吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

长春市第二实验中学高一期中考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范固：人教A版必修第三册第六章一第八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.设a(1十i)十b=一i,其中a,b是实数，则a一b A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,一4)，且a⊥c,b∥c,则x+y= A.-4 B.0 C.1 D.4 3.下列说法正确的是 A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 4.已知a,3为不同的平面，A,B,M,V为不同的点，a为直线，下列推理中错误的是 A.A∈a,A∈3，B∈a,B∈3，则aC3 B.M∈&，M∈B,N∈a,N∈B,则直线MNCa,直线MNC3 C.A∈a,A∈3，则a∩3=A D.A,B,M∈a,A,B,M∈3，且A,B,M不共线，则a,3重合 5.正方形OA'BC'的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面 积是 A.√② B.4 C.42 D.8v2 【高一期中考试·数学卷第1页（共4页）】 5429A 6.圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC=6cm,点P是母线BC上一点，且 PC=号BC一只蚂蚁从A点出发沿者圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 A.7 cm B.35 cm C.5 cm D.(4+6)cm 7.已知△ABC中，过BC中点D的直线分别与直线AB,AC交于点E,F,且AE=mAB (m>0),AF=nAC(n>0),则m十4n的最小值为 A号 B.9 c D.7 8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定 理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定 理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形 ABCD是圆O的内接四边形，且AC=√3BD,∠ADC=2∠BAD.若AB·CD+BC·AD= 43,则圆O的半径为 A.4 B.23 C.2 D.③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2 9.下面是关于复数一一1十行为虚数单位)的命题，其中真命题为 A.之在复平面内对应的点位于第四象限 B.若复数名1=1十i,则之一名1=2√2 C.之的共轭复数为1十i D.之的虚部为一1 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则如下判断正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 C.若sinA十sinB>sinC,则△ABC是锐角三角形 D.若a=10,b=9,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 11.如图，正方体ABCD一AB,CD1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC,上的动点，过 点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是 A.直线AP与直线CD:所成角的正切值为司 B当CQ=2时，S为等腰梯形 C当CQ时，S与C,D交于点R,则CR=号 D.当子<CQ<1时，S为四边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.复数=5(1十i)十a为纯虚数.则实数a的值为 13.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=4,AC与BD的交点为M,N 为边AB上任意一点（包含端点），则M店·DN的取值范围 为 【高一期中考试·数学卷第2页（共4页）】 5429A 14.在三棱锥P-ABC中，AB=2,ACLBC,若该三棱锥的体积为号，则其外接球表面积的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知平面向量a=(2,4),b=(3,5),c=(-2,6). (1)求2a一b与a十c的夹角的正弦值： (2)若a十kc在a一b上的投影向量是(5,5)，求实数k. 16.(本小题满分15分) 如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4. (1)兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点六接 测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯 五楼 角为45°，求假山的高度（精确到0.1）： 四楼 三楼 (2)兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22m, 一楼 BC=16m,求假山的高度（精确到0.1）. 一楼 假山 附：W3≈1.732. 17.(本小题满分15分) 由直四棱柱ABCD一ABCD,截去三棱锥C一B,CD后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点. (1)求证：AO∥平面B1CD1: (2)求证：平面A,BD∥平面BCD: (3)设平面B,CD1与底面ABCD的交线为1，求证：B1D1∥L. 【高一期中考试·数学卷第3页（共4页）】 5429A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b.c,且a,b.c满足+ac=mA+mC. ac sin C sin Ae=12. (1)求B: (2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD,AC=√I89,求CD的长： (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面 ABCD,∠BAP=90°，AB=AC=PA=2,点E,F分别为BC,AD的中点，点M在线段 PD上 (1)求证：EF⊥平面PAC; (2)若M为PD的中点，求点M到平面PBC的距离： (3)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面 ABCD所成的角相等，求别的值。 【高一期中考试·数学卷第4页（共4页）】 5429A长春市第二实验中学高一期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 3 6 答案 A B B C D C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BD ABD ABC 1.A因为a1+D+b=-i,即a+b叶ai=-i,则86己0即公1a一6=-2，放选A 2.B由向量a=(,1D,b=(1,y),c=(2,-4),因为aLc,可得a·c=2x-4=0,解得x=2.又由b∥c,可得之 =兰，解得y=一2，故x十y=0.故选B 3.B对于A,虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误： 对于B,球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，放B正确： 对于C,以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线 为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误： 对于D,用一个平行于底面的平面截园锥，得到一个园锥和圆台，故D错误.故选B 4.C对于A,由A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得aC B,所以A正确： 对于B,由M∈a,M∈3，N∈a,N∈B,根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线 MNCa,直线MNC3,所以B正确： 对于C,由A∈a,A∈B,则平面a和平面B是一条经过点A的直线，所以C不正确： 对于D,由A,B,M∈a,A,B,M∈B且A,B,M不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得a,3重 合，所以D正确.故选C 5.D如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中OA=OA'=2,OB=2OB'=4√2，所以原图 形的面积为OA×OB=82.故选D. C 4 0 第5题图 第6题图 6.C侧面展开图如图所示：：圆柱的底面周长为6mAC=3cm:PC=号BC',∴PC=号×6=4cm 3 在R△ACP中，AP=AC+CP=√/3+平=5.故选C 7.A因为D为BC的中点，故A市=A店+二AC,而D,E,F三点共线，故存在实数入，使得AD=入A正+ (1-A市，所以xmA店+d-nA心-号AB+2AC.而，AC不共线，放m=子，1-n=号，所以 品+是=2，放m十创=号(m+n)(品+7）=子(6+铅+兴)≥号，当且仅当4=是m=受时等号成 m n 立，故m+4n的最小值为号，故选A 8.C由托勒密定理，得AC·BD=AB·CD十BC·AD=43. 因为AC=5BD.所以BD=2.设圆O的半径为R,由正弦定理，得 AC BD sn∠ADC sin∠ZBAD=2R.又AC= 【高一期中考试·数学卷参考答案第1页（共4页）】 5429A √/5BD,所以sin∠ADC=√3sin∠BAD, 因为∠ADC=2∠BAD,所以2sin∠BADcos∠BAD=5sin∠BAD, 因为0<∠BAD<,所以sim∠BAD>0,所以cos∠BAD= 2 所以m∠BAD-=-csZ函D-专则2R-=n2D=4,放R=2 BD 2 2(-1-i) -2-2i=-1-i ABD=-1干-+)(-1-52 x在复平面内对应的点为（一1，一1），位于第三象限，A错误： 因为1=1十i,所以g一1=（一1一i)一(1十）=一2-2i,所以|-1|=22，B正确： 的共轭复数为一1十i,C错误： =一1一i的虚部为一1，D正确.故选BD. 10.ABD对于A:由A>B,则当A∈(0，吾]时，sinA>sinB,当A∈（受，x)时，由A+B<x可知B<x-A< 交，所以sinB<sin(x一A)=inA,A正确： 对于B:由sin2A=sin2B,A∈(0，x),B∈(0，x),A+B∈(0，x)得：2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A十B=交，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B正确： 对于C:由正弦定理可将sinA+sinB>sinC转化为a2+>c2, 则cosC=+)二>0，所以C<受，但无法判断A,B的范围，C错误 2ab 对于D,由a=106=9.B=60,根据正致定理品6得：s血A=B-号>号∴子<A<夸- b x一B,且A≠受，所以满足条件的三角形有两个，D正确.放选ABD L.AC由AB/CD/CD知直线AP与直线CD所成角为∠BAP,则m∠BAP-需-之：放A正确： 如图1，当CQ=2时，即Q为CC巾点，此时可得PQ∥AD,AP=QD=√P+(之)户=与，放可得裁面 2 APQD为等腰梯形，故B正确： 当CQ=是时，如图2，延长DD至N,使DN=,连接AN交A:D于F,连接NQ交CD于R,连接 FR,可证AN/PQ,由△NRD△QRG,可得CR:DR=CQ:DN=1:2,故可得CR=子，放 C正确： 由C可知当？<CQ<1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然如图3所示的APQR M,显然为五边 形，故D错误.故选ABC D D 图1 图2 图3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1由题可得，x=-1十a十i为纯虚数，则a=1. 13.[2,10们以点A为坐标原点，AB,AD的方向为x轴，y轴正方向，建立平面直 角坐标系，则M(2,1),B(4,0),D(0,2),设N(m,0)(0≤m≤4)，所以MB=(2, -1).DN=(m,-2). 则Mi·D不=2m+2,因为0≤m≤4，所以2≤Mi.D六≤10. 【高一期中考试·数学卷参考答案第2页（共4页）】 5429A 14.25xAB=2,AC⊥BC,放底面三角形外接圆半径为r=1, SaN-CA.CB<(CA+CB)=1.CA.CB<2. 当CA=CB=√②时等号成立， 由V=专SE·h=子×CACB:h=号h=CCB≥2， 4 当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点O1, 设球心为O,半径为R,期O在O,上，R=h-R+,化简得到R=合十 注意到函数y=受十公在[2，十∞)上单调递增，故R=年，所以S=xR2-5 元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)因为a=(2,4),b=(3,5),c=(一2,6)，所以2a-b=(1,3),a十c=(0,10),…2分 所以cos(2a-h,a+c)=1X0+3X10_ 3 …4分 √/10·10/10 所以sin(2a-b:a+c√一（3)2=/10 101 10 …6分 (2)由题意知a一b=(一1，一1)，a十kc=(2一2k,4十6k),…8分 所以|a一b=2,(a十kc)·(a-b)=-(2-2k)-(4十6k)=一4k-6,…10分 因为a+c在a一b上的投影向量是(5,5)，所以(5,5)=a+c）·(a-ba-b=二4-6(-1，-1 a-ba-b 2 ② 解得k=1.4…13分 16.解：(1)过B作BD垂直于地面，令假山的高度BD=hm 由题意可知，AC=20m+∠CAB=45,∠BCD=15, 则∠BCA=75”,∠ABC=60,…2分 AC BC 根据正弦定理可得·sin /ABC sin C4B,即9=C …4分 2 2 所以BC-206 …5分 假山 m。 3 D 而sin∠CD=sim15=sin(46°-30)=sn45os30°-cos45sim302=6-2 4 ,…7分 所以h=BCm∠DCB=20,5x6-E≈4.2 3 故假山的高度大约为4.2m.… …9分 (2)根据余弦定理，可得c0s∠ACB=AC+BC-AB_20:+16-2243 2AC·BC 2×20×161601 12分 则sin∠DCB=cos∠ACB=4是 160 13分 所以h=Bsin∠DCB=16×锡=4.3 枚假山的高度大约为4.3m。………… 15分 17.证明：(1)取BD1的中点O,连接CO,AO,如图.…1分 D .几何体ABCD一ABCD是直四棱柱，.AO∥CC,且AO=OC,·2分 ∴.四边形A1O为平行四边形，…3分 B ,,A10∥OC, 4分 又OCC平面BCD,A1O过平面BCD, A1O/∥平面BCD1,…5分 D (2)BB1∥DD, .四边形BB1DD是平行四边形，…6分 BD∥B1D, 7分 BD平面B1CD,BD1C平面BCD,8分 .BD∥平面B1CD,…9分 由(1)得A,O∥平面BCD,又BD∩AO=O,BD,AOC平面ABD, 平面A]BD∥平面BCD.…11分 (3)平面AB1D∥平面ABCD,…12分 平面BCD∩平面ABD=BD,…13分 平面BCD∩平面ABCD=l, 【高一期中考试·数学卷参考答案第3页（共4页）】 5429A B1D∥l …15分 18解：(1)由题可得+ac=4+二→=a2+c一ac,… …2分 B=+立=古→8-号 。4”4分 (2)D为线段BC上一点，且满足AD=BD,B=否， ∴△ABD为等边三角形，∠AC-等 …5分 设CD=x,在△ADC中，AC=AD+CD-2AD·CDos∠ADC, 即189=7+12-2z12×(-2）, …7分 整理得：x2+12x一45=0，解得x=3或x=一15（舍），即CD=3. ……9分 （3)在△ABC中，AB-12,由正弦定理品C得： BC=12sin A 12sn(g-12(停sc+ sin C sin C sin C =12(+ 2 tan C/ ,……11分 于是得5度=名·H,C,血B=36厅.（合+号） …12分 因为△ABC是锐角三角形，则0<C<受，且0<-C<受 于是省吾<C<受则mC号即0<品c<5,号<号+号·dC<2,…15分 1 从而得185<S△<72√5， 所以△ABC面积的取值范围是(185,725).…17分 19.(1)证明：在平行四边形ABCD中， 因为AB=AC,∠BCD=135,则∠ABC=∠ACB=45°，可得AB⊥AC,…1分 又因为E,F分别为BC,AD的中点，则EF∥AB,所以EF⊥AC.…2分 因为∠BAP=90°，即AB⊥AP, 且侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,APC侧面PAB, 可得PA底面ABCD,……4分 由EFC底面ABCD,可得PA⊥EF, 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以EF⊥平面PAC.…5分 (2)解：因为PA⊥底面ABCD,AB,ACC底面ABCD,可得PA⊥AB,PA⊥AC, 由题意可得PB=PC=BC=2瓦.…6分 设点A到平面PBC的距离为d, 由Vm=,m可得时dX分×2厄X2万×号=吉×2x号×2x2,解得d=2 2 3 ,…9分 因为AD∥BC,ADt平面PBC,BCC平面PBC,则AD∥平面PBC, 可得点D到平面PBC的距离即为点A到平面PBC的离，为2号. 又因为M为PD的中点，所以点M到平面PBC的距离为子d=号 1 3 …11分 (3)解：设别-AE[0,1山，直线ME与平面PBC,平面ABCD所成的角分别为aR. 由(2)可知：点M到平面PBC的距离为xd=2,点M到平面ABCD的距离为C1-XPA=21-X ………………14分 由题意可知a=,即sina=sin3, 23 34 可得M面 -222解得后十12 5=3-5 ME 所以别的值为3≥ 2 17分 【高一期中考试·数学卷参考答案第4页（共4页）】 5429A长春市第二实验中学高一期中考试 请在各题目的答题区内作答,出形边完区球的答案无效! 请在各题目的答区域内作答,副出距形达明定区域的答案无效 数学 答题卡 15.(本小题满分13分) 16.1本小题满分15分 语考证号 姓名 班级 考场 座位号 的的马上了 1 -与计 北让 十r 事 贴条恶码区 14 tttm号it 9 iAr a1 填涂例 站: :了1 i记。 选择题[2铅铅笔: $C](10 1.r]711 11【1p] 1口口口 41-10t0 1.]1o]】n] 和nn rtn 选择题(清使用05黑色水答字笔书写1 12(5分) 1305分) 14(5分) 请在各题目的答院为作答,题出阻用达稿定区的案无效 请在各题的容睡区境动作答,是出铅形达相定区感的效 请在题目的答确境内作答,出现形达极限定区成的答案无效 高一考试·题学 第1页(共2页1 520 请在各踏目的答区内作答,超出矩形这阻定区的等离无效! 请在各题目的答题区内作答,出炬形边完区球的答案无效! 在各题目的答区域内答,副出矩形边程定区域的答案无效 17.(本4题满分15分) 18(本小题满分17分) 19(本小题满分17分) 请在各题目的答题区作答,副出短形适相限定区结的答要无数 请在各题的容睡区境沟作答,出现形达相定区感的效 请在题目的答确境内作答,出现形达极限定区成的答案无效 高一考试·题学 第2页(共2页1 520