专项十三 题型5 二次函数与角有关的问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

题型5二次函数与角有关的问题 题型概览 999999 与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存 在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角，③相似三角形对应角相等：④全等 三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。 第 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大， 一般位于压轴题第二问或第三问，分值为46分，难度值为0.1一0.35.渗透数形结合思想、分类 部 讨论思想、化归转化思想，常用对称、构造全等或相似等方法. 分 题 。方法归纳 例14(2024湖北)在平面直角坐标系中，抛物线 专 一、相等角的存在性问题 y=-x2+bx+3与x轴交于点A(一1,0)和 点B,与y轴交于点C 1.利用平行线、等腰三角形构造相等角. 攻 2.利用相似三角形构造相等角， (1)求b的值： 略 二、二倍角或半角的存在性问题 (2)如图，M是第一象限抛物线上的点， 1.二倍角的构造方法 ∠MAB=∠ACO,求点M的横坐标. 如图，已知∠α，我们可以利用等腰三角形和 外角定理去构造2a,在BC边上找一点D,使 得BD=AD,则∠ADC=2a. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三 角函数（一般用正切）计算即可. 2.半角的构造方法 如图1，已知∠α，构造半角可以用下面两种方法： 方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外 角定理，如图2，延长CB至D,使得BD= BA,则∠D=a,若AC,BC的长度已知，则 容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算. 方法二：如图3，直接作∠α的平分线BE,若 AC,BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC 的值 图1 图2 图3 46 指，点中考数学 例15(2024连云港)在平面直角坐标系xOy中， 例16(2024重庆B如图，在平面直角坐标系中， 已知抛物线y=ax2+bz-1(a,b为常数，a>0). 抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1, (1)若抛物线与x轴交于A(一1,0)，B(4,0) 0),B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴 两点，求抛物线对应的函数表达式： (2)如图，当b=1时，过点C(一1，a),D(1, 是直线x一号 a+2√2)分别作y轴的平行线，交抛物线于点 (1)求抛物线的表达式； M,N,连接MN,MD.求证：MD平分∠CMN. (2)将抛物线沿射线BC方向平移√5个单位， P(5,一3)为原抛物线上一点，点F为点P平 第 移后的对应点，连接AF交y轴于点M,点N 为平移后的抛物线上一点，若∠NMF一 部 ∠ABC=45°，请直接写出所有符合条件的点 分 N的坐标 题型专项攻略 备用图 题型突破 47【例15】(1)解：，抛物线与x轴交于A(一1,0)， B(4,0)两点， ∴.分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=a.x2+ a-b-1=0, bx-1中，得 16a+4b-1=0, 由点A,B的坐标得，直线AB的解析式为 a= y=-x+3. 解得 ∴.抛物线对应的函数表达式 3 6=- 设点C(x,-x2+2x十3)，点D(x,一x+3), 4 则CD=-x2+2+3-(-x+3)=BD=2.x, 为y=x-是-1 解得x=0(舍)或x=3-√2，则BD=√2x= (2)证明：连接CN,如图， 3√2-2， 即菱形的边长为3√2一2. 当BC为边时，同理可得BC=CD,则x2+ (-x2+2x)2=(-x2+3x)2, 解得x=2(不合题意的值已舍去)， 》 则CD=一22+6=2，即菱形的边长为2. ,b=1,.y=ax2+x-1,当x=-1时，y= 综上，菱形的边长为3√2-2或2. a-2,∴.M(-1,a-2). 【例14】解：(1)：二次函数y=-x2+b.x+3与 当x=1时，y=a,.N(1,a), x轴交于点A(一1,0)， .C(-1,a),N(1,a),..CN=2,CM=a- .0=一1-b+3,解得b=2. (a-2)=2,CM⊥CN. (2).b=2,.二次函数的解析式为y=一x2十 在Rt△CMN中，CM=2,CN=2,∴.MN= 2x+3=-(x-1)2+4, √CMP+CN2=2√2. 令y=0,解得x=-1或x=3,令x=0得y=3, ,DN=a+2√2-a=2√2，.DN=MN, ∴.B(3,0),C(0,3). ∴.∠NDM=∠NMD. 设M(m,一m2+2m十3)，作MH⊥x轴于点 .DN∥CM,∴.∠NDM=∠CMD, H,如图， ∴.∠NMD=∠CMD,∴.MD平分∠CMN. 【例16】解：(1)：抛物线y=a.x2+bx-3与x 轴交于A(一1,0)，B两点，交y轴于点C, 抛物线的对称轴是直线x=马 A O a-b-3=0, a= .'∠MAB=∠ACO, b5 解得 2, ∴.抛物线的 2a2 b=- tan∠MAB=tan∠ACO,即Mg-OA AH OC' 表达式为y= ∴二十3-行，解得m=号或m=- 22 2x3 m+1 (舍去)， (2)符合条件的点N的坐标为(5二压 ∴点M的横坐标为号 4-√3)或1+3，.解法提示. 2 ·101· 抛物线沿射线BC方向平移√5个单位，即 x- 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1 理可得2 2x-7+1 个单位， ∴.x=1十√/13或x=1-√13（舍去）， 六新的抛物线为y一2(x十2)2- 6x+2) N1+E,店 3-1=2x2-2x-7,F的坐标为(3，-40， 如图，当点N在y轴的左侧时，过点N作 综上所述，点N的坐标为至4-同 NK⊥y轴于K, 或1+B,. 专项十四 拓展题型 【例1】B【例2】C【例3】20 【例号-26【例】公品 【例6】C【例7】A【例8】B【例9】合 由A(一1,0)，F(3,一4)得直线AF的解析 【例10】解：任务一：减小，反比例函数； 式为y=一x一1， 当x=0时，y=-1,.M(0,-1), 任务二：设1关于m的函数解析式为1= ∴.∠AMO=∠OAM=45°=∠FMK. (k≠0)，∴.k=ml,代入(60,25)，得k=60× ∠NMF-∠ABC=45°，∴.∠NMK+ 25=1500, 45°-∠ABC=45°，∴.∠NMK=∠ABC, ∴l关于m的函数解析式为1=1500 ∴tn∠NMK=m∠ABC-8%-g-2 设空牛奶盒的质量为ag, 设Nr-2-小： 根据题意，得（65十a)=12解得a=10 -n 答：这个空牛奶盒的质量为10g 任务三：由任务二得含65g水的牛奶盒总 质量为75g, 解得m5一压或n=5+,压（舍去）. 2 ,将含65g水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为75× N5-，4-). 15=100·l,解得1=11.25， 20-11.25=8.75, 如图，当点N在y轴的右侧时，过点M作y 轴的垂线MT,过N'作N'T⊥MT于点T, ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边 移动8.75cm. 【例11】A 【例12】解：任务一：冬至，14° 任务二：过点E作EF⊥AB于点F, 则∠AFE=90°，EF=54米，BF=DE. 同理可得∠N'MT=∠ABC, 设N(,7r-2x-7).则T(,-1).同 口品口 甲B D乙 ·102