江西省萍乡市2025届高三第三次模拟考试数学试题

绝密★启用前 工从10双不同品牌的筷子中任取两根，若其中根为品德A的筷子，则另一根筷子也属于品牌A 2025年普通高等学校招生萍乡市第三次模拟考试 的概率为 高三数学试卷 c 试卷共4页，19小通，满分150分。考试用时120分钟 8.已知定义在R上的函数代x)满足对于任意实数x,y均有f代y)=x),且22)=f1)6,则2025)= 注意事项： A,675 B.1350 C.2025 D.4050 1,答基斯，考生务必将自己的蛙名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 二、选择题：本颗共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 2,回答远择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答随卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 动，用禄戍擦干净后，再选涂其他答策标号。阿答非选择题时，将签震写在答题卡上。写在本试春 9.已知双曲线E:x-y2=2025,A,B,C,D为E上四个动点，则四边形ABCD的形状可能为 上无救。 A菱形 B.等腰梯形 G.正方形 D.矩形 10.已知正方体ABCD-A,BC,D,中，动点M,N分别在棱DD:,BB(不含端点)上，则 3,考生必须保持答题卡的整洁：考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(3i-2)的娘部为 A.-3 B.-3i C.-2 D.-2i 2.已知向量a=(2,-1),b=(3,A),若a1b,则b= A.AC⊥MW A.35 B.33 C.3 0.6 B.若M,N分别为所在棱的中点，则平面MN将正方体ABCD-A,B,C,D,的体积平分 3.记S.为等差数列a的前n项和，若a,的公差为d,S,=7S1,则w= C.不存在点M,使得点A与点C到平面AMB,的距离相等 A.7d B.8d D.当M由D,向D运动时，平面AMB,与正方体ABCD-AB,C,D1形成的截面面积逐渐增大 C.9d D.10d 11.已知函数f代x)=in+sin2x,则 4已知集合A=xx(x+m)≤0，B={x(3x+1)(x-m+1)=01,C=A门B,若集合C有3个真子集， A.f(x)在区间[0,2π]上有5个零点 B.八x)在区间〔0,2m]上有4个极值点 则实数m的值可能为 Cf代)在区间[0,2m]上有1条对称轴 Df(x)在区闻[0,2π]上有3个对称中心 A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 B时 12已知新.1 5.记a,b为实数，设甲：b>a>0:乙：a-cogb<b-co8a,则甲是乙的 产3.则+1n= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 13.已知(2+x)“=a+∑a,(1+x)',且a,>a1,则n的最小值为 C.充爱条件 D.,既不充分也不必要条件 6圆C,:(x-1)户+(y1)2=2与圆C2:x2-2nx+y+2(a-2)y=4a-4(a<0)的公切线条数为 4已知椭圆C,+子-1(@>6>0的左右焦点分别为r,R,点M在C上，记△M乃的外心为本 A.4 B.3 C.2 D.1 内切圆半径为，若AE=2r,且∠F,MF=60°，则C的离心率为 萍多·高三致学第1面（共4页） 萍乡·高三款学第2蜀（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18(17分)已知四棱锥S-ABCD中，二面角S-AD-B为直二面角，AD=年CD=2SD=4BC=4,∠BC)= 15.(13分)已知函数八)=e'(x2-3). 〔1)求曲线y=f尺x)在x=0处的切线方程： ∠ADC=∠ASD=90°，M为棱DA上一点 〔2)求(x)在区间[-2,2]上的值域 (1)证明：S41SC: (2)若M为DA中点，求二面角B-SC-M的正弦值： （3)若8别/件面S0D,点v在平面SB上，若直线N与平面80D所成角为后求MW的最小值 16,(15分)某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度 函数峰值为，，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的薇 152r 率为，获得2分的概率为品，衣得3分的藏率为行每次消背获取积分致立 (1)求P(55<X<70): (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z,求Z的分布列与期望 附：正态密度面数=】。罗，其中4为均值，a为标准差P以-口<+o)=0627, 19(17分)记抛物线E:x=4y的焦点为F,过原点O作斜率为1的直线1,1与E另交于一点P,取 r2元 FP的中点为M:,记直线OM,的斜率为k;以此类推，当n≥2时，直线OM,与E另交于一点 P(4-2g<X4+2r)=0.9545,P(H-30<X<4+3g)=0.9973. P.,取下P,的中点为M,记直线OM的斜率为 (1)求点P2的坐标 (2)证明：数列k1一是单弱速诚数列： (3)记△op,P的面积为3：证明：6n<2<B,(-13. (15分)已知△8c中，em4+2am=1.且4受 (1)若BC=2,求△ABC的外接圆面积： (2)若BD=4CD,∠DAB=90,△4BD的面积为25，求△4BG的周长 辣乡·高三数学第3页（共4瓦） 草乡·高三数学第4页（共4页）2025年普通高等学校招生萍乡市第三次模拟考试 高三数学参考答案 L.【答案】C 【解析】i(3i-2)=-3-2i,故所求虚部为-2.故选C. 2.【答案】A 【解析】依题意，a·b=6-A=0.解得A=6,故b=√3+6=35.故选A, 3.【答案】C 【解析】由S。=7S,→4a,+6d=7a1→a,=2d.所以a,=d(n+1).枚aw=9d.故选C. 4.【答案】C 【解析1依题意，B=了m-11,C有3个真子集，所以C中有2个元素，则BC4,则 解得 (m-1)(2m-1)≤0 之sm≤1故选C 5.【答案】A 【解析】令函数f八x)=x+%x,求导得f"(x)=1-sinx≥0，故f八x)在R上单调递增，由b>a>0,得f(6)>a).即 a-cosb<b-cosa,即充分性成立；由a-cosb<-cosa,得a+cosa<b+cosb,即fa)<fb),可得b>a,故必要性不成 立，综上可知，甲是乙的充分不必要条件故选A 6.【答案】B 【解析】依题意，圆C2的方程等价于(x-a)子+(y+a-2)2=2a2.所以圆C:是以(a,2-a)为圆心、-2a为半径的 圆.注意到C,是以(1,1)为圆心2为半径的圆.所以C,C,的圆心距为√(a-1+(a-1了=2(1-a),也即圆 心距为两半径之和，因此两圆相外切，两相外切的圆有3条公切线.故选B. 7.【答案】A 【俪折设事作”为从所有抗子中任取两银购为品牌4，则(W)高两设事件N为任取的两根族子中 C,190所求概率即为P氏MIN=P(MW.P(M0.1 CCis+1 37 有品牌A”,则P(N)= P(N)PN7故选A 8.【答案】D 【解析】用x替换y,y特换x可得)=x)=),当x40,y≠0时.)》，故可知八是常函数，于是 知当x≠0时代x)=,其中e为常数，故4e=c+6,解得c=2,于是八2025)=2×2025=4050.故选D. 9.【答案】BD(每选对1个得3分) 【解析】不妨令AB/CD,AB⊥x轴，当AB≠CD时，四边形ABCD为等腰梯形，当AB=|CD时，四边形ABCD 为矩形，故B,D正确：因为E:x2-y2=2025为等轴双曲线，所以E两条渐近线之间的夹角为90°，故四边形ABCD 的对角线必不可能相互垂直，故A,C缙误.故选BD, 10.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】当M,N运动时.A,C,MN不一定垂直，故A错误：若M,N分别为所在线段的中点，则AMC,N,故平面 AMC,N平分正方体ABCD-A,B,C,D,故B正确：因为点A,和点B到平面AMB,的距离相等，若点A,和点C到 平面AMB,的距离相等，必有BC∥平面AMB,又BCAD,可得AD∥平面AMB,这与AD门平面AMB,=A矛盾， 故C正确：如图，在C,D,上取一点F,使得MF∥CD,连接B,F,设DA=L,D,M=a(0<a<I),由MF∥C,D∥AB, 弹乡·高三数学第1页（共6页） 可得平面AB,FM为过点A,B,M的截而，在梯形AB,FM中，AB,=√2，MF=,2a,AM=√+(1-a)= V-2a+2,BF=后-2a+2,梯形AB,FW的高为、2-2+2-，2四=√-4+弓，梯形B,FM的面积 /1231 为(2n2a)-a*号-a*1ra-2a*3.令a)=(a+1(d2-2n+3).0ca<1,则r(a) 2(a+1)(a2-2a+3)+(a+1)(2a-2)=4(a+1)(a-a+1)>0,则fa)单周递增.则D正确.枚选BCD. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析1令=血1+2)=0，所以血=0或o=又e0,2a].所以=0，a,怎2，即 八x)在区间[0,2行]上有5个零点，故A正确：f(x)=conx+2cos2x=4em2x+cosx-2.令(x)=0,解得csx= 眉-发一又-1k,1,所以m在间0,21上有2个解m 8 8 8 8 33-1 8在区间[0,2π]上有2个解，故(x)在[0,2]上有4个变号零点，即八x)在[0,2aJ上有4个极值点， 故B正确：若八x)存在对称轴，设为x=a,?∈[0,2知]，则x∈R,八a+x)=八a-x).令x=a,则八2a)=八0)=0， 则m2a=0或m2a=-之若a属于)单调区间内，则36，使得[a+b)-a)][a)-a-b)]>0,即 -a+6)-a)]'>0,矛盾，放a为几x)单调区间的端点，即a为)的极值点，所以cs4=±y- ,而这又 8 与血2a=0或m2山=千盾，所以)不存在对称轴，放C错误：由八一)=)，可得)是奇系数所 以，记fx)m=M,则f八x)n=-M.若代x)存在对称中心(m,n),m∈[0,2π]，则VxeR,(m+x)+m-x)=2n 令f代m+x)=M,则2n=M+fm-x）≥M-M=0:令f八m+x)=-M,则2n=-M+f八m-x)≤-M+M=0,所以n=0.令 =0,则m)n=0.甲m=0,号行2元经检验，m=0,2符合题意，即)在0,2a]上有3个对称中 心：(0,0)，(0)，(2m,0),故D正确.故选ABD. 12【答案】ln3 【解析]依题意.nnh。h3.故lnh3 13【答案】9 【解析】由题意可得a>0,而由a,存在知n≥5，故函数f八x)=(2+x)”在(-2，+o)上单调递增，设t=1+x,则 (1+)'=ao+a,人.由(1+)°=a+a,f知通项T=C·1·f=Ct,放an=C m!(-m)放由a>a,知 51(a-5)31(m-3即3引（m-3)1>5!(a-5)1,即(a-3·(a-4)>20,解得n>8,所以n的最小值是9 n! 弹乡·高三数学第2页（共6页） 14【答案号 【解析】设MF,=t1,MF,=12,则，+2=2a①，在△F,MF2中，由∠F,MF2=60°，及余弦定理可得F,F2= 1M,P,-2,小，m60,即+g-=42.①-2得=2-).所以5 tsin 号(a-e)又sar,22a+2e)=r e.o-2,2周为1 3 2所以得.部得片号 42 15.解：(1)依题意广(x)=e'(x2+2x-3),(1分) 故f0)=-3∫(0)=-3，(3分) 故所求切线方程为y+3=-3x,即3x+y+3=0.(5分)】 (2)由(1)知f(x)=e(x2+2r-3)=e(x+3)(x-1), 而x∈[-2,2]，令∫(x)=0,解得x=1,(7分】 故当xe[-2,1)时f(x)<0(x)单调递减， 当x∈(1,2]时了(x)>0x)单调递增，(10分) 面-22)=-2》=则e分>-2 故f代x)在区间[-2,21上的值域为[-2e,e].(13分) 16解：()h于x)=1 ≤4）=，所以=15(2分) GV2T UV2T 所以X~N(100,152).(3分) 事么P5c<0)-P5<145)P0c<10)-0973n9545.0e146分 2 2 (2)依题意，2所有可能的取值为2.3,4.5,6.(7分) P(Z=2)= 2 133 PZ=3)=2x2*0i09分) Pz=4-( 1129 +2*2510(10分) 313 PZ=5)=2x6*5方（1分) =6-付安分 所以Z的分布列如下。 Z 2 3 4 6 (13分) P 3 29 3 4 10 100 25 =2x45645分 3 17解：1)依题意m4受2列-1,1分) 则cA-cos2A=1,(2分) 萍乡·高三数学第3页（共6页） 故c0sA-2c0s2A=0,(3分)） 因为AE0,m,且4号故m宁则血A= 2.(5分) 故△ABC的外接圆半径R=2mA BC 2 三，(6分》 放△40C的外接圆面积S=::行(？分) (2)由∠D1B=90,由(1)可知，∠C4D= 6 又Bd=4CD,则BC=3CD,S△m=3Sam 则时ABCm于3·子·A04C 6 故AB=3AD.(9分) 由△8D的面积为25，则24B:AD=25, 代人AB=√3AD,可得AB=23,AD=2,(11分》 又5-子则B:4C血号25，解得C=.(3分》) 3 由余弦定理.BC=VAB+AC-2AB·AC·cs∠BAC=3,故△ABC的周长为3+33.(15分) I8.(1)证明：由∠ADC=0P.得CD⊥AD, 因为二面角S-AD-B为直二面角，所以平而SAD⊥平面ABCD. 而平面SADn平面ABCD=AD,CDC平面ABCD,故CD⊥平面SAD.(1分) 因为SAC平面S4D.所以S4⊥CD,(2分) 又SM⊥SD,SD,CDC平面SCD,SDOCD=D,故SA⊥平面SCD,(3分) 又SCC平面SCD,故S⊥SC.(4分) (2)解：过点S作S0⊥AD于点0，连接0B, 由△ADS∽△SDO,得OD=1=BC.又OD∥BC,故四边形OBCD为平行四边形， 因为∠ADC=90°，所以∠DOB=90°，即OD⊥0B,故0A,0B,0S两两垂直， 以O为坐标原点，OA,OB,OS所在的直线分别为x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,3.0),S(0,0,3),C(-1,3,0),(1,0.0) 故=(0，-33).BC=(-1,0,0),Ci=(2.-3,0),S=(1,0,-3),(5分) 设平面SBC的法向量a=(,1y), 则A·=-3,+5=0. a·BC=-x,=0, 令，=1，则，=3，x=0,故a=(0,1,w3)为平面SBC的一个法向量，(7分) 设平面SCM的法向量的b=(x?,为，马)， ·Ci=22-3y1=0, 则 .si=x-34=0. 令2=3，则2=3,2=2，故b=(3,2,3)为平面SCM的一个法向量，(9分) 则mao合6这-0分) 则二面角B-SC-1的正弦值为V-os(a,= 8(山分) 弹乡·高三数学第4页（共6页） (3)解：若BM∥平面SCD,BMC平而ABCD,平面ABCDO平面SCD=CD 则BM/∥CD.又由(2)知OBDC,故M与0点重合，(12分) 因为N在平面SMB上，可设N(0,P,),p,1∈R,由A(3,0,0),则A=(-3.P,), 因为S(0.0.3).C(-1.3.0).D(-1.0.0). 则s0=(-13.-√3)，SD=(-1.0,-3). 设平面SCD的法向量m=(x,y,), 则m·C-r+3-V30. m·S=-x-3:=0, 令=3，则x=-3,y=0,故m=(-3,0,3)为平面SCD的一个法向量， 放es(m,1=m·。9+31 1m1不V2x√9p行之整理得p2-6,3-18=0. 又p2=631+18≥0，故1≥-√3，(14分) 由Mm=(0,p,),故m1=p+f=√2+631+18=V(t+33)2-9≥3， 当且仅当1=-√3时等号成立，MN取得最小值为3.(17分) 0 19.(1)解：联立 )=x, 由于点P.横坐标不为0，故得到x=y=4,即P,(4,4),(1分)》 x2=4y, 5 -0 而0.).故2.引，于是4=0子(2分) 2 5 故lmy 4,联立 x2=4y, 得到x=5,y= .(3分) 2y证明：联立绸P(44.k 4-+ 1x2=4y, 42+1 0 2 1 故长2k,0 -(n≥2).(5分》 于是女专正又由于-子0 弹乡·高三数学第5页（共6页） 故k>0,于是k4-k,>0,即k1>k。 故数列k,是单调递增数列，(6分) 又由气，>0知数列是单调递减数列，于是数列k,-,是单调通诚数列(？分) (3)证明：由(2)得P.(4,4,）,P(4k,4), 而0(0,0)，故利用制补法，知 号44-4-4妮4-)·k4线4线4k-4 =8站。-8k21一8(k,+61)(k,4-)2-16k2(k,-1) =广熙广-4 记过说观 =82+66+2k88 1=2k.(n≥2).(11分） 面8=*5营}4454管到-4(6-4=名=242分) 42 放8=2k面k≥6-故含≥2>6(15分） 于是由累乘法知4~份”-·（份（≥2。 面=（份）“故≤子(”(15分 故s2552x5 6八 -<-s. 综上6a<8<13(9)-B(7分) 弹乡·高三数学第6页（共6页）