江苏省扬州市邗江区2024-2025学年苏科版八年级下册数学第三次月考（5月月考）仿真模拟卷

2024-2025学年江苏扬州市八年级下册数学 第三次月考仿真模拟卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.（2025•晋州市模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 2. 下列调查适合用普查方式的是（ ） A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 全班学生最喜爱的体育运动项目 C. 长江中现有鱼的种类 D. 全市学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4.（2025•霸州市模拟）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 5. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 6. 如图，在平行四边形中，，，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知下列命题，其中真命题的个数是（ ） ①若，则； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④在反比例函数中，如果函数值时，那么自变量． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8.（2024秋•长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，从中抽测了1500名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 10. 分式 有意义的条件是_____． 11. 若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____． 12. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ______ ． 13. （2025春•左权县期中）2025年农业主导品种主推技术发布，玉米品种瑞普909等，凭借其优良的生长特性，适宜在左权春播中晚熟玉米区种植，有望为当地玉米产业带来产量与质量的双提升．为了进一步验证玉米品种瑞普909种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同试验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该试验条件下发芽的概率是 .（结果精确到0.01） 14. （2025•朝阳县校级一模）关于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 . 15. 已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为_________． 16. 如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是______． 17. 如图，已知点A在反比例函数的图像上，连接交反比例函数的图像于点B，分别过A、B两点分别作轴于点D、轴于点C，若直角梯形的面积为5，则_________． 18. 如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论①；②；③；④中，正确结论的是 ______ 填序号． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值： ，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的整数的值代入求值． 21. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间分组 频数 频率 A 4 B 8 C 10 a D 21 E b 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，________，________； （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________； （3）请估算该校800名八年级学生中睡眠不足7小时的人数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转， 画出旋转后的图形； （2）直接写出，两点的坐标为　 　， ． 23.（2025•清城区二模）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸） （1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ （2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？ 24.如图，已知△ABC． （1）尺规作图：分别在AB、BC、AC边上取点D、E、F，使得四边形ADEF是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AD=13，AE=24，求四边形ADEF的面积． 25. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______，解这个方程，得______． 经检验，______是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 26. 如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）． （1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？ （2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？ 27. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． （1）当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； （2）过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 28. 在四边形中，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025学年江苏扬州市八年级下册数学 第三次月考仿真模拟卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填 写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 选择题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.（2025•晋州市模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 2. 下列调查适合用普查方式的是（ ） A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 全班学生最喜爱的体育运动项目 C. 长江中现有鱼的种类 D. 全市学生的家庭 1周内丢弃塑料袋的数量 3. 下列计算正确的是（ ） A. 2 3 6  B. 2 3 5  C. 8 4 2 D. 4 2 2  4.（2025•霸州市模拟）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉 准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 5. 已知关于 x的方程    13 2 3 4 0kk x k x     是一元二次方程，则 k的值应为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 不能确定 6. 如图，在平行四边形 ABCD中， 3AB  ， 2AC  ， 4BD  ，则 BC的长是（ ） A. 2 3 B. 7 C. 3 D. 5 2 7. 已知下列命题，其中真命题的个数是（ ） ①若 2 2a b ，则 a b ； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④在反比例函数 2y x  中，如果函数值 1y  时，那么自变量 2x  ． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8.（2024秋•长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成 绩的优秀率 y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数 x的情况，其中描述 1班和 3班 两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写 在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，从中抽测了 1500名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 10. 分式 1 1x  有意义的条件是_____． 11. 若反比例函数 y＝ 2m x  的图像经过第二、四象限，则 m的取值范围是 _____． 12. 对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算“*”如下 * a ba b a b    ，如 3 23*2 5 3 2     ，计算：9*7  ______ ． 13.（2025春•左权县期中）2025年农业主导品种主推技术发布，玉米品种瑞普 909等，凭借其优良的生长特性， 适宜在左权春播中晚熟玉米区种植，有望为当地玉米产业带来产量与质量的双提升．为了进一步验证玉米品种瑞普 909种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同试验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 3 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该试验条件下发芽的概率是 .（结果精确到 0.01） 14.（2025•朝阳县校级一模）关于 x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围 是 . 15. 已知关于 x的方程 3 3 2 1 x n x    的解是负数，则 n的取值范围为_________． 16. 如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC，BD的长分别是6cm，8cm， AE BC ，垂足为点 E，则 AE的长是 ______ cm． 17. 如图，已知点 A在反比例函数 ky x  的图像上，连接OA交反比例函数 my x  的图像于点 B，分别过 A、B两 点分别作 AD x 轴于点 D、BC x 轴于点 C，若直角梯形 ABCD的面积为 5，则 k m  _________． 18. 如图， E、 F 分别是正方形 ABCD的边CD， AD上的点，且CE DF ， AE， BF 相交于点O，下列结 论① AE BF ；② AE BF ；③ AO OE ；④ AOB DEOFS S 四边形△ 中，正确结论的是 ______ 填序号． 4 三、解答题（本大题共 10小题，共 96分．请在答题卷指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、 说理过程或演算步骤） 19. 计算： （1） 0 12022 18 4 2 2    ； （2）     23 1 3 2 3 2    ． 20. 先化简，再求值： 1 32 2 2 x x x x         ，然后从不等式组 2 0 2 2 x x      的解集中，选取一个你认为符合题意 的整数．． x的值代入求值． 21. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生 作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一 周内平均每天的睡眠时间 t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间分组 频数 频率 A 6t  4 0.08 5 B 6 7t  8 0.16 C 7 1 8  10 a D 8 9t  21 0.42 E 9t  b 0.14 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中， a ________，b  ________； （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________ ； （3）请估算该校 800名八年级学生中睡眠不足 7小时的人数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，      3,3 , 4,0 , 0, 1A B C  ． （1）以点 C为旋转中心，把 ABC 逆时针旋转90， 画出旋转后的图形 A B C △ ； （2）直接写出 A， B两点的坐标为 A ， B ． 6 23.（2025•清城区二模）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为 “国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共 1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的 2 倍，生产 700张熟宣比生产 400张生宣多用 1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸） （1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ （2）若生产工期不超过 12天，则最多生产熟宣多少张？ 24.如图，已知△ABC． （1）尺规作图：分别在 AB、BC、AC边上取点 D、E、F，使得四边形 ADEF 是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若 AD=13，AE=24，求四边形 ADEF的面积． 25. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程： 1 2x   ． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______，解这个方程，得 x ______． 经检验， x ______是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1） 2 3 0x   ； （2） 24 5 2 1x x x   ． 7 26. 如图，矩形 ABCD中， 16cmAB  ， 6cmBC = ，点 P从点A出发沿 AB向点 B移动（不与点A、 B重合）， 一直到达点 B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）． （1）若点 P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形 BPDQ为菱形？ （2）若点 P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间 DPQV 为直角三角形？ 27. 如图，点 P是 y轴正半轴上的一个动点，过点 P作 y轴的垂线，与反比例函数 4y x   的图象交于点 A．把直 线 l上方的反比例函数图象沿着直线 l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“ 4y x   的 l镜像”． （1）当 3OP  时； ①点 1 , 2 2 M       ________“ 4y x   的 l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“ 4y x   的 l镜像”与 x轴交点坐标是_________； （2）过 y轴上的点 (0, 1)Q  作 y轴垂线，与“ 4y x   的 l镜像”交于点 B、C，若 2BQ CQ ，求OP的长． 8 28. 在四边形 ABCD中， 45BAD C    ， AD BD ， 90CBD  ． （1）求证：四边形 ABCD是平行四边形； （2）若点 P为线段CD上的动点 (点 P不与点D重合 )，连接 AP，过点 P作 EP AP 交直线BD于点 E． ①如图 2，当点 P为线段CD的中点时，请直接写出 PA， PE的数量关系； ②如图 3，当点 P在线段CD上时，求证： 2DP DEDA  ． 1 2024-2025学年江苏扬州市八年级下册数学 第三次月考仿真模拟卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填 写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 选择题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.（2025•晋州市模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对 称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断 即可． 【解答】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2. 下列调查适合用普查方式的是（ ） A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 全班学生最喜爱的体育运动项目 C. 长江中现有鱼的种类 D. 全市学生的家庭 1周内丢弃塑料袋的数量 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A．该选项如果进行普查，那么全部灯泡作废，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意； B．该选项适宜普查； C．该选项如果进行普查，所需人力、物力、时间和经费较多，难度大，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题 2 意； D．该选项如果进行普查，所需人力、物力和时间较多，所以只适宜抽样调查，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来， 具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当 考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时 就应选择抽样调查．掌握普查和抽样调查是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. 2 3 6  B. 2 3 5  C. 8 4 2 D. 4 2 2  【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A． 2 3 6  ，计算正确，符合题意； B． 2和 3不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； C． 8 2 2 ，计算错误，不符合题意； D． 4 2 2 2   ，计算错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4.（2025•霸州市模拟）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉 准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【分析】根据对角线相等的平行四边形为矩形，有 3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：根据对角线相等的平行四边形为矩形，有 3个角是直角的四边形是矩形，进行判断如下：嘉嘉用刻度 尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相 等，即可判定这张纸片是矩形；淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有 3个角是直角，即可判定这张 纸片是矩形；故他俩都能判定这张纸片是矩形； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 3 5. 已知关于 x的方程    13 2 3 4 0kk x k x     是一元二次方程，则 k的值应为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：由关于 x的方程 | | 1( 3) (2 3) 4 0kk x k x     是一元二次方程，得 | | 1 2k   且 3 0k   ． 解得 3k   ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看 化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 6. 如图，在平行四边形 ABCD中， 3AB  ， 2AC  ， 4BD  ，则 BC的长是（ ） A. 2 3 B. 7 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求得 OA和 OC的长，然后根据勾股定理逆定理求得∠BAC=90°，最后用勾股定 理即可求得 BC的长． 【详解】解：∵在平行四边形 ABCD中， 2AC  ， 4BD  ∴OA= 12 AC=1，OB= 1 2 BD=2 ∴AB2=3，OA2=1，OB2=4 ∴AB2+OA2=OB2 ∴∠BAC=90° ∴BC=  22 2 23 2 7AB AC    故选 B． 4 【点睛】本题考查了平行四边形的的性质、勾股定理及其逆定理的应用，运用勾股定理逆定理得到∠BAC=90°是解 答本题的关键． 7. 已知下列命题，其中真命题的个数是（ ） ①若 2 2a b ，则 a b ； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④在反比例函数 2y x  中，如果函数值 1y  时，那么自变量 2x  ． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根、菱形的判定、平行四边形的判定、反比例函数的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①若 2 2a b ，则 a b  ，故错误； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确； ④在反比例函数 2y x  中，如果函数值 1y  时，那么自变量 2x  或 0x  ；故错误； 因此有两个是正确的， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根、菱形的判定、平行四边形的判定、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关 键． 8.（2024秋•长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成 绩的优秀率 y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数 x的情况，其中描述 1班和 3班 两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 5 【解答】解：设 y= x k （k＞0），过 4班点，2班点作 y轴的平行线交反比例函数于 A，B， 设 1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点 A为（x4，y4'），点 B为（x2， y2'）， 由图象可知：y1＞y4'，y3＜y2'， 依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4 分别为 1班、2班、3班、4班的优秀人数． 由题意可得：k=x4y4'=x2y2'=x1y1， ∵y1＞y4'，y3＜y2'， ∴x1y1＞x4y4'=k,x3y3＜x2y2'=k, ∴x4y4＞x1y1=x3y3＞x2y2， 即：4班优秀人数＞1班优秀人数=3班优秀人数＞2班优秀人数， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写 在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，从中抽测了 1500名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 【答案】1500 【解析】 【分析】根据样本的定义，即可求解． 【详解】本次调查的样本是被随机抽取的 1500名学生的身高，所以样本容量是 1500． 故答案为：1500． 6 【点睛】本题考查样本容量的概念：样本容量指的是样本中个体的数目，它只是一个数字，不带单位；熟记定义是 解题关键． 10. 分式 1 1x  有意义的条件是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】解：∵分式 1 1x  有意义， ∴x﹣1≠0，即 x≠1． 故答案为 x≠1． 11. 若反比例函数 y＝ 2m x  的图像经过第二、四象限，则 m的取值范围是 _____． 【答案】m＜2 【解析】 【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出 m﹣2＜0，求出 m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数 y＝ 2m x  的图像经过第二、四象限， ∴m﹣2＜0， 得：m＜2． 故答案为：m＜2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于 m的不等式，是解题的关 键． 12. 对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算“*”如下 * a ba b a b    ，如 3 23*2 5 3 2     ，计算：9*7  ______ ． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新 定义运算公式是解题关键． 【详解】解： 9 7 16 49*7 2 9 7 2 2       ， 故答案为： 2． 13.（2025春•左权县期中）2025年农业主导品种主推技术发布，玉米品种瑞普 909等，凭借其优良的生长特性， 适宜在左权春播中晚熟玉米区种植，有望为当地玉米产业带来产量与质量的双提升．为了进一步验证玉米品种瑞普 909种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同试验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 7 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该试验条件下发芽的概率是 .（结果精确到 0.01） 【分析】根据频率估计概率求解即可． 【解答】解：估计这种粮食种子在该试验条件下发芽的概率是 0.97， 故答案为：0.97． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动 的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件 的概率． 14.（2025•朝阳县校级一模）关于 x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围 是 . 【解答】解：由题意可得：当 42-4(m-2)×2＞0，且 m-2≠0 解得：m＜4且 m≠2， 故答案为：m＜4且 m≠2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当 b2-4ac＞0时，方程有两个不相 等的实数根；当 b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 15. 已知关于 x的方程 3 3 2 1 x n x    的解是负数，则 n的取值范围为_________． 【答案】 3n  且 3 2 n  【解析】 【分析】求出分式方程的解 3 3 nx  ，得出 3 0 3 n   ，求出 n的范围，根据分式方程得出 3 1 3 2 n    ，求出 n，即 可得出答案． 【详解】解： 3 3 2 1 x n x    ， 解方程得： 3 3 nx  ， 8 关于 x的方程 3 3 2 1 x n x    的解是负数， 3 0 3 n    ， 解得： 3n  ， 又原方程有意义的条件为： 1 2 x   ， 3 1 3 2 n     ， 解得： 3 2 n  ， 故答案为： 3n  且 3 2 n  ． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出 3 0 3 n   和 3 1 3 2 n    ，注意题目中的隐含条 件 2 1 0x  ，不要忽略． 16. 如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC，BD的长分别是6cm，8cm， AE BC ，垂足为点 E，则 AE的长是 ______ cm． 【答案】 24 5 【解析】 【分析】先根据菱形的性质及勾股定理求得 BC的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，记对角线的交点为 O， ∵四边形 ABCD是菱形，对角线 AC， BD的长分别是6cm，8cm， ∴  3 cmAO CO  ，  4 cmBO DO  ， 90BOC  ， ∴  2 23 4 5 cmBC    ， 9 ∵ 1 2 AE BC AC BD  ， ∴ 15 6 8 2 AE    ， 解得：  24 cm 5 AE  ． 故答案为： 24 5 ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用勾股定理求出 BC的长是解题关键． 17. 如图，已知点 A在反比例函数 ky x  的图像上，连接OA交反比例函数 my x  的图像于点 B，分别过 A、B两 点分别作 AD x 轴于点 D、BC x 轴于点 C，若直角梯形 ABCD的面积为 5，则 k m  _________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义可判断 1 2OAD S k △ ， 1 2OBC S m △ ，继而根据直角梯形 ABCD的面积，得出  1 5 2 m k  ，继而求出 k m 的值． 【详解】解：∵点 A在 ky x  上，点 B在 my x  上， ∴ 1 2OAD S k △ ， 1 2OBC S m △ ， ∴直角梯形 ABCD的面积为   1 1 1 5 2 2 2OAD OBC S S k m m k            △ △ ， ∴ 10k m   ， 故答案为： 10 ． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是根据比例系数确定相应图形的面积． 18. 如图， E、 F 分别是正方形 ABCD的边CD， AD上的点，且CE DF ， AE， BF 相交于点O，下列结 论① AE BF ；② AE BF ；③ AO OE ；④ AOB DEOFS S 四边形△ 中，正确结论的是 ______ 填序号． 10 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度 不大，求出 ABF△ 和 DAE 全等是解题的关键，也是本题的突破口． 根据正方形的性质可得 90BAF D   ， AB AD CD  ，然后求出 AF DE ，再利用“边角边”证明 ABF△ 和 DAE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE BF ，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应 角相等可得 ABF DAE   ，然后证明 90ABF BAO   ，再得到 90AOB  ，从而得出 AE BF ，判 断②正确；假设 AO OE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 AB BE ，再根据 直角三角形斜边大于直角边可得 BE BC ，即 BE AB ，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得 ABF ADES S  ，然后都减去 AOF 的面积，即可得解，从而判断④正确． 【详解】解：在正方形 ABCD中， 90BAF D   ， AB AD CD  ， CE DF ， AD DF CD CE    ， 即 AF DE ， 在 ABF△ 和 DAE 中， 90 AB AD BAF D AF DE         ， ABF ≌  SASDAE ， AE BF  ，故①正确； ABF DAE   ， 90DAE BAO    ， 90ABF BAO   ， 在 ABO 中，  180 180 90 90AOB ABF BAO         ， AE BF  ，故②正确； 11 假设 AO OE ， (AE BF 已证 )， (AB BE  线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 )， 在Rt BCE 中， BE BC ， AB BC  ，这与正方形的边长 AB BC 相矛盾， 所以，假设不成立， AO OE ，故③错误； ABF DAEQ V V≌ ， ABF DAES S V V ， ABF AOF DAE AOFS S S S   V V V V ， 即 AOB DEOFS S 四边形△ ，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共 10小题，共 96分．请在答题卷指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、 说理过程或演算步骤） 19. 计算： （1） 0 12022 18 4 2 2    ； （2）     23 1 3 2 3 2    ． 【答案】（1）3 4 2 （2）3 2 3 【解析】 【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案． 【小问 1详解】 解： 0 12022 18 4 2 2    21 3 2 2 2 2      12 3 4 2  ； 【小问 2详解】 解：     23 1 3 2 3 2     3 2 3 1 3 2     3 2 3 1 3 2     3 2 3  ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值： 1 32 2 2 x x x x         ，然后从不等式组 2 0 2 2 x x      的解集中，选取一个你认为符合题意 的整数．． x的值代入求值． 【答案】 1 1x  , 0x  时，原式 1 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求 出不等式组的解集，找出解集中满足题意 x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： 1 32 2 2 x x x x         1 ( 2)( 2) 3 2 2 x x x x x         1 2 2 ( 1)( 1) x x x x x        1 1x   ， 不等式组 2 0 2 2 x x      的解集为 1 2x   ， 当 0x  时，原式 1 ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生 作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一 周内平均每天的睡眠时间 t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 13 学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间分组 频数 频率 A 6t  4 0.08 B 6 7t  8 0.16 C 7 1 8  10 a D 8 9t  21 0.42 E 9t  b 0.14 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中， a ________，b  ________； （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________ ； （3）请估算该校 800名八年级学生中睡眠不足 7小时的人数． 