精品解析：浙江北斗星盟2026届高三下学期二模数学试题

高三数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 又， ， . 故选项B正确. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用基本函数的导数，求得，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 故选：D. 3. 已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 4. 已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法构成四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 5. AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设正整数，其中，.记.则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 26 【答案】A 【解析】 【详解】用除2取余的方法将26转换为二进制为， ，，，， 则用二进制表示为， ， ， 则， . 6. 已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，结合偶函数图像对称性与唯一零点的性质确定零点为，推导得到与的等量关系，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】∵ 函数的定义域为，且 ， ∴ 为偶函数. ∵ 存在唯一零点，若存在非零零点，则也为函数零点，与唯一零点矛盾， 故函数唯一零点为. ∴ ，整理得. 由基本不等式可得， 将代入得，当且仅当时等号成立. 联立，解得，满足条件，故等号可取. 综上，的最小值为. 【点睛】方法归纳：对于含奇偶性的函数零点问题，优先利用对称性分析零点分布，得到参数关系后结合基本不等式、导数等工具求解最值. 7. 已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则， 于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 8. 如图所示，由个边长为的小正方形拼成一个边长为的大正方形网格，质点从顶点出发，沿着网格线运动至顶点停止，规定运动过程中任意顶点（含起点和终点）均不可重复经过.设随机变量表示质点从到经过的路径总长度，若质点所有可能的运动路径是等可能的，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出随机变量的可能取值为，依次计算可能路径的条数即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的可能取值为， 当时，需要向右次，向上次，共有条路径； 当时，需要绕个弯，共有条路径； 当时，需要绕个弯，共有条路径； 因此，总路径数为条，每条路径的概率相等，都是， 所以，，， 因此，故B正确. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则的准线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则点在抛物线的内部，或在抛物线上， 所以 ，所以，所以 ， . 所以的准线可能是B,C. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的最小值为1 C. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上无零点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦型函数的单调性判断即可；对于B，根据，得到或，，判断即可；对于C，根据图像的平移变换结合所得图象与关于轴对称，得到，，判断即可；对于D，根据在上无零点，列方程组求解即可. 【详解】. 对于A，若，，当时，， 又在上单调递增，故A正确. 对于B，若，则 ，即， 所以或，，即 或，， 又，所以的最小值为2，故B错误. 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到. 因为与关于轴对称，所以， 所以 或 ，， 即，或，， 又，所以的最小值为6，故C错误. 对于D，若在上无零点，则，， 解得，. 又，当时，；当时，； 当时，，此时无解， 故若在上无零点，则的取值范围为，D正确. 11. “杨辉三角”由南宋数学家杨辉在所著《详解九章算法》中首次提出，它揭示了二项式系数在三角形数表中的几何排列规律.如图所示，记“杨辉三角”第行第个数为，并由此构造新的-数表，记-数表的第行第个数为，满足 -数表第行所有数字之和记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 除以7的余数为1 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意直接求，判断A；利用的定义结合组合数的定义判断B；利用B的结论及利用的定义求得，根据二项式定理，求得其除以7的余数，判断C；计算，并由两角差的正弦公式、同角三角函数关系式化简，并裂项得，从而求得，判断D. 【详解】由题意知， ，所以A正确； 当时，， ， 所以，所以B正确； ， 其中 ，所以由， 得. 能被整除， ， 因为能被整除， 所以除以7的余数为6，所以C错误； 因为 ，所以由，得 ， 所以 所以.  所以，所以D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 13. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且 ， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 14. 已知正四面体的棱长为，点为的重心，点是正四面体表面上的动点，且满足点到点的距离恒为，则点的运动轨迹的总长度为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由于到点的距离恒为的点的运动轨迹是以点为球心，半径为的球面，故点的运动轨迹为正四面体的各个面与球的截线，求出截线长之和即为点的运动轨迹的总长度. 【详解】由于到点的距离恒为的点的运动轨迹是以点为球心，半径为的球面， 故点的运动轨迹为正四面体的各个面与球的截线， 那么分别取的中点 ，连接 ， 作垂足分别为，那么 在正四面体中，点为的重心，所以，平面 所以， 平面，平面， 所以，平面，又平面, 所以， ，又，，平面，平面， 所以，平面，即为点到平面的距离， 在中， ,, 所以，球被平面截得的圆的半径 , 故点在上运动轨迹如图所示为优弧，, 所以，点在上运动轨迹长度为， 同理可得点在上运动轨迹长度为, 故点在，运动轨迹长度之和为 由于等边三角形内切圆半径为, 故点在上运动轨迹如图所示为三段相等的劣弧，取劣弧,则 , 所以，点在上运动轨迹长度为, 所以，点的运动轨迹的总长度为. 非选择题部分 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）已知，为的中点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质以及余弦定理可得出、的方程组，解出、的值，可得出的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 因为，所以， 代入上式：，整理得， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为为中点，所以， 两边平方得 ，可得①， 由余弦定理可得②， 整理可得，，故， 故的周长为. 16. 近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下： 年份编码 1 2 3 4 5 6 销售量 276 312 354 386 418 450 （1）求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； （2）从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率； （3）销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）. 参考公式及数据： （1）（2）. 【答案】（1）极差为174，第75百分位数为418； （2） （3） ，522.87千辆或，千辆 【解析】 【分析】（1）利用极差公式与总体百分位数的估计求解即可. （2）利用组合数的性质与古典概型概率公式得到与，再结合条件概率公式求解即可. （3）利用最小二乘法求解回归方程，再进行估计即可. 【小问1详解】 由题意得极差为， 而，向上取整可得第75百分位数为418. 【小问2详解】 设事件表示：其中一个数据不小于400（千辆）， 事件表示：另一个数据不小于400（千辆）， 则， 【小问3详解】 由题意得 ， 法一：可得， ， 则关于的经验回归方程为 ， 将代入回归方程，得到 ， 故预测第8年新能源车的年销量为522.87千辆. 法二：可得， 此时， 此时回归方程为，将代入回归方程，得到 ， 故预测第8年新能源车的年销量为千辆. 17. 如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置. （1）若，求证：平面； （2）记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） 连接、，如下图所示： 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，，又因为， 所以，则，所以， 因为四边形为平行四边形，则， 由余弦定理计算得， ，所以， ，所以，故，因为，， 所以，所以，翻折前，翻折后则有， 因为，、平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，推导出，进而得出，利用余弦定理求出、的长，结合勾股定理得出，证明出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，令，得， 设平面的法向量为，，， 则， 令，则， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 18. 已知双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，且. （1）求双曲线的标准方程； （2）若是双曲线的左右顶点，点是线段上一点（异于两点），直线与双曲线交于点，直线与双曲线交于点，直线与直线交于点. （i）求四边形面积的最大值； （ii）是否存在定点，使得以为直径的圆始终与某条定直线相切？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）4（ii）存在，定点为焦点 【解析】 【分析】（1）由离心率得，代入，结合弦长求出，即得双曲线方程； （2）（i）首先根据双曲线上的动点与顶点连线的斜率乘积为定值，再根据三点共线，得出直线和的方程，联立方程组求出点，得到， 从而由求得其表达式，结合的范围即可求得其最大值；（ii）假设存在定点满足题意，由点的坐标，消去参数得点的轨迹为抛物线，利用抛物线的定义，可得当点取抛物线的焦点时，以为直径的圆始终与定直线相切. 【小问1详解】 依题意，，可得， 因为直线与双曲线交于两点， 将代入，解得，. 因为，所以，，解得，. 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 如图所示： （i）不妨设点是双曲线上异于、的任意一点，下证直线和的斜率之积为定值. 由，得.由（1）题知，，，. 则. 设且，则，， 因为点、、三点共线，所以，， 因为点、、三点共线，所以,， 因为点是双曲线上的点，所以，则， 因为点是双曲线上的点，所以，则， 故， 联立，解得，，故，此时. 因为且，所以，，得， 则， 故当时，取得最大值为4. （ii） 由（i）得 ，设，则可得，如图知点的轨迹为抛物线，其中且， 对比抛物线的标准形式 可得，，即，该抛物线的顶点为， 开口向上，焦点在顶点上方处，准线在顶点下方处， 所以焦点的纵坐标为， 准线方程为：， 所以，以为直径的圆始终与直线相切. 故存在定点为和定直线满足题意. 【点睛】方法点睛： 1.利用双曲线上不与顶点重合的任意动点分别与顶点构成的直线的斜率乘积为定值，可以替代常规方法联立方程组，从而简化计算. 2.求不规则四边形的面积优先把它拆分为同底的两个三角形的面积之和. 3.定点定线问题先消去参数定轨迹，再利用抛物线几何性质解决实际问题. 19. 对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”. （1）试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①； ②； ③； （2）已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）①是“上域函数”，②③是“下域函数”； （2） （3）构造函数， 代入， 累加可得， 故仅需证即可， 构造函数， 其中，在上单调递减，， 即， 当时，， 可得 ，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）结合定义并利用导数证明不等式，最后得到结论即可. （2）对的取值进行分类讨论，再利用分离参数法求解参数范围即可. （3）结合题意利用放缩法和导数证明不等式即可. 【小问1详解】 对于①，令 ，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递减，且， 则，可得， 得到是在上的上域函数， 对于②，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 对于③，令 ， 则，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则 ，可得 ， 得到是在上的下域函数， 综上可得，①是“上域函数”，②③是“下域函数”. 【小问2详解】 由题意知，当时，； 当时，，符合题意；当时，应有； 构造函数，可得， 令， 当时， ，所以在上单调递增， 因为，所以当时， ， 故在上单调递增，而时，， 综上可得，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法构成四边形 5. AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设正整数，其中，.记.则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 26 6. 已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，由个边长为的小正方形拼成一个边长为的大正方形网格，质点从顶点出发，沿着网格线运动至顶点停止，规定运动过程中任意顶点（含起点和终点）均不可重复经过.设随机变量表示质点从到经过的路径总长度，若质点所有可能的运动路径是等可能的，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则的准线可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的最小值为1 C. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上无零点，则的取值范围为 11. “杨辉三角”由南宋数学家杨辉在所著《详解九章算法》中首次提出，它揭示了二项式系数在三角形数表中的几何排列规律.如图所示，记“杨辉三角”第行第个数为，并由此构造新的-数表，记-数表的第行第个数为，满足 -数表第行所有数字之和记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 除以7的余数为1 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 13. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 14. 已知正四面体的棱长为，点为的重心，点是正四面体表面上的动点，且满足点到点的距离恒为，则点的运动轨迹的总长度为_________. 非选择题部分 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）已知，为的中点，且，求的周长. 16. 近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下： 年份编码 1 2 3 4 5 6 销售量 276 312 354 386 418 450 （1）求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； （2）从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率； （3）销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）. 参考公式及数据： （1）（2）. 17. 如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置. （1）若，求证：平面； （2）记平面与平面的夹角为，求的最小值. 18. 已知双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，且. （1）求双曲线的标准方程； （2）若是双曲线的左右顶点，点是线段上一点（异于两点），直线与双曲线交于点，直线与双曲线交于点，直线与直线交于点. （i）求四边形面积的最大值； （ii）是否存在定点，使得以为直径的圆始终与某条定直线相切？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”. （1）试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①； ②； ③； （2）已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $