专项十三 题型4 二次函数与四边形存在性有关的问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

题型4二次函数与四边形存在性有关的问题 题型概览 该题型主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性问题，一般位于压轴题第二问或第 三问，分值为4一6分，难度值为0.2一0.4.渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常 用化斜为直、构造全等或相似等数学方法。 方法归纳 三、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存 第 在性问题 一、平行四边形的存在性问题 此类问题的特点往往是2定点2动点，通 部 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和 过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出 分 边进行分类， 其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一 题 2.三定一动，有三种情况，可借助平移、全等、中 个顶点的坐标.分类的依据往往是以已知两点 点公式等知识确定坐标， 专 所在线段为边或对角线进行分类讨论 项 3.两定两动：以定线段作边或对角线，确定分 四、正方形的存在性问题 类；常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐 略 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同 标公式建等式求解. 时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求 常见设问：已知A,B,求另外两点C,D与A, 点的坐标 B两点构成平行四边形 分类讨论：当AB为边时，找与AB平行且相 例11(2024上海)在平面直角坐标系中，已知平 等的CD利用距离建立数量关系，求出相应 移抛物线y=3x后得到的新抛物线经过点 点的坐标； 当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的 A0,-3）和点B(6,0。 交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横 坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出 两个二元一次方程组来求解， 4.三动点或四动点：往往有不变特征，如两边始 终平行，满足相等即可. 二、菱形的存在性问题（常为含60°角的菱形） (1)求平移后新抛物线的解析式； 通常有两大类： (2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P, 1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点 与原抛物线交于点Q:记点P在原抛物线上 中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形 的对应点为P',如果四边形PBPQ有一组 的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出 对边平行，求点P的坐标 满足条件的菱形 2.已知两个定点探究菱形时，以两个定点连线 所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长 画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满 足条件的菱形 3.计算：建立类似平行四边形的存在性问题来解， 44 指，点中考数学 例12已知抛物线L1:y=a.x2十bx十4与x轴交 例13(2024泸州)如图，在平面直角坐标系xOy 于A(一4,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C 中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3, (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为 0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，已知点D在第二象限的抛物线上， (2)当一1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤ 点E在抛物线的对称轴上，是否存在这样的 2t-1,求t的值： D,E两点使得四边形BCDE为矩形？若存 (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动 在，求D,E两点的坐标：若不存在，请说明 点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D, 第 理由 在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为 顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形 部 的边长；若不存在，说明理由. 分 题型专项攻略 题型突破 45联立直线1和抛物线的解析式得a.x2一 即点D的坐标为(4士2√5,0)或（一4,0）. 6a.x-a3+2a2+1=1, 【例10】解：1)令y=0,则-2x十6=0，则x= 即x2-6x-a2+2a=0, 3:令x=0,则y=6,∴A(3,0),B(0,6), 设点E,F的横坐标为m,n,则m十n=6, 把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx十c, m=-a2+2a, 则EF=(m-n)2=(m十n)2-4mm= 得一9+36+c=0·解得 1c=6, =1:抛物线所 =6, 4(a2-2a+9), 对应的函数表达式为y=一x2十x十6. 则S-2EF=√-2a+9=√a-1y+8>22, (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似， 设点D(t,-+t+6),则E(t,-2t+6), 当a=1时，等号成立，即k的最大值为2√2， C(t,0),∴.EC=-2t+6,AC=3-t,DE= a=1, -+31. 则抛物线G的解析式为y=x2一6.x十2. ,'△BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC, 【例8】解：(1)由题意得y=a(x+1)(x-3)= '.