【答案】（1） 0.2；7 （2）72 （3）估计该校 800名八年级学生中睡眠不足 7小时的人数有 192人． 【解析】 【分析】（1）根据 B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出 a、b的值； （2）根据 C组的频率可计算出扇形统计图中 C组所在扇形的圆心角的大小； （3）根据每天睡眠时长低于 7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于 7小时的人数． 【小问 1详解】 解：本次调查的同学共有：8 0.16 50  （人）， 10 50 0.2a    ， 14 50 4 8 10 21 7b       ， 故答案为： 0.2，7； 【小问 2详解】 解：扇形统计图中 C组所在扇形的圆心角的大小是 10360 72 50   ， 故答案为：72； 【小问 3详解】 解： 4 8800 192 50    （人）， 答：估计该校 800名八年级学生中睡眠不足 7小时的人数有 192人． 【点睛】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答． 22. 如图，在平面直角坐标系中，      3,3 , 4,0 , 0, 1A B C  ． （1）以点 C为旋转中心，把 ABC 逆时针旋转90， 画出旋转后的图形 A B C △ ； （2）直接写出 A， B两点的坐标为 A ， B ． 【答案】（1）见解析 （2）  4,2 ，  1,3 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B的对应点 A， B即可； （2）利用（1）所画图形写出点 A， B两点的坐标，即可． 【小问 1详解】 解：如图， A B C △ 即为所求； 15 【小问 2详解】 解： A， B两点的坐标为    4,2 , 1,3A B   ； 故答案为：  4,2 ，  1,3 【点睛】本题考查了作图——旋转变换：熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 23.（2025•清城区二模）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为 “国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共 1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的 2 倍，生产 700张熟宣比生产 400张生宣多用 1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸） （1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ （2）若生产工期不超过 12天，则最多生产熟宣多少张？ 【分析】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣 x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣 2x张，根据题意列出方 程，求解、检验即可；（2）设最多生产熟宣 a张，根据题意列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣 x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣 2x张， 由题意得： 1 2 400700  xx ． 解得 x=500． 检验，x=500是原分式方程的解，且符合题意． ∴2x=2×500=1000． 答：该工厂的工人平均每天生产熟宣 500张，该工厂的工人平均每天生产生宣 1000张． （2）设最多生产熟宣 a张．由题意得： 12 1000 10000 500    aa ． 解得 a≤2000． ∴最多生产熟宣 2000张． 答：最多生产熟宣 2000张． 【点评】本题主要考查分式方程及不等式的应用，理解题意列出方程不等式是解题关键． 24.如图，已知△ABC． （1）尺规作图：分别在 AB、BC、AC边上取点 D、E、F，使得四边形 ADEF 是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若 AD=13，AE=24，求四边形 ADEF的面积． 16 【分析】（1）作△ABC的角平分线 AE，作线段 AE的垂直平分线交 AB于 D，交 AC于 F，连接 DE，EF，四边形 ADEF即为所求；（2）根据勾股定理求出 OD，然后根据菱形的性质和面积公式即可解决问题． 【解答】解：（1）D，E，F的位置如图所示； （2）由（1）知：四边形 ADEF 是菱形， ∴AE⊥DF，AO= 2 1 AE= 2 1 ×24=12， ∵AD=13， ∴OD=5， ∴DF=2OD=10， ∴四边形 ADEF的面积= 2 1 ×AE•DF= 2 1 ×24×10=120． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，尺规作图，掌握基本的尺规作图是本题的关键． 25. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程： 1 2x   ． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______，解这个方程，得 x ______． 经检验， x ______是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1） 2 3 0x   ； （2） 24 5 2 1x x x   ． 【答案】【回顾旧知，类比求解】 1 4x   ，3，3；【学会转化，解决问题】（1） 11x ；（2） 1x  【解析】 【分析】【回顾旧知，类比求解】根据题意可直接进行求解； 【学会转化，解决问题】（1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； 17 （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】【回顾旧知，类比求解】 解： 1 2x   去根号，两边同时平方得一元一次方程 1 4x   ，解这个方程，得 3x  ． 经检验， 3x  是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 解：（1） 2 3 0x   2 3x  2 9x   ， 解得： 11x ， 经检验， 11x 是原方程的解； （2） 24 5 2 1x x x   24 5 2 1x x x   2 24 5 4 4 1x x x x    解得： 1x  ， 经检验， 1x  是原方程的解． 【点睛】本题主要考查无理方程，解题的关键是把无理方程转化为整式方程． 26. 如图，矩形 ABCD中， 16cmAB  ， 6cmBC = ，点 P从点A出发沿 AB向点 B移动（不与点A、 B重合）， 一直到达点 B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）． （1）若点 P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形 BPDQ为菱形？ （2）若点 P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间 DPQV 为直角三角形？ 【答案】(1) 经过 55 24 秒四边形 BPDQ 是菱形；（2）经过 2秒、 16 5 秒 、 6 5 秒时 DPQV 为直角三角形 18 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得 //AB CD，由 P、Q两点速度大小相同得到平行四边形 BPDQ ，只需 BP DP ， 四边形 BPDQ 是菱形，设经过 x秒四边形 BPDQ 是菱形，将 BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解； （2）由 90PDQ  分为① 90DPQ  ② 90DQP  两种情况讨论：对①，过 Q作QM AB 于 M，利用勾 股定理即可得出关于 x的一元二次方程，即可得解；对②，则 16AP CQ  ，由此可得关于 x的一元一次方程， 即可得解． 【详解】解：（1）由题可知 //AB CD , 由于 P、Q两点速度大小相同，  AP CQ ， BP DQ BPDQ 是平行四边形， 当 BP DP 时，四边形 BPDQ 是菱形； 设经过了 x秒四边形 BPDQ 是菱形，则有： 3AP xcm ， (16 3 )BP x cm  由勾股定理得：  22 23 6DP x     2 22 23 6 16 3DP x x     解得： 55 24 x  故经过 55 24 秒四边形 BPDQ 是菱形； （2） P、A两点不重合 90PDQ   DPQ△ 为直角三角形有两种情况：①当 90DPQ  时过 Q作QM AB 于 M，可知 BCQM 为矩形，如图所 示 3AP xcm ， 2BM CQ xcm  ，则有：  16 5PM x cm  ，  16 2DQ x cm       2 2 22 216 5 6 3 6 16 2x x x       解得： 1 2x  ， 2 6 5 x  ； ②当 90DQP  时， 16AP CQ  ， 19 所以3 2 16x x  ，解得 16 5 x  ； 综上可知：经过 2秒、 6 5 秒 、 16 5 秒时 DPQV 为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）根据领边相等建立一 元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出 关于 x的方程是关键． 27. 如图，点 P是 y轴正半轴上的一个动点，过点 P作 y轴的垂线，与反比例函数 4y x   的图象交于点 A．把直 线 l上方的反比例函数图象沿着直线 l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“ 4y x   的 l镜像”． （1）当 3OP  时； ①点 1 , 2 2 M       ________“ 4y x   的 l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“ 4y x   的 l镜像”与 x轴交点坐标是_________； （2）过 y轴上的点 (0, 1)Q  作 y轴垂线，与“ 4y x   的 l镜像”交于点 B、C，若 2BQ CQ ，求OP的长． 【答案】（1）①在；② 2 0 3      ， 20 （2）OP的长为 1 4 或 1 2 【解析】 【分析】（1）①根据函数“ 4y x   的 l镜像”定义知：反比函数图象沿着直线 l翻折前后部分关于直线 l对称，当 1 2 x   时，反比例函数值 8y  ，则点 1 8 2 ，      关于直线 3y  对称点为 1 2 2       ， ，得出点M 在“ 4y x   的 l镜 像”；②“ 4y x   的 l镜像”与 x轴交点纵坐标是 0，根据直线 : 3l y  对称点在反比例函数 4y x   图象上纵坐 标应为 6y  时 2 3 x   ，“ 4y x   的 l镜像”与 x轴交点坐标是 2 0 3      ， ． （2）由过 y轴上的点 (0, 1)Q  作 y轴垂线，与“ 4y x   的 l镜像”交于点 B、C知：点 B，C纵坐标 1y   ，点 (4, 1)C  ， 4CQ  ，故 8BQ  ，点 B坐标为 ( 8 1) ， ，点 B关于直线 l对称点坐标为 1( 8, ) 2  ， 11 12 2 4 OP    ．当 点 B，C位置交换时， 1 2 OP  ． 【小问 1详解】 解：①由反比例函数 4y x   知：当 1 2 x   时， 8y  ． 3OP  且过点 P作 y轴的垂线 l． 关于直线 : 3l y  对称点坐标为 1 2 2       ， ． 由“ 4y x   的 t镜像”定义得：点 1 2 2 M       ， 在“ 4y x   的 t镜像”上． 故答案为：在． ② “ 4y x   的 l镜像”与 x轴相交点纵坐标为 0． 关于直线 : 3l y  对称点在反比例函数 4y x   上点纵坐标为 6． 6y  时， 2 3 x   ．  “ 4y x   的 l镜像”与 x轴交点坐标是 2 0 3      ， ． 故答案为： 2 0 3      ， ． 【小问 2详解】 解：如图，①过 y轴上的点 (0 1)Q ， 作 y轴垂线，与“ 4y x   的 l镜像”交于点 B、C． 21 点 B，C纵坐标为 1 ． 点C在反比例函数 4y x   图象上． 点C坐标 (4 1)， ． 4CQ  ． 2BQ CQ ． 8BQ  ． 点 B坐标为 ( 8 1) ， ． 当 8x   时，反比例函数 4y x   的值 1 2 y  ． 点 ( 8 1) ， 与点 18 2      ， 关于直线 1: 4 l y   对称． 由“ 4y x   的 t镜像”定义得： 1 4 OP  ． OP∴ 的长为 1 4 ． ②当点 B，C位置交换时，同理得OP的长为 12 ． OP∴ 的长为 1 4 或 1 2 ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 28. 在四边形 ABCD中， 45BAD C    ， AD BD ， 90CBD  ． 22 （1）求证：四边形 ABCD是平行四边形； （2）若点 P为线段CD上的动点 (点 P不与点D重合 )，连接 AP，过点 P作 EP AP 交直线BD于点 E． ①如图 2，当点 P为线段CD的中点时，请直接写出 PA， PE的数量关系； ②如图 3，当点 P在线段CD上时，求证： 2DP DEDA  ． 【答案】（1）证明见解析 （2）① PA PE ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到 AB CD ， AD BC∥ ，再由平行四边形的判定即可得证； （2）①连接 BD，可知 BDC 是等腰直角三角形，再证明  AASPAD PED ≌ ，利用全等三角形性质即可得到 PA PE ； ②过点 P作 PF CD 交DE 于点 F ，首先证明  ASAADP EFP ≌ ，得 AD EF ，进而再证明 DPF 是等 腰直角三角形即可得到结论． 【小问 1详解】 证明： AD BD ， 45BAD  ， 45BAD ABD    ， 90ADB  ， 90CBD   ， CBD ADB   ， AD BC ∥ ， 45C   ， 90CBD  ， 45BDC  ，BD BD ， 45BDC ABD   ， AB CD ∥ ， 四边形 ABCD是平行四边形； 【小问 2详解】 23 解：① AP PE ， 理由如下：连接 BP，如图所示： 由 （ 1 ） 知 BDC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 当 点 P 为 线 段 CD 的 中 点 时 ， 1 2 BP PD CD  ， 1 45 2 CBP DBP CBD      ， 180 135PBE PBC    ， ∥AB CD， 180 180 45 135ADC BAD       ， ADC PBE  ， 90PAD AOD PEB POE      ， AOD POE  ， PAD PEB   ， PAD  AASPED≌ ， AP PE  ； ②证明：过点 P作PF CD 交DE于点 F ，如图所示： PF CD ， EP AP ， 90DPF APE    ， DPA FPE   ， 四边形 ABCD是平行四边形， 45C DAB    ， AB CD ， 又 AD BD ， 24 45DAB DBA C CDB        ， 90ADB DBC    ， 45PFD  ， PFD PDF   ， PD PF  ， 135PDA PFE    ，  ASAADP EFP ≌ ， AD EF  ， 在Rt FDP 中， 45PDF  ，则 2DF PD ， DE DF EF  ， 2DA DP DE   ． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2024-2025学年江苏扬州市八年级下册数学 第三次月考仿真模拟卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.（2025•晋州市模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2. 下列调查适合用普查方式的是（ ） A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 全班学生最喜爱的体育运动项目 C. 长江中现有鱼的种类 D. 全市学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A．该选项如果进行普查，那么全部灯泡作废，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意； B．该选项适宜普查； C．该选项如果进行普查，所需人力、物力、时间和经费较多，难度大，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意； D．该选项如果进行普查，所需人力、物力和时间较多，所以只适宜抽样调查，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．掌握普查和抽样调查是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B． 和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．，计算错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4.（2025•霸州市模拟）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ） A．嘉嘉能，淇淇不能 B．淇淇能，嘉嘉不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【分析】根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断如下：嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形；淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形；故他俩都能判定这张纸片是矩形； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 5. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得 且． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 6. 如图，在平行四边形中，，，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求得OA和OC的长，然后根据勾股定理逆定理求得∠BAC=90°，最后用勾股定理即可求得BC的长． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴OA=AC=1，OB=BD=2 ∴AB2=3，OA2=1，OB2=4 ∴AB2+OA2=OB2 ∴∠BAC=90° ∴BC= 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的的性质、勾股定理及其逆定理的应用，运用勾股定理逆定理得到∠BAC=90°是解答本题的关键． 7. 已知下列命题，其中真命题的个数是（ ） ①若，则； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④在反比例函数中，如果函数值时，那么自变量． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根、菱形的判定、平行四边形的判定、反比例函数的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①若，则，故错误； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确； ④在反比例函数中，如果函数值时，那么自变量或；故错误； 因此有两个是正确的， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根、菱形的判定、平行四边形的判定、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8.（2024秋•长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【解答】解：设y=（k＞0），过4班点，2班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B， 设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x4，y4'），点B为（x2，y2'）， 由图象可知：y1＞y4'，y3＜y2'， 依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数． 由题意可得：k=x4y4'=x2y2'=x1y1， ∵y1＞y4'，y3＜y2'， ∴x1y1＞x4y4'=k,x3y3＜x2y2'=k, ∴x4y4＞x1y1=x3y3＞x2y2， 即：4班优秀人数＞1班优秀人数=3班优秀人数＞2班优秀人数， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，从中抽测了1500名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 【答案】1500 【解析】 【分析】根据样本的定义，即可求解． 【详解】本次调查的样本是被随机抽取的1500名学生的身高，所以样本容量是1500． 故答案为：1500． 【点睛】本题考查样本容量的概念：样本容量指的是样本中个体的数目，它只是一个数字，不带单位；熟记定义是解题关键． 10. 分式 有意义的条件是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴x﹣1≠0，即x≠1． 故答案为x≠1． 11. 若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____． 【答案】m＜2 【解析】 【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图像经过第二、四象限， ∴m﹣2＜0， 得：m＜2． 故答案为：m＜2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键． 12. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. （2025春•左权县期中）2025年农业主导品种主推技术发布，玉米品种瑞普909等，凭借其优良的生长特性，适宜在左权春播中晚熟玉米区种植，有望为当地玉米产业带来产量与质量的双提升．为了进一步验证玉米品种瑞普909种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同试验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该试验条件下发芽的概率是 .（结果精确到0.01） 【分析】根据频率估计概率求解即可． 【解答】解：估计这种粮食种子在该试验条件下发芽的概率是0.97， 故答案为：0.97． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. （2025•朝阳县校级一模）关于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 . 【解答】解：由题意可得：当42-4(m-2)×2＞0，且m-2≠0 解得：m＜4且m≠2， 故答案为：m＜4且m≠2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 15. 已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为_________． 【答案】且 【解析】 【分析】求出分式方程的解，得出，求出的范围，根据分式方程得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：， 解方程得：， 关于的方程的解是负数， ， 解得：， 又原方程有意义的条件为：， ， 解得：， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出和，注意题目中的隐含条件，不要忽略． 16. 如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质及勾股定理求得的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，记对角线的交点为O， ∵四边形是菱形，对角线，的长分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用勾股定理求出的长是解题关键． 17. 如图，已知点A在反比例函数的图像上，连接交反比例函数的图像于点B，分别过A、B两点分别作轴于点D、轴于点C，若直角梯形的面积为5，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义可判断，，继而根据直角梯形的面积，得出，继而求出的值． 【详解】解：∵点A在上，点B在上， ∴，， ∴直角梯形的面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是根据比例系数确定相应图形的面积． 18. 如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论①；②；③；④中，正确结论的是 ______ 填序号． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出和全等是解题的关键，也是本题的突破口． 根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断正确． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ，故正确； ， ， ， 在中，， ，故正确； 假设， 已证， 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故错误； ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值： ，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的整数的值代入求值． 【答案】,时，原式 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中满足题意x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 不等式组的解集为， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间分组 频数 频率 A 4 B 8 C 10 a D 21 E b 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，________，________； （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________； （3）请估算该校800名八年级学生中睡眠不足7小时的人数． 【答案】（1）；7 （2）72 （3）估计该校800名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有192人． 【解析】 【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出a、b的值； （2）根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小； （3）根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数． 【小问1详解】 解：本次调查的同学共有：（人）， ， ， 故答案为：，7； 【小问2详解】 解：扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校800名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有192人． 【点睛】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转， 画出旋转后的图形； （2）直接写出，两点的坐标为　 　， ． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点，即可； （2）利用（1）所画图形写出点，两点的坐标，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：，两点的坐标为； 故答案为：， 【点睛】本题考查了作图——旋转变换：熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 23.（2025•清城区二模）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸） （1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？ （2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？ 【分析】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣2x张，根据题意列出方程，求解、检验即可；（2）设最多生产熟宣a张，根据题意列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣2x张， 由题意得：． 解得x=500． 检验，x=500是原分式方程的解，且符合题意． ∴2x=2×500=1000． 答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张． （2）设最多生产熟宣a张．由题意得：． 解得a≤2000． ∴最多生产熟宣2000张． 答：最多生产熟宣2000张． 【点评】本题主要考查分式方程及不等式的应用，理解题意列出方程不等式是解题关键． 24.如图，已知△ABC． （1）尺规作图：分别在AB、BC、AC边上取点D、E、F，使得四边形ADEF是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AD=13，AE=24，求四边形ADEF的面积． 【分析】（1）作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线交AB于D，交AC于F，连接DE，EF，四边形ADEF即为所求；（2）根据勾股定理求出OD，然后根据菱形的性质和面积公式即可解决问题． 【解答】解：（1）D，E，F的位置如图所示； （2）由（1）知：四边形ADEF是菱形， ∴AE⊥DF，AO=AE=×24=12， ∵AD=13， ∴OD=5， ∴DF=2OD=10， ∴四边形ADEF的面积=×AE•DF=×24×10=120． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，尺规作图，掌握基本的尺规作图是本题的关键． 25. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程______，解这个方程，得______． 经检验，______是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】【回顾旧知，类比求解】，3，3；【学会转化，解决问题】（1）；（2） 【解析】 【分析】【回顾旧知，类比求解】根据题意可直接进行求解； 【学会转化，解决问题】（1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】【回顾旧知，类比求解】 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程，解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题主要考查无理方程，解题的关键是把无理方程转化为整式方程． 26. 如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）． （1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？ （2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？ 【答案】(1) 经过秒四边形是菱形；（2）经过2秒、秒 、秒时为直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形，只需，四边形是菱形，设经过x秒四边形是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解； （2）由分为①②两种情况讨论：对①，过Q作于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对②，则，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解． 【详解】解：（1）由题可知, 由于P、Q两点速度大小相同， ， 是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 设经过了x秒四边形是菱形，则有： ， 由勾股定理得： 解得： 故经过秒四边形是菱形； （2） P、A两点不重合 为直角三角形有两种情况：①当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示 ，，则有： ， 解得：， ； ②当时，， 所以，解得 ； 综上可知：经过2秒、秒 、秒时为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）根据领边相等建立一元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键． 27. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． （1）当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； （2）过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 【答案】（1）①在；② （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据函数“的镜像”定义知：反比函数图象沿着直线翻折前后部分关于直线对称，当时，反比例函数值，则点关于直线对称点为，得出点在“的镜像”；②“ 的镜像”与轴交点纵坐标是0，根据直线对称点在反比例函数图象上纵坐标应为时，“的镜像”与轴交点坐标是． （2）由过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、知：点，纵坐标，点，，故，点坐标为，点关于直线对称点坐标为，．当点，位置交换时，． 【小问1详解】 解：①由反比例函数知：当时，． 且过点作轴的垂线． 关于直线对称点坐标为． 由“的镜像”定义得：点在“的镜像”上． 故答案为：在． ② “的镜像”与轴相交点纵坐标为0． 关于直线对称点在反比例函数上点纵坐标为6． 时，． “的镜像”与轴交点坐标是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，①过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、． 点，纵坐标为． 点在反比例函数图象上． 点坐标． ． ． ． 点坐标为． 当时，反比例函数的值． 点与点关于直线对称． 由“的镜像”定义得：． 的长为． ②当点，位置交换时，同理得的长为． 的长为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 28. 在四边形中，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，，再由平行四边形的判定即可得证； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到； ②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①， 理由如下：连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②证明：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$