吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

长春市第一实验中学高一期中考试 数学试卷 考生注意: 1.满分150分,考试时间120分钟。 2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水答字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效 3.本卷命题范围:人教A版选择性必修第二册。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.函数f(x)一x*十sinx在区间[0,n]上的平均变化率为 D B一 C. C1 D A.15 /(x。十△)-/(xo) 3.已知/(x。)-6,lm -的值是 0 3△t C. A.2 B1 D.-2 4.已知函数/(x)--1十/(1)x2十1,则/(2)= B.e-8 A.e十2 C.e-7 D.e-4 A.是递减数列 B.是递增数列 C.不是单调数列 D.是常数列 6.下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象,其中一定错误的是 ##翻## B A C D 【高二期中考试·数学卷 第1页(共4页)】 5429B 7.已知2a-ln2,b-e,3c-ln3,则a,b.c的大小关系为 A.a>>c B.c>a>b C.b>a>c D.bc>a 8.奋偶归一猜想是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘3再加1,如果它是偶数,则 将它除以2,如此循环,最终都能够得到1.对任意正整数a:记按照上述规则实施第(n一1)次 运算的结果为a.(n-N),已知a一2,且a(i-1,2,3,4,5,6)均不为1,记a;的最大值为 M,a的最小值为m,则M-m一 A.122 C.123 B.124 D.96 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.下列求导正确的是 B.()-rsin+cor C.(4*-sin)'一4ln4 D.(17-010 10.已知数列a.)满足aa1.--64(nN),a+a-a+aa-0,记数列{a.)的前n项和 为S.,则下列结论正确的是 A.a-4 B.a-a C.S2-2025 A.当a-1时,x一1是/(x)的极小值点 B./(x)恒有两个单调性相同的区间 C.当/(o)有三个零点时,可取得的整数有2个 D.点(,/()为曲线y一/(c)的对称中心 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知某质点运动的位移y(单位:cm)与时间/(单位;s)之间的关系为y(/)一ln(2/十4),则该 质点在/一2s时的瞬时速度为 Cm/s. 13.已知正项等比数列a。)的前n项和为S.,且S-4,S-160,则S-__. 14.已知数列a.)满足a:-2,a,+a-2(a.--4)(a.。+4)+16,nN,在a.,a-之间插入n 个lsin1,连同(a)的项构成数列(b),则数列(6)的前200项的和为 第2页(共4页)】 【高二期中考试·数学卷 5429B 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知公差不为0的等差数列a的前3项和S一9,且a,a,a:成等比数列 (1)求数列)的通项公式 (2)设T.为数列(-1)a)的前n项和,求To. 16.(本小题满分15分) 已知函数/(x)-x-3-9x十2 (1求/(x); (2)求曲线y一/(x)在点(1,/(1))处的切线方程 (3)若直线y一x与曲线y=/(x)一2相切于点(x。,y)(x关0).求的值 17.(本小题满分15分) 已知数列a的前n项和为S,且3S十a.一4 (1)求数列a的通项公式; (2)设6一na。,且数列6的前n项和为T。,求T; 第3页(共4页)】 【高二期中考试·数学卷 5429B 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x十1)lnx-ax+2 (1)若函数f(x)是单调函数,求实数a的取值范围; 3 5 19.(本小题满分17分) 设函数/(x)一 1 (1)当a一0时,求/(x)的极值; (2)讨论/(x)的单调性; (3)若a>0,证明/(x)只有一个零点 第4页(共4页)】 【高二期中考试·数学卷 5429B■ ■ 长春市第二实验中学高二期中考试 请在答塑用的溶题区域内作答，短出矩形边框限定区威的答案无效 请在各题耳的著题区城内作著，翅出矩形边想刚定区域的答案无效 数学 答题卡 15.(本木题调分13分) 16.本小清分5分) 蛙名 4210911091010g0g 班级 4441 441414 414 考场 11 座位号 生行面金发单海色法能的育料每海单海有通得带有到 中合消是状料角鱼银同月，持七月角年度龙微发 意上海时烟中量洗华加自笔领：年通利单血出诗指计车 贴条形科区 暖 1平中面期十角通出线特每每组内为国，鲜4为料 试城电所明切可事事鲜城中址编材理准生时理年单 4型酵的缺：语相组5年量 填涂神例主绳纳：■ 缺考解园：口 结释是请用2B铅第填缘】 1【gu】cJ01 hCA1【e1s1[P】 1tt41G2[时0o T CH]CCI TD) K CAJ EN3 EEI ID] 4 [Ie][ol 9tath】【e】【b 非选择量（请使用0.6童米园色墨水答学笔书写引 12(5分) 15(5分) 14(5分) 请在各量日的蓄覆区域内作蓄，超出矩形边框限定区城需无效刘 请在各量用的答暖区城内作答。超出炬彩边把限定区域的答案无效 璃在各题明的答菌区城内作著，显出矩形边刚定区慢的答案无效 离二席中有以勉学第1（秀2线引 545291 请在春赠目的答避区国内作答。烟出炬形边框啊定区墙的著案无效 请在答厘用的溶避区域内作答，短出矩形边框限定区威的答案无嫩 请在各题耳的著题区城内作著，翅出矩形边想刚定区域的答案无效 1T(本小圈岗分15分1 1(本小圈词分1？分 4本小题满分12分》 请在各题月均落烟区域内作答。相出炬形边框顺定区域的答案无效 请在各量用的答暖区城内作著。超出炬彩边把限定区域的答案无效 璃在各题明的答菌区城内作著，显出矩形边刚定区慢的答案无效 离二席中有以题学第2（秀2货引 54529 ■长春市第二实验中学高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 6 8 答案 C B A D B C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ABD BCD 1.C 由平均变化率定义得m)二f0)-工=，故选C π一0 2B由题意得a十a=2aa,=2a,-a空，放选B &.A根据导数值的定义，m+=吉四4+△2f）-=了a)=2.故选A 3△x 3 △x 4.D函数f(.x)=e1+f(1)x2+1,则f(.x)=e1+2xf(1),令x=1,得(1)=1+2f(1).解得f(1) -1,所以f(x)=e-1-2.x,所以(2)=e-4.故选D. 31十33m 6 5.B因为a1一a,=n十64n十2(4n十64n十2>0，所以{a.}是递增数列.故选B 6.C根据函数增，导数为正：函数减，导数为负，故在同一个区间内，增函数与其导函数的函数值不可能同为 负，减函数与其导函数的函数值不可能同为正，在C选项中，两种情况都出现了，故C错误，故选C .Da=2-,6-巴c-3设)-，则fx)=1h,>e时，广)<0，x是减函数， 2 又c<3<4,所以e>f3)>f4.即>3，故选D 3 3am十1，aw=2k-1,k∈N", 8.C由数列{an}满足a+1= 分aa.=2k,k∈N,a=2,且a(i=1,23,45.6)均不为1，得a6=4,a 1 =8,即有{am}的前7项为128,64,32,16,8,4,2：或21,64,32,16,8,4,2：或20,10,5,16,8,4,2：或3,10,5， 16,8,4,2.综上，a1的最大值为M=128,a3的最小值为m=5,.M-m=123,故选C 由求导公式，(rG+e)y=()y=是=是反，A错误：(y=二一o上- .x2 -去兰，B正确：，（华-s血子y=()y=a4,C正确：(g/=0D错误放选C 10.ABD因为a1十4g=a:十a3=0,所以a1=ag=一a2,因为a1a2ag=一64，即（一a2)a:(一a2)=-64,所以 a:=一4.a1=a3=4,故A正确： 因为at2a+1a,=一64(n∈N),所以aaa+1=一64，所以da=1,即a3=an,故B正确； dn十2dn+1n 由a+s=am可知，数列{am》的周期为3，又a1十a:十aa=4,所以S25=675×(a1十a2十aa)=2700,故C 错误： S=n(a十a,十a)=4n,所以S=4,故D正确.故选ABD 1.cD当a=1时f)=-3++2.令f0=0,解得n=1=-号 当xe(-,-号U1,+∞)时，f了x)<0:当xe(-号，1D时，fx)>0: 所以f()在（一，一号）和(1，十∞)上单调递减，在（一号，1D上单调递增， 所以x=1是(x)的极大值点，A错误： 【高二期中考试·数学卷参考答案第1页（共4页）】 5429B f(x)=-3a.x2+a.x十2a,则△=a2一4×(-3a)×2a=25a2>0,所以(.x)=0恒有两个根，结合二次函数 的图象可知，八x)恒有两个单调性相同的区间，B正确： 由上得了()=-3ar2+ax+2a=-a3x+2)(x-1D.当。>0时，f)在(-，-号)和1，十o∞)上单调 递减，在（一号1上单调递增， 22 274十b0, 要使f(x)有三个零点，则 r=+6>0， 解得<<器即一<台<器 当a<0时，f(x)在（一o∞，一 )和1，十)止单调递增，在（一号，上单调递减。 -=器 7a+>0 要使f(x)有三个零点，则 f)-号+0， 解得号<K-即-<名←<器 综上可知/)有三个零点时，合可取得的整数为-1,0，C正确： 设gr)=f(x)=-3ar+ar+2a,则g'(r)=-6ar+a,令g()=0,得x=言， 因为g()=一6ax十a的零点为曲线f(x)的对称中心的横坐标，所以点（合，合）》为曲线y=x)的对 称中心，D正确，故选BCD 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 因为)=血(2+D.所以D一产2所以该质点在1=2么时的瞬时速度为(2)=子(am. 13.52因为{n}为正项等比数列，所以S4,S一S,S4一S,…也成等比数列，则(S4一4)2=4(52一S),解 得5=16或54=-12（舍去），则。3=一→16二4-0，解得5=52 S Sy-5 4 14.813依题意a2+1十a=2(a-1一4)(am十4)+16，n∈N,即a+1十a=2a+1am十8a+1一8aw一16，整理得 (a-1一aw一4)”=0，所以am+1-a,一4=0，即a+1一a。=4,所以a。=a1十4(n一1)=4n-2.记am连同后面 插入的n个sin受1为1组，则第n组有n十1个数，2+3+…十(m+1)=+3》,当m=18时18×21 2 2 189<200.当=19时19X22=209>200,所以数列{6，}的前200项的和为前18组所有数的和加上第19组 2 前11个数的和，数列6.)前20项中1a,}的项有19项，这19项的和为2×19=72，记=nsm受，当n 为奇数时6。=，当n为偶数时c,=0,则插人的所有项的和为0十g十…十G十10×sm1号=1十3+5十 …+17+10=91,所以数列{b,}的前200项的和为722+91=813. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。 15.解：(1)设等差数列{aw}的公差为d(d≠0)， 由题意知a十十a二9·整理科{☑，a十0。 lai=aias. …4分 解得d=2或0（舍去），故a1=1,所以an=1十21-2=21-1.…7分 (2)设b.=(-1)”·(21-1), 所以Tm=(-1十3)十(-5十7)十…十(-197+199)=2×50=100.…13分 16.解：(1)f（x）=x2-3x2-9.x十2，f(x）=3x2-6x—9.…3分 (2)由(1)可得f(1)=-9, 了(1)=一12，切点坐标为(1.一9)，因此.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y十9=一12(x一1)， 即y=-12.x十3.… …7分 (3)直线y=kr过原点，则=边(x≠0)， 由点(.mh)在曲线上，得为=后-3号-9兰=-3.一9。…9分 又y=3.x-6.x-9,所以k=3x一6.%-9.…10分 又k=业，3.后-6.w-9=业=6-3x。一9，整理得2-3x=0,…13分 Co 【高二期中考试·数学卷参考答案第2页（共4页）】 5429B “0m=号则k=一想 .……15分 17.解：(1)因为3S。十aw=4①， 当n=1时可得3a1十a1=4,即a1=1≠0： …1分 当n⊙2时，3S。-1十ag-1=4②.… …2分 由①-②得4a,-a1=0(n>2),即。2=青(n≥2)， …3分 an-1 即{a,是以1为首项，为公比的等比数列， …4分 所以a.=1x()=(）. …5分 2)因为A=a,=n(什)》厂， 所以工=1×()°+2×(4)广+3×(4)》++×(4) ，…7分 }工.