精品解析：广东省江门市新会华侨中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

新会华侨中学24-25学年第二学期高一级期中数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，点 为 上的点，且满足 ，记 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，，，则有两解 10. 如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ） A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 对任意，不成立 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则______． 13. 若，则______. 14. 已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及的面积； 16. 已知函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，，求的值． 17. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. （1）求角； （2）若，D为中点，，求b； （3）若，求的取值范围. 19. 已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量； （3）受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新会华侨中学24-25学年第二学期高一级期中数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以对应的点的坐标是，位于第一象限. 故选：A. 2. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规则推导即可. 【详解】由题意，所以将的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到的图象. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用两角和的正切公式求得，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵，解得， ∴. 故选：A． 4. 在 中，点 为 上的点，且满足 ，记 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的加减运算求解即可. 【详解】因为，所以M为BC的四等分点且靠近点C， 所以， 故选：A. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由计算可得. 【详解】因为，， 所以，又， 所以，解得. 故选：B 6. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 7. 已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底不共线原则判断即可. 【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】   以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，，，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边以及正弦定理边化角判断A；将条件转化为角的直接关系判断B；利用余弦定理来计算判断C；利用正弦定理来计算判断D. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A正确； 对于B，若，则或，即或， △ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由余弦定理得，则为钝角，为钝角三角形，C正确； 对于D，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此△ABC有两解，D正确. 故选：ACD. 10. 如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ） A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，根据题意，求出的值，即可判断选项D的正误，对于A，令，即可求解；对于B和C，将的取值代入解析式，即可求解. 【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为 ， 由题意得：，解得：， 所以，故选项D正确， 对于选项A，令，得到，所以， 令，得到，所以选项A正确， 对于选项B，令，代入， 得到，所以选项B错误， 对于选项C，令，代入， 得到，所以选项C正确， 故选：ACD. 11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 对任意，不成立 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，再设点E的坐标分别计算向量判断A，根据数量积判断C，应用夹角公式判断B，结合基本不等式计算判断D. 【详解】 以分别为轴建立直角坐标系，则，设 又因为，则，所以，所以， 对于A：当时，，，A选项正确； 对于B:当时，，所以，所以，B选项错误； 对于C：当时，，所以，C选项错误； 对于D：， 所以，所以，， 所以，对称轴为时单调递增， 所以，D选项正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解. 【详解】由题意，复数是关于的实系数方程的一个根，则其共轭复数是关于的实系数方程的另一个根， 所以，. 故答案为：2. 13. 若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简题干中式子，再利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可. 【详解】 ，即， 则. 故答案为：. 14. 已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标_______________. 【答案】 【解析】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及的面积； 【答案】（1） （2）3； 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果； （2）利用余弦定理可得，结合面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 且，则， 可得，则， 又因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积． 16. 已知函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型周期函数可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间； （2）由已知条件得出，结合同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值. 【小问1详解】 因为， 所以，函数的最小正周期为. 由解得， 所以，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知， 又因为，则， 因为，则， 因为，则． 所以， . 17. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【小问1详解】 因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 18. 已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. （1）求角； （2）若，D为中点，，求b； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解； （2）由已知可得，两边完全平方即可求解； （3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 19. 已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量； （3）受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】（1） （2）m3 （3）推迟2小时 【解析】 【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求； （2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可； （3）设乙车间比甲车间推迟小时投产，再构造时刻的污水排放量，化简解不等式即可. 【小问1详解】 由图可得，， ，， 将代入，得， 又，， ， 所求函数的解析式为； 【小问2详解】 两车间同时投产时刻的污水排放量为甲、乙两车间污水排放量之和， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故时刻的污水排放量 ， ，. 故两车间同时投产时的最大污水排放量为m3； 【小问3详解】 设乙车间比甲车间推迟小时投产，因其周期为，故， 故时刻的污水排放量， ， ， ，即， 则，， 由，故，结合余弦函数图象得，得， 故为满足环保要求，乙车间至少需比甲车间推迟2小时投产. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $