精品解析：四川省眉山市眉山县级学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

高二年级期中联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘法的求导公式直接求导，进而得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 2. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（   ） A. 31钱 B. 32钱 C. 33钱 D. 34钱 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出等差数列的公差，进而求出目标值. 【详解】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D 3. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，利用基本量求得，即可求得. 【详解】因为，故可得， 又，故数列是首项为，公差为的等差数列， 则，解得，则. 故选：B. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 5. 若等比数列的前项和为，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为等比数列的前项和为，，所以公比，所以，所以，所以 所以 故选：D 【点睛】本题考查等比数列前项和的公式的应用，属于中档题. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解. 【详解】由得， 由函数单调递减可得恒成立， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7. 记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，可构造函数，利用导数可知，在单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项． 【详解】不妨设，因为，设，则, 所以在单调递增，所以，即，从而． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题． 8. 已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 2025 D. 4045 【答案】A 【解析】 【分析】令，可得到是在上单调递增的奇函数，结合题中条件得到，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】令，则的定义域为，又，所以是奇函数， 因为与均在上单调递增，所以在上单调递增. 因为，所以，则， 因为，所以， 所以，即. 所以，. 故选：A. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当且仅当n=7或8时，取得最大值. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件列方程和不等式，化简后对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以A正确，B正确. ，所以C正确. 由于，所以数列的前项都为正数，从第8项开始是负数， 所以当且仅当或7时，取得最大值 故D错误． 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D． 【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 11. 已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 直线上存在满足要求的点 D. 直线上存在满足要求的点 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意将问题转化为过点的切线方程存在3个切点，根据选项，列式求解. 【详解】A.，则，设切点，， 所以切线方程为，切线过点， 所以，则，则，此时只有唯一切点，所以过点的切线只有1条，不满足条件，故A错误； B.若点，在由A可知，，整理为 ，设，， 得或，当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，极小值是， 所以与轴有3个交点，即方程有3个实数根，即有个切点，所以过点的切线有3条，满足条件，故B正确； C. 设，则，整理为 ，得，设，，所以单调递增， 则与只有1个交点，即方程只有1个实数根，即只有1个切点，1条切线，所以直线上不存在满足要求的点，故C错误； D. 设，则，整理为 ，得，，设，， 得或， ，得或， ，得，或或， 所以函数的增区间是和， 减区间是和 和 如图画出函数的图象，由图象可知，与存在3个交点，即方程存在3个实数根，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由切线个数转化为切点个数，即转化为方程实数根问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 【答案】##4.75 【解析】 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 13. 已知数列满足，设数列的前项和为，则=________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推关系求出，再利用等差数列前项和公式求出即可. 【详解】数列满足，当时，， 两式相减得，因此，而满足上式， 于是，显然，即数列是等差数列， 所以. 故答案为： 14. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【详解】定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 故答案为： 四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. （1）求、的通项公式： （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程求出，即可求出通项公式； （2）分组求和，分别求出数列和的前项和，相加即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，设等比数列的公比为， 因为， 所以，即， ，即，则， 所以，整理可得即， 解得或（舍去）. 所以，则，解得或（舍去），故. 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，则. . 16. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，可得出关于实数、的方程组，即可解得这两个未知数的值； （2）分析函数在区间上的单调性，根据题意可得出，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 函数在和处取得极值． ，，联立解得：，． 且当，，，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意. 因此，，． 【小问2详解】 由（1）知在单调递增，在单调递减， 故当时，， 要使得对任意，不等式恒成立，则需， 故，即，解得或， 的取值范围是． 17. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且． （1）求数列和的通项公式． （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组求得和，得到数列的通项公式，再由，且公差，求得，得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法求和，即可得到答案 【小问1详解】 解：设等比数列的公比为，由，可得， 因为，可得， 可得，即， 整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当，可得，所以数列的通项公式为，则. 又由，且数列是公差为1的等差数列， 可得，即，解得， 所以故数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知：，，可得， 因为数列的前项和为， 可得， 则， 两式相减，可得， 所以． 18. 已知函数． （1）求曲线的对称中心； （2）证明：有三个零点； （3）设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：． 【答案】（1） （2） 已知. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 所以是的极大值点，是的极小值点. 由，，，. 根据零点存在定理和函数单调性可得在区间内有一个零点，在区间内有一个零点； 在区间内有一个零点. 综上，有三个零点. （3） 已知函数与轴交于，，，根据函数零点的性质，可设. 因为直线过点且斜率存在且不为，设直线的方程为. 切点的坐标是直线：与曲线的公共点，所以联立方程组， 消去可得. 当（因为是直线与轴交点的横坐标，这里考虑的是除点外的切点情况），两边同时除以，得到. 所以（记为）. 因为直线与曲线相切，所以方程有两个相等的实根 在方程中，设切点的横坐标为，因为两根相等都为，所以，即. 点，，则中点的横坐标为. 因为在轴上的射影的横坐标就是点的横坐标，所以在轴上的射影为的中点，即在的垂直平分线上. 所以. 【解析】 【分析】（1）先构造函数，证明是奇函数.而，根据“上加下减”原则，是向上平移个单位得到的，那么对称中心也向上平移个单位，从而得到对称中心为. （2）先求出的导数并因式分解.然后分区间讨论的正负，当时函数单调递增，时函数单调递减，由此确定函数单调性.在单调性变化的点处取得极值，进而确定极大值点和极小值点.最后计算几个特殊点的函数值，根据零点存在定理确定函数零点所在区间. （3）先根据函数与轴交点设出函数表达式，再依据过点情况设直线方程.然后联立直线与函数方程，消去并处理得到一元二次方程.利用方程有两相等实根求出切点横坐标.接着通过比较发现切点在轴射影是中点，即在垂直平分线上.最后根据垂直平分线性质得出. 【小问1详解】 设，则. ，所以是奇函数. 奇函数图象关于原点对称，即曲线对称中心是. 的对称中心为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （2）若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 【答案】（1） （2）①，，理由如下： 令， 因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点． ，当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以． 一方面因为， 另一方面因为， 令，所以． 综上：． 判断： 下证：等价于． 因为，所以，所以， 要证：即证，即证：，因为，即证： ，令， 设，则， 所以，所以． ②证明：由①可知：当时，， 令，所以． 所以， 将以上个不等式进行累加，所以． 【解析】 【分析】（1）求导得，求出切线方程，并联立曲线，根据判别式等于0即可得到答案； （2）①设，求出其最大值即可得到的范围，判断，等价证明，再通过合理变形和比值换元即可证明； ②由①知，再设，代入后再累加即可证明. 【小问1详解】 ，曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为． 由于切线与曲线只有一个公共点， 得有且只有一解， 所以， 解得． 【小问2详解】 时，，理由略； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（   ） A. 31钱 B. 32钱 C. 33钱 D. 34钱 3. 已知数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若等比数列的前项和为，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 15 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 2025 D. 4045 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为等差数列，公差为，为其前项和，若满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当且仅当n=7或8时，取得最大值. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为 B. 有两个零点 C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根 D. 的解集为 11. 已知函数.若曲线恰有三条过点的切线，其中实数的所有取值组成集合的所有取值组成集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 直线上存在满足要求的点 D. 直线上存在满足要求的点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 13. 已知数列满足，设数列的前项和为，则=________ 14. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______. 四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. （1）求、的通项公式： （2）求数列的前项和． 16. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且． （1）求数列和的通项公式． （2）求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）求曲线的对称中心； （2）证明：有三个零点； （3）设曲线与轴的交点从左到右依次为，过作直线与曲线相切，切点为（异于），证明：． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （2）若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $