精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025届高三下学期5月模拟数学试题

2025届高三安徽临泉田家炳中学5月数学试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：C 2. 已知，则（    ） A. B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后根据复数的乘法运算法则求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 3. 已知，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用三角函数的两角和公式将所求式子展开，然后通过已知条件找到与展开式相关的联系，再进行计算. 【详解】 那么 展开得： 所以. 已知，根据两角和的正弦公式， . 已知，根据两角差的余弦公式， . 将与代入可得： . 故选：A. 4. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 【答案】B 【解析】 【分析】由给定的平均数求出，再由第60百分位数的定义求解即可. 【详解】由数据的平均数为16，得，解得， 由，得数据的第60百分位数为. 故选：B 5. 已知圆O：上一点关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若分别交x轴于点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标，写出坐标，写出直线方程，求得坐标，然后得到的值. 【详解】，设，则 则，， 则，， 故. 故选：B. 6. 中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可. 【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为， 则， 所以， 所以， 所以圆台的高为 故选： 7. 已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数，利用函数关于点对称，在区间内有且只有两条对称轴，可求得，利用整体法可求得单增区间与单减区间判断即可. 【详解】， 因为函数的图象关于点对称， 所以，所以， 又，所以， 因为函数在区间内有且只有两条对称轴， 所以， 所以，所以， 所以， 由，可得， 所以在区间上单调递增，故A错误，B正确 由，可得，故C，D错误. 故选：B. 8. 已知数列满足：，，则下列结果为负数的是：（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，设，则得，，则可得是以为首项，公比为的等比数列，求得，同理求得，然后求出相关的项，逐个选项判断即可. 【详解】设，则， 同理：， 对于：，， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 解得：，同理：， 则，， ，， ，， ，， 所以B正确. 故选：B 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分. 9. 双曲线与有相同的（ ）. A. 实轴长 B. 焦距 C. 离心率 D. 渐近线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两个双曲线方程分别求出再分别判断选项. 【详解】由双曲线可知,所以实轴长为 焦距为,离心率为,渐近线为 再由另一个双曲线可知，， 所以实轴长为焦距为，离心率为， 渐近线为所以A,B,C选项正确，D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变 （附： ， ，） 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据条件概率和相互独立事件的概率公式，可判定B正确；根据回归直线方程的性质，可判定C错误；根据决定系数的公式，根据数据的变换前后分别相等，可判定D正确. 【详解】A，把数据从小到大排序，可得，共8个数据， 其中，所以数据的上四分位数为，所以A错误； B，因为，且，所以， 由条件概率的公式，可得， 所以，所以相互独立，所以B正确； C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，所以C错误， D，由，将变成，则新均值为，新回归方程为， 因此新预测值，从而残差和总偏差与变换前分别相等，所以决定系数，所以D正确. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，是函数图象的对称轴 D. 当时，函数在上有零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用周期函数的定义判断A；利用二倍角的余弦，结合含余弦的二次型函数值域判断B；利用对称的定义判断C；求出导数，利用零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，依题意，，由， ，得， 因此函数是周期函数，A正确； 对于B，，而， 则当时，，当时，，B正确； 对于C，，当时， ，则函数图象关于点成中心对称，关于不对称，C错误； 对于D，，， ，又函数在R上的图象连续不断，因此函数在上有零点，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. 已知函数恒过定点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 13. 已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为________．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】分析可得，分析可知，曲线为双曲线，利用双曲线离心率公式可求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】因为是第三象限角，则， 曲线的方程可化为，曲线为双曲线，且，， 所以，双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式，再利用构造法求出通项公式，按的奇偶分类求解得最大值. 【详解】依题意，，记用户第关抽到奖品为事件，当时，， ，，， 于是，则， 而，因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，数列是递减数列，， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式构建数列的递推关系，再利用构造法求出通项公式是求解的关键. 四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求A. （2）若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P， （Ⅰ）求AM； （Ⅱ）求. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，由辅助角公式和特殊角的三角函数值得到； （2）（Ⅰ）两边平方得，开方求出答案； （Ⅱ）与的夹角等于，其中，， 计算出，，结合（Ⅰ）中，利用夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， ∵， ∴， ∵，∴， ∴， 又，故， ∴，解得； 【小问2详解】 （Ⅰ）∵M是BC的中点， ∴，两边平方得 ， ∴； （Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点， ，. 所以与的夹角等于， ∴. ∵ ， ， 又（Ⅰ）中， 所以. 16. 已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 （1）求C的标准方程; （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）设与直线PM平行的直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用时，求得切线方程，进而求得椭圆上的点到直线PM的距离的最大值，进而求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题，故， 把代入椭圆方程中得到， 解得：，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题，直线PM的方程为， 设与直线PM平行的直线m的方程为， 当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大， 把代入椭圆方程中得：， 当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有，即， 所以，即， 当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值， 此时， 所以面积最大值为 17. 如图，在斜棱柱中，底面为菱形，，． （1）证明：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）过点作平面，垂足为，连接，如下图： 因为，，，所以，则， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，则， 可得点在线段的中垂线上，即，所以共面， 易知，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质，可得答案； （2）根据面面垂直的判定与性质，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，记，连接，如下图： 在中，由，且，则， 由（1）可知平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 在中，，，则， 易知，则，所以底面为正方形， 由，则. 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减 （2） 当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性； （2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案. 【小问1详解】 由，则函数，易知其定义域为， 由，则函数为偶函数， 当时，，显然当时，函数在上单调递增， 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减. 【小问2详解】 由时，则函数，可得，解得或， 所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数， 当时，则函数， 当时，函数在上单调递增，此时无极值； 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为， 由函数为偶函数，则函数的极大值为， 综上，当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 19. 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列. （1）已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及 （2）已知数列满足，对，且，恒成立. ⅰ求证：数列为二阶等差数列; ⅱ令，求证：数列的前n项和 【答案】（1）， （2） 取，可得， 又，所以， 所以， 即， 所以为常数， 所以数列为二阶等差数列. 由知， 当时，， ， ， ， 相加得， 整理得， 所以，， 在等式中，取，，得，解得， 所以， 所以， 令， ， 相减得， 所以， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据k阶等差数列的定义逐个项计算可得即可判断； （2）取，化简可得即可判断； 利用累加法可得，再在等式中，取，，可得，再放缩可得，根据错位相减法证明即可. 【小问1详解】 由题意知，，， ， ，， ，， 由k阶等差数列的定义可知，， 由可得 【小问2详解】 略. 【点睛】方法点睛： （1）新定义题型注意根据定义逐步计算各项，进而得出答案； （2）证明数列不等式时，观察通项的形式确定放缩后的求和方法，进而确定放缩所需的通项结构. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三安徽临泉田家炳中学5月数学试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共小题，每小题分，共计分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（    ） A. B. 3 C. 5 D. 6 3. 已知，，则（ ）. A. B. C. D. 4. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 5. 已知圆O：上一点关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若分别交x轴于点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递减 8. 已知数列满足：，，则下列结果为负数的是：（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共计分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分. 9. 双曲线与有相同的（ ）. A. 实轴长 B. 焦距 C. 离心率 D. 渐近线 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变 （附： ， ，） 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，是函数图象的对称轴 D. 当时，函数在上有零点 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. 已知函数恒过定点，则__________. 13. 已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为________．（用区间表示） 14. 在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共小题，共计分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求A. （2）若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P， （Ⅰ）求AM； （Ⅱ）求. 16. 已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 （1）求C的标准方程; （2）求面积的最大值. 17. 如图，在斜棱柱中，底面为菱形，，． （1）证明：； （2）若，求的长度． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 19. 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列. （1）已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及 （2）已知数列满足，对，且，恒成立. ⅰ求证：数列为二阶等差数列; ⅱ令，求证：数列的前n项和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $