精品解析：广东省东莞市弘林高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年第二学期高二年级3月份月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：吴健柱 审题人：吴健柱 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若可导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数定义可直接得到结果. 【详解】由导数的定义知：. 故选：C. 2. 一质点的运动方程为，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ） A. 4米/秒 B. 6米/秒 C. 8米/秒 D. 10米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数求瞬时速度. 【详解】，当时，，即物体在4秒末的瞬时速度是8米/秒. 故选：C 3. 已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图像可知，当或时，，严格增，当时，，严格减，结合选项即可得出答案. 【详解】由图可知，当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 结合各选项，只有D符合要求. 故选：D 4. 函数的递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】， 由， 所以函数的递减区间为， 故选：C 5. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设,设点处的切线为,点处的切线为, 得,即得解. 【详解】 设, 所以， 设点处的切线为,点处的切线为, 得, 所以. 故选：B 6. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 函数求导数，代入即可求解. 【详解】, , , 解得， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的求导公式，求导法则，赋值法，属于中档题. 7. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数求解切点处的切线斜率，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解. 【详解】由，得，所以切线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，得． 故选:C． 8. 函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将函数作差，得到函数，再求函数的最小值即得到的最小值. 【详解】由题可得，，则， 设， 所以， 故， 令，得，此时单调递减， 令，得，此时单调递增， 所以， 则，则. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分） 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据求导公式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于为常数，所以，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ,C错误 ， 对于D，，D正确， 故选：BD 10. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点 C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】由图中与0的大小关系可得到函数的单调区间，再根据极值、零点和最值的定义判断各选项的正误即可得出答案. 【详解】解：由的图象可知，在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确； 是的零点，但不一定是的零点，所以A错误； 是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由在上恒成立，参变分离得，结合二次函数求出最小值即可求解. 【详解】由题意得在上恒成立，即，整理得，即， 又在上单调递增，则最小值为，故，结合选项知，可取0，1，2. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的求导公式计算，带入即可. 【详解】函数， . 故答案为： 13. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为函数无极值点， 所以，解得，实数的取值范围是， 故答案为：. 14. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造，利用的性质解． 【详解】解：构造， 则当时，， 在上递增， ∵ 为奇函数， ∴ 为偶函数， 在上递减，， 当时，， ； 当时，， ， 综上：使得成立的的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题解题的关键是构造，这样可以使用这个条件，进而得到的单调性，再结合的奇偶性解决问题．一般在已知条件中出现原函数与导函数结合的式子时，想到构造函数． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值. 【答案】（1）的单调递增区间：，，单调递减区间； （2）极大值为，极小值为． 【解析】 【分析】（1）根据函数的导函数的正负性进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合极值的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，由，解得或， 当时，，单调递减； 当，时，，单调递增； 所以的单调递增区间：，，单调递减区间； 【小问2详解】 因为当时，函数单调递增，当时，单调递减， 所以当时取到极大值为， 因为当时，单调递减，当时，函数单调递增， 当时取到极小值为． 16. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最小值是，最大值是2. 【解析】 【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可. 【小问1详解】 ，. ∵函数在处取得极值2， ∴，， 解得，， ∴， 经验证在处取得极大值2， 故，. 【小问2详解】 ， 令，解得， 令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ， 故函数的最小值是， ，故函数的最大值是2. 17. 某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋，现欲从家源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额满足关系式（单位：万元，其中a是常数）；若该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元. （1）设卖出x万个冰淇淋的利润为（单位：万元），求的解析式； （2）这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1）， （2）销售量为6万个时，利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出函数解析式，由利润值，建立方程，可得答案； （2）由函数解析式，求其导数，根据导数与单调性的关系，可得答案. 【小问1详解】 卖出万个冰淇淋的利润（单位：万元）：，， 即，，当时，，解得， 故，； 【小问2详解】 ， 当时，，当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴时，利润最大为万元. 18. 已知在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递减区间是，单调递增区间是 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得， （2）求得，进而求得函数的单调区间； （3）由题意得到，利用导数研究函数的极值，结合条件列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 点在切线上，则， ，则， 由题意得，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 由得或；由得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 因为， 由（2）知，的单调递减区间是，单调递增区间是， 在处取得极大值，在处取得极小值， 依题意，要使有三个零点，则， 即，解得， 经检验，， 根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点， 所以的取值范围为． 19. 设函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1） （2）若时，在上单调递增； 若时，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可； （3）分离参数，利用导数研究函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，， 则在处的切线方程为：； 【小问2详解】 由， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则时，有，即在上单调递减， 时，有，即在上单调递减； 综上：若时，在上单调递增；若时，在上单调递减； 【小问3详解】 不等式恒成立， 设， 易知在上单调递增， 又，所以时有，时有， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高二年级3月份月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：吴健柱 审题人：吴健柱 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若可导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 一质点的运动方程为，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ） A. 4米/秒 B. 6米/秒 C. 8米/秒 D. 10米/秒 3. 已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分） 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点 C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最小值 11. 已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（ ） A. B. C. D. 3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则________. 13. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________． 14. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值. 16. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋，现欲从家源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额满足关系式（单位：万元，其中a是常数）；若该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元. （1）设卖出x万个冰淇淋的利润为（单位：万元），求的解析式； （2）这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出利润的最大值. 18. 已知在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有三个零点，求实数a的取值范围． 19. 设函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $