专项十一 阅读理解型问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项十一 阅读理解型问题 题型概览 元元元 阅读理解型问题主要有新定义几何概念型阅读题、方法学习型阅读题、类比探究型阅读题，在 中考中以解答题形式出现，分值在8~10分左右，考查的知识点可以是几何知识，也可以是代数知 识，培养学生的抽象能力、几何直观、推理能力、创新意识及模型观念等数学素养。 第 题型1新定义几何概念型阅读题 任务： 例1(2024山西)阅读与思考 (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内 部 下面是博学小组研究性学习报告的部分内 容： 分 (2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边 题 容，请认真阅读，并完成相应任务， 形.连接对角线AD,猜想∠BAD与∠FAD的 关于“等边半正多边形”的研究报告 专 数量关系，并说明理由； 博学小组 项 研究对象：等边半正多边形 (3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是 攻 略 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性 它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六 质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究 边形ABCDEF(要求：尺规作图，保留作图痕 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理 迹，不写作法) 证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶 数)，若其各边都相等，且相间的角相等、相邻 的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半 图3 图4 正多边形.如图1，我们学习过的菱形（正方形 除外)就是等边半正四边形，类似地，还有等边 半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对 等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等 边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE= EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F, 且∠A≠∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的 性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ 对角线：… 例2壁念与实现在学习特殊四边形的过程中， 2024河南 我们积累了一定的研究经验，请运用已有经 验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四 图 图2 边形叫做邻等对补四边形. 26 指，点中考数学 (1)操作判断 【探究论证】 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼 (1)如图①，在△ABC中，AB=BC,BD⊥AC, 出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对 垂足为点D.若CD=2,BD=1,则S△Ac= 补四边形的有 (填序号) (2)如图②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'=4, B'D'=2,则S菱形ABCD= (3)如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH, 图 垂足为点O 第 (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的 若EG=5,FH=3,则S四边形CH= 部 性质.下面研究与对角线相关的性质， 若EG=a,FH=b,猜想S四边形rcH与a,b的 分 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形， 关系，并证明你的猜想 AB=AD,AC是它的一条对角线 ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC=m,DC=n,∠BCD=20,求AC的 图① 图② 题型专项攻略 长（用含m,n,0的式子表示）. 图3 图④ 图2 图3 【理解运用】 (3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3, (4)如图④，在△MNK中，MN=3,KN=4, BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四 MK=5,点P为边MN上一点.小明利用直 边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对 尺和圆规分四步作图： 补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 (1)以点K为圆心，适当长为半径画弧，分 BN的长 别交边KN,KM于点R,I; (i)以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线 段PM于点I'; (Ⅲ)以点'为圆心，R长为半径画弧，交前 一条弧于点R',点R',K在MN同侧： (V)过点P画射线PR',在射线PR上截取 PQ=KN,连接KP,KQ,MQ. 请你直接写出S四边卷PKQ的值， 题型2方法学习型阅读题 例3(2024吉林)小明在学习时发现四边形面积 与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 题型突破 27 例4跨化学学科综合与实践 例5(2024乐山)在一堂平面几何专题复习课 L2024广东 【主题】滤纸与漏斗 上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【素材】如图1所示： 【问题情境】 ①一张直径为10cm的圆形滤纸： 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= ②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥 AC,点D,E在边BC上，且∠DAE=45°， 形过滤漏斗。 BD=3,CE=4,求DE的长 第 部 图1 分 图1 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90 题 【实践操作】 得到△ACD,连接ED'. 步骤1：取一张滤纸； 专 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 项 攻 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形： 略 C(B 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示 图2 漏斗中。 由旋转的特征得∠BAD=∠CAD',∠B ∠ACD',AD=AD,BD=CD' ,∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠BAD+∠EAC=45. 图2 【实践探索】 :∠BAD=∠CAD',∴.∠CAD+∠EAC= (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管 45°，即∠EAD=45°.∠DAE=∠DAE. 口处)？用你所学的数学知识说明. 在△DAE和△DAE中，AD=AD,∠DAE (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥 ∠DAE,AE=AE,∴①.∴DE=D'E. 形的体积.（结果保留π） 又，∠ECD=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+ ∠B=90°，∴在Rt△ECD中，② .CD'=BD=3,CE=4, .DE=DE=③· 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填： ；“②” 处应填： ;“③”处应填： 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动 变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中 的不变量，就能以不变应万变 【知识迁移】 如图3，在正方形ABCD中，点E,F分别在 边BC,CD上，满足△CEF的周长等于正方 28 指，点中考数学 形ABCD的周长的一半，连接AE,AF,分别 题型3类比探究型阅读题 与对角线BD交于M,N两点.探究BM, 例6(2024凉山)阅读下面材料，并解决相关 MN,DN的数量关系并证明. 问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行， 其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n个点… 图3 【拓展应用】 第 如图4，在矩形ABCD中，点E,F分别在边 ●●●●●● BC,CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.探究 部 BE,EF,DF的数量关系： (直接写 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和 分 出结论，不必证明). 为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 型 ,前15行的点数之和为 项 那么，前n行的点数之和为 略 图4 (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 【问题再探】 (填“能”或“不能”)为500. 如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4, (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景， BC=3,点D,E在边AC上，且∠DBE=45°. 其中一种造型要用420盆同样规格的花，按 设AD=x,CE=y,求y与x的函数解析式. 照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆… 第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放 多少排？ 45 图5 题型突破 29∴.当x=2.5时，心最小为25元，∴当裁掉 边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，为 ∴抛物线的函数解析式为y一0。 25元 (答案不唯一，建立的坐标系合理即可). 【例7】解：(1)①根据题意可得石块运行的函数 任务2： 解析式为y=a(x-20)2+10, 该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底 把(0,0)代入解析式，得400a十10=0， 部距离水面不小于1m,灯笼长0.4m, .当悬挂点的纵坐标y≥-5十1.8+1+ 解得a=一 40 0.4=-1.8. ∴.抛物线的解析式为y= -20r+10 即悬挂点的纵坐标的最小值是一1.8m ②石块能飞越防御墙AB.理由如下： 当y=-1.8时，一20x=-1.8x=土6， 由题意得C(30,6), ∴.悬挂点的横坐标的取值范围是一6≤x≤6. 把.x=30代人y= 40x-20)2+10, 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始 得y=0×(30-20)y2+10=2.5>6. 悬挂灯笼（黑点表示灯笼悬挂点的横坐标）， 0 486￥ ∴.石块能飞越防御墙 图2 (2)由题意可知B(28,6),抛物线y=a(x ,一6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平 20)2十k, 间距均为1.6m, 0=a(0-20)2+k, 把O0,0),B(28,6)代入得 ∴.若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6， 6=a(28-20)2+k, 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6， 解得a=一 ,顶点一侧最多悬挂3盏灯笼 56 灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂7盏 0=a(0-20)2+k, 把C(30,6),O0,0)代入得 灯笼， 6=a(30-20)2+k, ∴最左边一盏灯笼的横坐标为一1.6×3= 解得a= 1 50 -4.8. ,石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端 方案二：如图3，若不在顶点处悬挂灯笼（黑 点B,C), 点表示灯笼悬挂点的横坐标)， 5 ∴a的取值范围为一0<a≤ -6 6 56 图3 【例8】解：任务1： ,若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8十1.6× 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标 (5-1)>6. 系，则顶点为(0,0)，且过点B(10,一5)， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8十1.6× (4-1)<6, .顶点一侧最多悬挂4盏灯笼 ,灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， 图1 设抛物线的解析式为y=ax2, ∴最左边一盏灯笼的横坐标为一0.8一 把点B(10,-5)代入得100a=-5, 1.6×3=-5.6 专项十一 阅读理解型问题 ∴.a= 20' 【例1】解：(1)240. 86· (2)∠BAD=∠FAD,理由如下： .∠BCD=20,∴.∠ACD=∠ACB=0, 如图，连接BD,FD. 在R△AFrC中.oas-. ..AC=CF m十n cos 0 2cos 0' (312或9 解法提示： ,六边形ABCDEF是等边半正六边形， ∴.AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E. ∠B=90°，AB=3,BC=4, ∴.△BCD≌△FED(SAS),.BD=FD. ..AC=AB2+BC2=5. AB=AF, ,四边形ABMN是邻等对补四边形， 在△ABD与△AFD中，BD=FD, ∴.∠ANM+∠B=180°，∴.∠ANM=90°. AD=AD, ①当AB=BM时，如图，连接AM,过N作 .∴△BAD≌△FAD(SSS),.∴∠BAD=∠FAD NH⊥BC于H, (3)答案不唯一 作法 ∴.AM=AB+Bf=18.在Rt△AMN中， 作法二 MN2=AM-ANP=18-AN, 在Rt△CMN中，MN=CE-CN=(4 3)2-(5-AN)2, .18-AN2=(4-3)2-(5-AN)2, 如图，六边形ABCDEF即为所求. 解得AN=42.∴CN=号 【例2】解：(1)②④ ,∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C, (2)①∠ACD=∠ACB,理由： .△NHC∽△ABC 如图，延长CB至点E,使BE=DC,连接AE. ",四边形ABCD是邻等对补四边形， .∠ABC+∠D=180° 34 :∠ABC+∠ABE=18O°，∴∠ABE=∠D NH-号.CH-gBH-器 .'AB=AD,'.△ABE≌△ADC(SAS). ∴.∠E=∠ACD,AE=AC, 六BN=BF+NF-长E ∴.∠E=∠ACB,∠ACD=∠ACB. ②当AV=AB时，如图，连接AM, & ②如图，过点A作AF⊥EC于F, .'AM=AM,'.Rt△ABM≌Rt△ANM(HI), AE-AC.CF-CE-7(BC+BE)- ∴.BM=NM,故不符合题意，舍去. 2(BC+DC)=m”, ③当AN=MN时，如图，连接AM,过N作 2 NH⊥BC于H, ·87· ∴.△MNK是直角三角形，且∠MNK=90°， ∴.∠NMK+∠MKN=9o°. .∠QPM=∠MKN,∴.∠NMK+∠QPM= H 90°，.MK⊥PQ. ,∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C. .'PQ=KN=4,MK=5, ∴.△CMN∽△CAB, ∴.根据(3)中结论得S四边形MPQ= -浴即-5八解得CN=9 2MK· 3 PQ=10. :∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C, 【例4】解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁. '.△NHC∽△ABC, 理由如下： 20 -温器脚甲 如图作出示意图，由题意知AB=AC=BC= 34 7 cm, NH=号.CH9BH=号 BN=VB+NF-号瓦 ④当BM=MN时，如图，连接AM, 折叠后CD=CE=号X10=5cm “底面周长为2X10m=5xcm, .DE·π=5πcm,∴.DE=5cm, 器黑需△cDEn△CAB. .'AM=AM. 滤纸能紧贴此漏斗内壁。 '.Rt△ABM≌Rt△ANM(HL), ∴.AN=AB,故不符合题意，舍去. (2)由(1)知CD=DE=CE=5cm, ∴∠CDE=60°，过C作CF⊥DE于点F,则 综上，BN的长为22或是 DF=号DE-号am,在R△CDF中，CP= 【例3】解：(1)2. (2)4. CD-DF-53 cm, (3)5.猜想：SmH 2 G·FO. v=x…(侵}×5g2×-1253 2 24 x cm'. 证明：：EG⊥FH,∴.SAr= 即圆锥形的体积是1253 S△BHG= 2EG·HO, 24x cm. 【例5】解：【问题解决】①△AD≌△ADE(SAS), .S四边形GH=S△十S△HG= ②EC+CD'2=ED2,③5. 【知识迁移】DN十BM=MN. FO叶2EG·HO-EG·FH- 证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转 (4)根据尺规作图可知：∠QPM=∠MKN, 90°，得到△ADF. .在△MNK中，MN=3,KN=4,MK=5, 过点D作DH⊥BD交边AF'于点H,连 ∴.MK2=M+KN, 接NH. ·88· .∠ABC=90°，∠DBE=45°， ∴.∠CBE+∠DBA=45°， ∴.∠CBE'+∠DBA=45,即∠DBE=45. 在△EBD和△EBD中，BE=BE,∠DBE= ∠DBE,BD=BD, 由旋转的特征得AE=AF,BE=DF, ∴.△EBD≌△E'BD(SAS),∴.DE=DE ∠BAE=∠DAF'. ∠ABC=90°，AB=4,BC=3, 由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF十 ∴.AC=√AB2+BC=5. FC+EC++BE, ..EF=DF+BE=DF+DF'=FF. 又，AD=x,CE=y,∴.DE=DE=5-x-y DF∥BC,∴.∠ADH=∠C,∠AHD= 在△AEF和△AFF中，AE=AF,EF= ∠ABC=90°， FF.AF=AF, ∴.△AEF≌△AFF(SSS),∴.∠EAF=∠FAF △AHDn△AC,÷器-肥-怨 又，BD为正方形ABCD的对角线， ∴.∠ABD=∠ADB=45°. 青即AH=，HD= ,DH⊥BD, ∴HB=AB-AH=4-号，同理可得EG= ∴.∠ADH=∠HDB-∠ADB=45° 在△ABM和△ADH中，∠BAM=∠DAH, 5,GC=3 AB=AD,∠ABM=∠ADH, ∴.△ABM≌△ADH(ASA),∴.AM=AH, EG=急，BG=BG=3-g BM=DH. EG⊥AB,∠ABC=90°，.EG∥BC∥FD. 在△AMN和△AHN中，AM=AH, 又，EF∥AB,∠FHG=∠AHD=90°， ∠MAN=∠HAN,AN=AN, .四边形FEGH为矩形. ∴.△AMN≌△AHN(SAS),∴.MN=HN. 在Rt△HND中，DN2+DP=HNP, ∴∠F=90,FH=E'G'=A,DF=DH+ ∴.DNP+BP=MN. FH-y 【拓展应用】2BE+2DF=EF2. 【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针 FE'=HG'=HB-BG=4-4 x-(3 旋转90°，得到△BEC',连接ED.过点E 作EG⊥BC,垂足为点G,过点E作E'G'⊥ )=1-x+ BC,垂足为G.过点E作EF∥BA,过点 在Rt△EFD中，EF2+DF2=E'D, D作DF∥BC交AB于点H,EF,DF交于 点F 1-x+)+(x+)=(6 x一)2，解得y=21x-60 5x-28· 【例6】解：1)36；120；2n+1D. (2)不能. (3)同理，前n行的点数之和为2十4十6+…+ 由旋转的特征得BE=BE,∠CBE= ∠CBE',EG=EG',BG=BG. 2m=2×21+0×n=mn+1D, ·89· 由题意得n(n+1)=420,得n2+n-420= ·∠IEH=∠IHE-45°，.IE=IH=3 0,即(n十21)(n-20)=0, 解得n=20或n=-21(舍去)， DE-AD-AI-IE=43-333 22 ∴.一共能摆放20排. 专项十二几何综合型问题 5V3-3 【例1】解：(I)BE=DF,DN⊥DF (3)如图3，当点E与点M重合时，过点B 20￥ 作AD的平行线，交AC的延长线于点N, ②连接GC交DE于M(图略)， ,△ECD翻折得到△EGD,∴.△ECD和 △EGD关于直线DE对称，∴.DE垂直平 分GC, 在Rt△MDC中，∠CDE=a,CD=3, ∴.MC=3sina,∴.GC=2MC=6sina. 【例2】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 图3 ∠BAC=30°，BC=3,.∴.AB=3√3. 则△ADE△NBE架长 易知当点F在AD上时，点G在AD下方平 .∠N=∠DAC=∠BAC=30°，∴.BA=BN 行于AD且到AD的距离为EF长的直线 上运动.连接BG,当BG最短时，BG⊥AD, 、品 如图1，此时点B,G,F共线， 由BA=BN,∠BAN=∠BNA=30°， 易得AN=2 ABcos30°=9， AE=号AN=9 过点E作AB的垂线，垂足为点J,则EJ= 图和 9AW-18,3 7 BF=ABsin60°= 由平移可知EF∥AD,则∠EFB=60°， 2 ∴EF=FG=BF-BG= 2· 6o-69 ..FI= 7 (2)易知AC=2BC=6, AF=AJ-FJ=123 71 ..AD=AC c0s30°=4V3. 【例4】解：(1)(1，W3);(4,3) 设AC,EG交于点H,如图2，若四边形CEAG (2)①：过点P作直线1⊥x轴，沿直线1折 是平行四边形，则AH=CH=3,EH=HG.过 叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x 点H作HI⊥AD于点I,则IH=AHsin30°= 轴的正半轴上，∴∠OOC'=∠AOC=60°， OP=OP,∴.OO=2OP=2t. 多A1=3 A(3,0),.OA=3,∴.AO=O0-OA= 21-3. ,四边形OABC为平行四边形，，.AB OC=2,AB∥OC,∠OAB=∠AOC=60°， ∴.△EOA是等边三角形，∴.AE=AO=21-3. .'BE=AB-AE,.'BE=AB-AE=2- 图2 (2t-3)=5-2t. ·90·