△ACE∽△BDE或△ACEp△DBE. a(x2-2x-3),则-3a=-3,即a=1, ①当△ACE∽△BDE时， 则抛物线的表达式为y=x2一2x一3. ∠BDE=∠ACE=90°， (2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三 .BD∥AC,.点D的纵坐标为6，∴.一+ 角形时，抛物线的对称轴为直线x=1, t十6=6，解得t=0(舍去)或t=1, ,点P,C关于抛物线的对称轴对称， .D(1,6) ∴.点P(2,-3).设Q(m,m2-2m-3), ②当△ACE△DBE时，∠BDE=∠CAE,过 :∠OPQ=90°，∴.OP2+PQ=OQ, 点B作BH⊥DC于点H,如图， .[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-m)2+(-3- +2m+3)2]=(0-m)2+(0-m+2m+3)2, 整理得3m2-8m十4=0， 解得m=号m=2(合去)， .∠BHD=90°，H(t,6),.BH=t,DH= -2+t, 【例9】解：(1)直线y=2x一2与x轴交于点A, ÷B=am∠BDE=an∠CAE-8, DH 与y轴交于点C, 6=2, 则点A,C的坐标分别为(4,0)，(0，一2)， …-+t 则抛物线的解析式为y=a(x-4)(.x十1)= ·-21+21=1,解得1=0（舍去）或1= a(x2-3x-4), 则-4a=-2则a=号 D22军）) 则抛物线的解析式为y一一多 2x2. 综上所述，点D的坐标为1,6或（分，》， (2)设点D(x,0), 【例1】解：（①）设平移抛物线y=弓2后得到的 由点A,C,D的坐标得，AC2=20,AD= (x-4)2,CD=x2十4， 新抛物线为y一3+a十c,把A0,一号)和 则AC=AD或AC=CD,即20=(x-4)3 5 31 或20=x2+4, B(5,0)代人，可得 解得x=4士2√5或4（舍去）或-4， 25+5b十c=0, ·99· b=- 4 (2)y=- 2-x+4. 解得 3 5 ∴.平移后新抛物线的解析式 C=- 3 .对称轴为直线x= 2×(-2) 322、 为y= 32 5 3 当x=0时，y=4,.C(0,4). (2)y= 5-1 ,点D在第二象限的抛物线上，点E在抛 ∴.平移方式为向右平移2个单位长度，向下 物线的对称轴上， 平移3个单位长度 ∴设Dm,-2m-m+4,E(-1,m. 当四边形BCDE为矩形时，四边形BCDE 为平行四边形， [xC十xE=xD十xB, ye十yE=yD十yB, 0+(-1)=m+2, m=一3， 由题意可得点P在点B的右侧，当BP∥ 即 4+m=-2m2-m+4+0,“n=- 2 PQ时，BP⊥y轴，.xp=xB=5, P(5,)由平移的性质得P(5+2 ∴D(-3,)E(-1,-2）. 罗-3，即P, :cE=√0-(1+[4(J-5, 如图，当P'Q∥BP时，∠PQT=∠BPT, 过P作P'S⊥QP于S, BD2-(-3F+g-0-55, ∴.∠P'SQ=∠BTP=90°， ∴.CE=BD,∴.四边形BCDE为矩形，符合 .△P'SQ∽△BTP 题意 D-3,8)E(-1,-) 【例13】解：(1)A(3,0),抛物线的对称轴为直线 x=1, 则抛物线和x轴的另外一个交点为（一1,0）， 则抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一3)= 器跃 a.x2+bx十3，解得a=-1, 设P(,r)则P(x+2,号-3)，s(x+ 则抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. (2)当-1≤x≤t时，x=一1时，y=-x2+ 2,号x),Qx+2,3r+2,T+2,0 2.x+3=0,取得最小值， 3x+22-3 则x=t(t小于3)时，y取得最大值， 含-3 而抛物线的顶点处取得最大值，抛物线的顶 2 x+2-5 点坐标为(1,4)， 解得x=1(不符合题意舍去). 即2t-1=4,解得t=2.5. 综上，点P的坐标为亿，)， (3)存在，理由： 由抛物线的解析式知，点B(0,3),当BC是 【例12】解：(1)y= 22-x+4 对角线时，对应菱形为BDCE, ·100· 【例15】(1)解：抛物线与x轴交于A(一1,0)， B(4,0)两点， ∴.分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=a.x2+ a-b-1=0, bx-1中，得 16a+4b-1=0, 由点A,B的坐标得，直线AB的解析式为 a= y=-x十3. 解得 抛物线对应的函数表达式 3 6=- 设点C(x,-x2+2.x十3)，点D(x,-x+3), 4 则CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=√2.x, 为y=--1 解得x=0(舍)或x=3一√2，则BD=√2x= (2)证明：连接CV,如图， 3√2-2， 即菱形的边长为3√2一2. 当BC为边时，同理可得BC=CD,则x2+ (-x2+2x)2=（-.x2+3x)2, 解得x=2(不合题意的值已舍去)， 则CD=一22+6=2，即菱形的边长为2. ,b=1,∴y=ax2+x-1,当x=-1时，y= 综上，菱形的边长为3√2-2或2. a-2,∴.M(-1,a-2), 【例14】解：(1)，二次函数y=一x2十bx+3与 当x=1时，y=a,∴.N(1,a), x轴交于点A(一1,0)， C(-1,a),N(1,a),.CN=2,CM=a ∴.0=-1-b十3，解得b=2. (a-2)=2,CM⊥CN. (2),b=2,.二次函数的解析式为y=一x2十 在Rt△CMN中，CM=2,CN=2,∴.MN= 2x+3=-(x-1)2+4, √CP+CV2=2√2. 令y=0,解得x=-1或x=3,令x=0得y=3, ,DN=a+22-a=2√2，∴.DN=MN, .B(3,0),C(0,3). ∴.∠NDM=∠NMD 设M(m,-m2+2m+3),作MH⊥x轴于点 .DN∥CM,∴.∠NDM=∠CMD, H,如图， ∴.∠NMD=∠CMD,∴.MD平分∠CMN. 【例16】解：(1)：抛物线y=a.x2+bx-3与z 轴交于A(一1,0)，B两点，交y轴于点C, 抛物线的对称轴是直线x= 2 A 0 1 a-b-3=0, a= 2 .'∠MAB=∠ACO, b=5 解得 ∴.抛物线的 2a2' = tan∠MAB=tan∠ACO,即Mg-OA AH OC' 表达式为y= ∴m十3=3解得m=号或m=-】 22 2x3. m+1 (舍去)， (2)符合条件的点N的坐标为(5,3 ÷点M的横坐标为 43)或1+3，-.解法提示. 2 ·101·