专项十三 题型3 二次函数与三角形存在性有关的问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

联立直线L和抛物线的解析式得ax2 即点D的坐标为(4士2√5,0)或（一4,0）. 6a.x-a3+2a2+1=1, 【例10】解：(1)令y=0,则-2x十6=0，则x= 即x2-6x-a2+2a=0, 3:令x=0,则y=6,A(3,0),B(0,6), 设，点E,F的横坐标为m,,则m十n=6, 把A(3,0),B(0,6)代人y=-x2+bx十c, nm=-a2+2a, 则EF=(m-n)2=(m十n)2-4m= 得 一936+=0解得-6 c=6, b-1抛物线所 4(a2-2a+9), 对应的函数表达式为y=一x2十x十6. 则-2EF=√a-2a+9=√a-D+8≥22， (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似， 设点D(t,一+t+6),则E(t,-2t+6) 当a=1时，等号成立，即k的最大值为2√2， C(t,0),.EC=-2t+6,AC=3-t,DE= a=1, -+3t. 则抛物线G的解析式为y=x2一6x十2. ",'△BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC, 【例8】解：(1)由题意得y=a(x十1)(x-3)= ∴.△ACEC∽△BDE或△ACE∽△DBE. a(x2-2x-3),则-3a=-3,即a=1, ①当△ACE∽△BDE时， 则抛物线的表达式为y=x2-2x一3. ∠BDE=∠ACE=90°， (2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三 .BD∥AC,.点D的纵坐标为6，∴.一十 角形时，抛物线的对称轴为直线x=1, t+6=6,解得t=0(舍去)或t=1, ,点P,C关于抛物线的对称轴对称， ∴.D(1,6) .点P(2,-3).设Q(m,m2-2m-3), ②当△ACE∽△DBE时，∠BDE=∠CAE,过 ∠OPQ=90°..OP+PQ=0Q, 点B作BH⊥DC于点H,如图， .[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-m)2+(-3 +2m十3)2]=(0-m)2+(0-m+2m+3)2, 整理得3m2一8m十4=0， 解得m=号m=2(合去) ∴.∠BHD=90°，H(t,6),∴.BH=t,DH= ∴.m= -2+t, 【例9】解：1)直线y=2x-2与x轴交于点A, :8器=m∠BDE=am∠CAE-8界. DH 与y轴交于点C, t 6二2 则点A,C的坐标分别为(4,0)，(0，一2)， …-2+t 则抛物线的解析式为y=a(x一4)(x+1)= ∴-2r+21=1,解得1=0（舍去）或1=， a(x2-3.x-4), 则-4a=-2则a=分 D(2) 则抛物线的解析式为y一 2x-2. 综上所述，点D的坐标为1,6)或（合，）， (2)设点D(x,0), 【例11】解：)设平移抛物线y=了后得到的 由点A,C,D的坐标得，AC=20,AD= (x-4)2,CD=x2+4, 新抛物线为y一专2+hr十c,把A(0,-号)和 则AC=AD或AC=CD,即20=(x-4)2 5 3 或20=x2+4, B(5,0)代入，可得 解得x=4士2V5或4（舍去）或-4， ·99·题型3二次函数与三角形存在性有关的问题 题型概览 99999 该题型主要考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形的存在性问题，一般位于压轴题第二问 或第三问，分值为4一6分，难度值为0.2~0.4.渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思 想，常用化斜为直、构造等数学方法 方法归纳 为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会 第 用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角 一、等腰三角形存在性 另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾 部 根据等腰三角形的定义，若△ABC为等腰 股定理的计算来确定直角三角形 分 三角形，则有三种可能情况：(1)AB=BC; 2.解题思路 题 (2)BC=CA;(3)CA=AB.但根据实际图形的 (1)按三个角分别可能是直角的情况进行 型 差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形 专 讨论； 项 的存在性问题，往往有两个甚至更多的解，在解 (2)计算出相应的边长等信息； 攻 题时需要尤其注意， (3)根据边长与已知点的坐标，计算出相应的 略 1.知识内容 点的坐标 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方 三、相似三角形存在性 法有但不仅限于以下几种： 1.求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已 (1)勾股定理：找到直角三角形，利用两边的 知三角形的边和角的特点，进而得出已知三 长度表示出第三边； 角形是否为特殊三角形.根据未知三角形中 (2)两点间距离公式 已知边与已知三角形的可能对应边分类 2.解题思路 讨论 (1)利用几何或代数的手段，表示出三角形的 2.在已知三角形中利用对应角，在未知三角形 三边对应的函数式； 中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小 (2)根据条件分情况进行讨论，排除不可能的 3.若两个三角形的各边均未给出，则应先设所 情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式 求，点的坐标进而用函数解析式来表示各边的 方程)： 长度，之后利用相似来列方程求解。 (3)解出方程，并代回原题中进行检验，舍去 例8(2024遂宁)二次函数y=ax2十bx十c(a≠ 增根， 0)的图象与x轴分别交于点A(一1,0)，B(3, 二、直角三角形存在性 0),与y轴交于点C(0,一3)，P,Q为抛物线 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显 上的两点， 然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B= 90°：③∠C=90°.在大多数问题中，其中某两种 情况会较为简单，剩下一种则是考查重点，需要 用到勾股定理， 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1.知识内容 备用图 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作 (1)求二次函数的表达式： 42 指，点中考数学 (2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称， 例10(2024内江)如图，在平面直角坐标系中， △OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形 一次函数y=一2x十6的图象与x轴交于点 时，求点Q的坐标 A,与y轴交于点B,抛物线y=一x2十bx十c 经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一 点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交AB于 点E 第 部 备用图 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； 题 例9(2024齐齐哈尔)综合与探究 (2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y= 似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在， 项 2x一2与x轴交于点A,与y轴交于点C,过 1 请说明理由。 略 A,C两点的抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与 x轴的另一个交点为点B(一1,0)，点P是抛 物线位于第四象限图象上的动点，过点P分 别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC 于点E,点F. 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是 以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D 的坐标. 题型突破 43