专项十三 题型2 二次函数与面积有关的问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

题型2二次函数与面积有关的问题 题型概览 99999粉 此题型考查面积等量关系、面积平分、面积最值问题，一般位于压轴题第二问或第三问，分值 为3~5分，难度值为0.3~0.4，渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，常用化斜为 直、割补法、铅垂法等数学方法， ·方法归纳 (4)根据C,D的坐标求得铅垂高； 第 方法一利用割补 (6)S=2水平宽×铅垂商。 部 将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中 方法三 其他面积方法 分 需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴 如图1，同底等高三角形的面积相等，平行线间 (例如以下最后两图中，连接BD解法不简便). 的距离处处相等， 题型专项攻略 如图2，同底三角形的面积比等于高的比 如图3，同高三角形的面积比等于底的比. S=AB·PE SMN=S△r十S 图1 /图2 图3 例5(2024眉山)如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交于点A(一3,0)和点B,与y轴交于 点C(0,3),点D在抛物线上. Sue-ODCE S国边D=S样十S2m =Sax十S△u 备出图 S由塔n=S△￥D十S保形nD+ SHm=S△xD十 (1)求该抛物线的解析式： SAUe+SM (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积 为3时，求点D的坐标 方法二铅垂法 (1)求A,B两点水平距离， 即水平宽； (2)过点C作x轴的垂线 与AB交于点D,可得点D D 的横坐标同点C; (3)求直线AB的解析式，并将点D的横坐标代 入解析式，得点D的纵坐标： 40 指点中考数学 例6(2024湖南)已知二次函数y=一x2十c的 例7(2024广州)已知抛物线G:y=a.x2一6a.x一 图象经过点A(一2,5)，点P(x,y1),Q(x2, a3+2a2+1(a>0)过点A(1,2)和点B(2, y)是此二次函数的图象上的两个动点 2),直线l:y=mx十n过点C(3,1),交线段 (1)求此二次函数的表达式： AB于点D,记△CDA的周长为C,△CDB (2)如图，此二次函数的图象与x轴的正半轴 的周长为C2,且C=C2十2. 交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作 (1)求抛物线G的对称轴： PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC, (2)求m的值： D0,P0若=十3，求证：的值为 (3)直线1绕点C以每秒3的速度顺时针旋 第 转t秒后(0≤t<45)得到直线1，当1∥AB 定值 时，直线交抛物线G于E,F两点， 部 分 ①求t的值： ②设△AEF的面积为S,若对于任意的a> O,均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物 专项 线G的解析式。 0 题型突破 41当点C,E,D三点共线时，CE十ED的值 (2)证明：令y=-x2+9=0, 最小，最小值为CD的长， 则x=士3，则点B(3,0), ·'△CDE的周长为CD+CE+DE, 由点A,B的坐标得，直线AB的表达式为 ∴.△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+ y=-x+3. CD,此时周长最小 设点P,Q,D的坐标分别为(x,一x十9)， 设直线CD的解析式为y=kx十3(k≠0)， (x2,-x号+9)，(x1,-+3), 把点D(1,-4)代人得，k+3=-4, 解得k=一7， 则Smo=7×PDX(0-m)=号X(-+ ∴.直线CD的解析式为y=一7x十3. 9+4-3)-)=(-++6. 当y=0时，-7x十3=0，解得x=号， 同理可得S△e= ×CDX(n-)= E(号0)， 2（-++6 ∴.CD=√(0-1)2+(3+4)严=52， ∴.△CDE的周长的最小值为CD十CD= 则-3为定值 2+5√2=62， 【例7】解：(1)由抛物线的解析式知，其对称轴为 '△CDE的周长最小时，点E的坐标为 直线x=-,6a-3. 