精品解析：福建省部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

高一4月期中考试数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 4. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（且），且（其中，，），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. z的虚部为1 D. z在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称， C. 的对称轴为直线， D. 方程在内恰有4个互不相等的实根，则 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为__________． 13. 已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为________. 14. 在中，为边上的中线，且，则角的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知是定义在R上的偶函数，当时，. （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 16. 如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． （1）若，求的值； （2）若，当A，F，C三点共线时，求的值． 17. 某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，． （1）求四边形的面积； （2）求游览区的主要道路的总长度的最大值． 18. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一4月期中考试数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D 4. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直观图得到平面图，再计算出相关线段的长，从而求出周长与面积，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，故， 则平面图形的面积为：，周长为：， 故原平面图形的周长的平方与面积的比值. 故选：C 5. 已知函数（且），且（其中，，），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助对数函数的单调性、换底公式化简计算即得. 【详解】函数，由，且，得， 则，即，所以. 故选：D 6. 已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据时，一定有一个零点，故只需在时有一个零点即可，列出不等式求解即可. 【详解】当时，有1个零点， 则当时，只有一个零点， 即方程在时有一个解，即方程在时有一个解， 因为函数为增函数，且当时，，则，即. 故选：A. 7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可. 【详解】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 8. 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据外心的性质，得到，，再根据和，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. z的虚部为1 D. z在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和基本概念即可逐项判断． 【详解】依题意， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，z的虚部为1，C正确； 对于D，z在复平面内对应的点位于第一象限，D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称， C. 的对称轴为直线， D. 方程在内恰有4个互不相等的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象得出，再由即可求解出，判断A；由，整体代入法即可求解对称中心和对称轴，判断BC；根据正弦型函数的图象即可判断D． 【详解】由图象可得，由得， 因为，所以，即，故， 又因为，所以，A错误； 由题意得， 由得，故关于点对称，B正确； 由得，故的对称轴为直线，C正确； 作出函数在上的图象，问题转化为函数的图象与直线在内有4个不同的交点， 由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根时，，D正确. 故选：BCD． 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质判断A，利用正弦定理得到，再由二倍角公式判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，首先证明，同理可得，，再利用作差法及两角差的正弦公式计算，即可判断D. 【详解】对于A：若， 则可得或或，即或或，故A错误； 对于B：若，则由正弦定理可得，则， 所以，即，故B正确； 对于C：若，由余弦定理可得， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，即，所以是直角三角形，故C正确； 对于D：因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，同理可得，， 所以， 则 ， 即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面直径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设母线为，则，即可求出，再由表面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面直径为，即底面半径，设母线为，则，则， 所以该圆锥的表面积. 故答案为： 13. 已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用复数乘法及除法运算，再结合复数类型计算求参即可. 【详解】依题意可知为纯虚数，故，解得，所以虚部为. 故答案为：. 14. 在中，为边上的中线，且，则角的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据数量积的运算律及定义得到，即，再由余弦定理求出的范围，即可得解. 【详解】设，则，， 所以 ， 所以，则， 由余弦定理， 当且仅当时取等号， 又，所以，即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知是定义在R上的偶函数，当时，. （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【小问1详解】 由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； 【小问2详解】 作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 16. 如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点． （1）若，求的值； （2）若，当A，F，C三点共线时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底，表示，再由向量数量积的运算律即可求解； （2）由三点共线的向量表示，列出等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，，又， 所以，所以， 所以， ， ； 【小问2详解】 ，当A，F，C三点共线时， 由（1）， 所以， ，， 因为当A，F，C三点共线， 所以 即， 因为不共线， 所以，解得： 17. 某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，． （1）求四边形的面积； （2）求游览区的主要道路的总长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可得到，最后由面积公式计算可得； （2）设，中用正弦定理得，进而应用辅助角公式、正弦型函数的性质求最大值，即可得解. 【小问1详解】 如图，连接， 在中，由余弦定理得 ，则， ∵，则，又， ∴， 在中，，， 由正弦定理可得， ∴，又，则， 所以，所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 设，由，得， 在中，由正弦定理， 又， ∴ ∴ ， 又， ∴， 当，即时，取得最大值， 又， 则， 所以游览区的主要道路的总长度的最大值为. 18. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理计算可得； （2）由正弦定理可得，进而得到的大小，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而根据的范围计算可得； （3）由题意得出，，然后化简，从而利用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由正弦定理，所以，， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理， 即， 又因为为锐角三角形，所以，又，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，即，所以， 所以， 即的取值范围为. 【小问3详解】 因为，，， 所以， 由余弦定理， 所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以，即, 又因为为锐角三角形，所以， 两边同时除以，得， 因为且为锐角三角形， 所以，所以， 所以， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $