)，解答下列问题： 第20题图 　 第20题答图 (1)当AP⊥CD时，求t的值． 解：由题意得OQ＝t cm，DP＝2t cm， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝12 cm，BD＝16 cm， ∴AC⊥BD，AO＝OC＝6 cm，BO＝OD＝8 cm， ∴CD＝10 cm.∵AP⊥CD， ∴S△ACD＝AC·OD＝CD·AP，∴AP＝ cm. 在Rt△APD中， DP＝＝＝(cm)， ∴＝2t，∴t＝，∴t的值为. (2)设△APQ的面积为y cm2，请写出y与t的函数关系式． 解：过点P作PE⊥BD于点E，如图． ∵∠BDP＝∠BDP，∠COD＝∠PED＝90°， ∴△ODC∽△EDP，∴＝，即＝，∴EP＝t， ∴y＝S△ADQ＋S△PQD－S△APD＝DQ·AO＋PE·DQ－×PD＝×(t＋8)×6＋×t×(8＋t)－××2t＝t2－t＋24， ∴y与t的函数关系式为y＝t2－t＋24. 学科网（北京）股份有限公司 $$