=1X(）广'+2X()厂+…+(m-1Dx(}）+nX(）”…8分 两式相减得子工。=（仔）广°+（仔）广+（仔）广+…+（仔）厂-nX(仔广.…9分 1-1 -( 则子T.=子-(+专)()广， 故T=9专(+号)号月 (3)由(2知T,<9+a 所以有5-青(+号)()广<5+a(什)厂，即≥-号-音 …13分 依题意，VEN不等式≥-号一号恒成立， 因为)=一号-号随着和增大面减小，所以X心-子， 即入的取值范围为[-子十©) …15分 18.(1)解：由题意，f(x)=nx++1-a=hx++1-ax>0, …1分 设g(x)=lnx++1-ag(x)=↓-= …2分 所以g'(x)>0=x>1,g'(.x)<0=0<x<1, 故(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增，… …4分 从而广(x)m=∫广(1)=2一a,所以了(x)的值域为[2一a.十o∞)，…5分 因为f(x)是单调函数，所以2一a0,解得a≤2， 故实数a的取值范围是（一○，2们.……7分 (2)证明：由(1)可得当a=2时，f(x)=(x十1)nx-2.x十2在(0，十o∞)上单调递增，…8分 所以当>1时，f(x)>f(1),即(x+1)nx-2x+2>0,所以1n>2红2 x+1 …10分 取-1+(k∈N)可得：ln(1+) 2(1+）-2 1++1 2k+1' 依次取k=1,2,…,n得： 【高二期中考试·数学卷参考答案第3页（共4页）】 5429B 以上各式相加得： 吉+片片+<h+n+n+叶h出=n(导x×x…x出) 3T5T7 号h(计1…17分 19.解：(1)当a=0时，f(x)=一e十x,则f(x)=-e十1， …1分 x0时，f(x)>0:x>0时，(x)<0.…2分 x<0时，f(x)为增函数：x>0时，f(x)为减函数。…3分 ,f(0)=一1，.当a=0时，f(x)的极大值为一1，没有极小值.……4分 (②rfx)=7ae产-a+1De+a .f(.x)=a(a十1)e2+1=(a-1)(c-1).…5分 ①当a≤0时，x∈(-o∞，0)时有f(x)>0,x∈(0，+o∞)时有f(x)<0, 故a≤0时，f八x)在（一o∞，0）上为增函数，f(x)在(0，十o∞)上为减函数；…6分 ②当a=1时，f(x)=(e一1)≥0，则f(x)在R上为增函数：… …7分 ③当0<a<1时，在区间(-o,0)及(-lna,+∞)上有f(x)>0,在区间(0，一lna)上有f(x)<0, 故当0<a<1时，f(x)在（一o∞，0）及(-na,十c∞)上为增函数，在(0，一na)上为减函数：…8分 ①当a>1时，在区间(-o,一na)及(0，十oo)上有f(x)>0,在区间(-lna,0)上有f(x)<0, 故当a>1时，f(x)在（一∞，一lna)及(0，十o∞）上为增函数，在（一lna,0)上为减函数.…9分 (3)由(2)可知： ①当a=1时，Kx)在R上为增函数，且0)=-号2)=2e-2e+2>0, 故当a=1时，f(x)在R上只有一个零点；…10分 ②当0<a<1时，f(x)在（一o∞，0）及（一lna,十∞）上为增函数，在(0，一lna)上为减函数， 故f(x)的极大值为f(o)=- 2a1<0. 且2)=aef-(a+1c话+是=（哈ae-a-1D+ 4 …1门分 令ga)=2ae-a-1a∈0,1小， 则ga)=e+号(-是)-1=d(合》-1<0ae0,1. g(公)在(0,1]上为减函数.…12分 “g1)=2e-2>0∴ae(0,10时，ga)>0.即7ae2-a-1>0. f2)=i(2ae-a-1)+2>0, a 故当0公<1时，f(x)只有一个零点。…13分 ③当a>1时，f(x)在（一o∞，一lna)及(0，十o∞）上为增函数，在(-lna,0)上为减函数， 做f.x)的极大值为f代-lha)=二（十na十1)<0，…14分 且fa+1)=受e2-a+1)e1+a+1)=e1(受e1-a-1)+(a+1). 令ha)=号e1-a-1,a∈1，+o∞)，且h1)=2e-2>0, 则(a)=c1-1>0,则(a)在1，十0)上为增函数，…15分 2 故a∈1，+oo)时有h(a)>h)>0,即fa+1)=e1(受e1-a-D+(a+D>0, 故当a>1时，f(x)只有一个零点。…16分 综上所述，当a>0时，f(x)只有一个零点. …17分 【高二期中考试·数学卷参考答案第4页（共4页）】 5429B