2a (号，0)，此时△CDE的周长为6厄. (2)直线l:y=mx+n过点C(3,1), 【例5】解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y= 则该直线的解析式为y=m2(x一3)+1， -x+bx十c得 1-9-3b+c=0, 当y=2时，2=(-3)+1，则m=元+3 c=3, .C=C+2,AC+CD+AD=BC+ 解得 b=-2, CD+BD+2. c=3, ∴.抛物线的解析式为y=一x2一2x十3. 其中AC=BC,上式变为AD=BD+2, (2)过点D作DK∥y轴交AC于点K, 即2xD=xA十xB十2， 如图. 而函数的对称轴为直线x=3,由函数的对 称性知，xA十xB=2×3=6, 即2m=十十2=8，则0=4+3， 解得m=士1. (3)①当m=士1时，一次函数的解析式为 y=m(x-3)+1=x-2, 由A(-3,0),C(0,3)得直线AC的解析式 该直线和x轴的夹角为45°，则t=45÷3 为y=x+3. 15(秒). 设D(t,一一2t+3),则K(t,t十3)， ②由①知，1为y=1,如下图： ∴.DK=-2-2t+3-(t+3)=-2-3t, ∴2DK·xa-xc=3,即2(-f-3)× 3=3,解得t=一1或t=一2， .点D的坐标为（一1,4）或（一2,3）. 【例6】(1)解：将点A的坐标代入抛物线表达式 得5=一4十c,则c=9, 即抛物线的表达式为y=一x十9. 则S=×EFX(-y)=EF ·98· 联立直线L和抛物线的解析式得ax2 即点D的坐标为(4士2√5,0)或（一4,0）. 6a.x-a3+2a2+1=1, 【例10】解：(1)令y=0,则-2x十6=0，则x= 即x2-6x-a2+2a=0, 3:令x=0,则y=6,A(3,0),B(0,6), 设，点E,F的横坐标为m,,则m十n=6, 把A(3,0),B(0,6)代人y=-x2+bx十c, nm=-a2+2a, 则EF=(m-n)2=(m十n)2-4m= 得 一936+=0解得-6 c=6, b-1抛物线所 4(a2-2a+9), 对应的函数表达式为y=一x2十x十6. 则-2EF=√a-2a+9=√a-D+8≥22， (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似， 设点D(t,一+t+6),则E(t,-2t+6) 当a=1时，等号成立，即k的最大值为2√2， C(t,0),.EC=-2t+6,AC=3-t,DE= a=1, -+3t. 则抛物线G的解析式为y=x2一6x十2. ",'△BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC, 【例8】解：(1)由题意得y=a(x十1)(x-3)= ∴.△ACEC∽△BDE或△ACE∽△DBE. a(x2-2x-3),则-3a=-3,即a=1, ①当△ACE∽△BDE时， 则抛物线的表达式为y=x2-2x一3. ∠BDE=∠ACE=90°， (2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三 .BD∥AC,.点D的纵坐标为6，∴.一十 角形时，抛物线的对称轴为直线x=1, t+6=6,解得t=0(舍去)或t=1, ,点P,C关于抛物线的对称轴对称， ∴.D(1,6) .点P(2,-3).设Q(m,m2-2m-3), ②当△ACE∽△DBE时，∠BDE=∠CAE,过 ∠OPQ=90°..OP+PQ=0Q, 点B作BH⊥DC于点H,如图， .[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-m)2+(-3 +2m十3)2]=(0-m)2+(0-m+2m+3)2, 整理得3m2一8m十4=0， 解得m=号m=2(合去) ∴.∠BHD=90°，H(t,6),∴.BH=t,DH= ∴.m= -2+t, 【例9】解：1)直线y=2x-2与x轴交于点A, :8器=m∠BDE=am∠CAE-8界. DH 与y轴交于点C, t 6二2 则点A,C的坐标分别为(4,0)，(0，一2)， …-2+t 则抛物线的解析式为y=a(x一4)(x+1)= ∴-2r+21=1,解得1=0（舍去）或1=， a(x2-3.x-4), 则-4a=-2则a=分 D(2) 则抛物线的解析式为y一 2x-2. 综上所述，点D的坐标为1,6)或（合，）， (2)设点D(x,0), 【例11】解：)设平移抛物线y=了后得到的 由点A,C,D的坐标得，AC=20,AD= (x-4)2,CD=x2+4, 新抛物线为y一专2+hr十c,把A(0,-号)和 则AC=AD或AC=CD,即20=(x-4)2 5 3 或20=x2+4, B(5,0)代入，可得 解得x=4士2V5或4（舍去）或-4， ·99·