专项十三 题型1 二次函数与线段有关的问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

BE=10,∴EM=10-x,10-xy 2=工 于点F,连接FE交AQ于点G,如图2. ∴y=- r+5x=x-5)r+12.5 :-号<0，…当x=5时，=12.5，即 HE的最大值为12.5. 图2 (3)2OM+HB的最小值为2√22I. AF⊥AC,∠ACF=45°，∴.AF=AC. 【例11】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠PAE=∠QCE=45°. 又E-2AE能-器-号 .CE=2AE,AP=t,CQ=2t, '-铝△MErv△cQ tan∠AFE= Γ3 (2)解：如图1，过点E作EM⊥AB于点M, :tan_AQE=-3∴∠AFE=∠AQE 过点E作EN⊥BC于点N. ,∠AGF=∠EGQ,.△AGF∽△EGQ, .AG_GF …EGGQ '∠AGE=∠FGQ,∴.△AGE∽△FGQ, ∴∠AEG=∠FQG. ,∠AFE+∠AEF=90°， 图1 ∴.∠FQG+∠EQG=90°，即∠FQE=90°， 由题意知AE=2√2，AM=ME=2,EN= ∴.AB∥EQ,△EQC是等腰直角三角形， CN=4,AP=,CQ=21,BQ=6-2t,MP= 1t-2|,BP=6-t,QN=|21-4|, :瓷-%.即9%-=号Qc=QE-=4, ∴.EP=EM+MP,即EP=2+(2-t)2= 2-41+8, S△Ao=S△0-S0=2QC·AB PQ2=BP2+BQ,PQ=(6-)2+(6- 2Qc·BQ-号×4X6-号×4X4=4cm. 21)2=5-36t+72, EQ=ENP+NQ,即EQ=42+(2t一4)2= 专项十三二次函数综合题 42-161+32. 【例1】解：(1)，二次函数y=一x2十bx十3的 ①当∠EPQ=90°时，EQ=EP2+PQ,即 图象与x轴交于A(-1,0),∴.0=-1一b+ 4-16t+32=2-4+8+52-36t+72, 3,解得b=2. 整理得2-121+24=0，解得4=6-23， (2)①y=-x2+2x十3=-(x-1)2+4. t2=6+2√3（不合题意，舍去）： ,将二次函数的图象沿水平方向平移， ②当∠PEQ=90°时，PQ=EP+EQ,即 .顶点的纵坐标不变为4， 5-36t+72=-41+8+4r-161+32, ∴.图象L的解析式为y=一(x一n)2+4= 整理得t一2=0，解得t=2. -x2+2x-2+4,∴.N(0,-2十4)， ③当∠PQE=90°时，EP=PQ+EQ,即 又点C的坐标为(0,3)， t-4t+8=5-36t+72+4-16t+32, ∴.d=CN=|-2+4-3=|-n2+1, 整理得一6t十12=0，该方程无实数解. n2-1(n≥1或≤-1)， ,∴d 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的 -2+1(-1<n<1). 值为6-23或2. ②n的取值范围为一1≤n≤1一√3或√2≤ (3)解：过点A作AF⊥AC,交CB的延长线 n<3. ·96 【例2】解：(1)把B(3,m)代入y=x十2得m= 3+2=5,∴.B(3,5), 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c -4-2b+c=0 得-9+3b+6=5 解得62 c=8, ∴抛物线的解析式为y=一x2+2x十8. (2)设P(t,一t+2t+8),则E(t,t+2), 当m=2时取得最大值1》 D(t,0), 解得b=-3或b=5(舍去). .PE=2DE. .-2+21十8-(1+2)=2(1+2)， ②当>3，即6-5时， 解得t=1或t=一2（此时P不在直线AB 由图可知， 上方，舍去) ∴.P点坐标为(1,9). 【例3】解：(1)抛物线与x轴交于A(一1,0)， B(4,0)两点， ∴.分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=a.x2+ 当m=3时，t取得最大值-9+3一3b=4, x-1中，得16a十4h-1=0 a-b-1=0. a-i 解得 解得b= 6、 3 9(含去. 4 综上所述，b的值为一3. “抛物线对应的函数表达式为y=寻？ 【例4】解：(1)抛物线y=a.x2+bx+c交y轴于 点C(0,-3),顶点为D(1,一4)， 是-1 c=-3, a=0, (2)当a=1时，y=x2+bx-1, b一1 2a 解得b=0,(不符合题 设G(m,m-1),则H(m,m2+bm-1),1≤ Aac-b2 m≤3. =一4， 1c=-3 Aa :过直线y=x一1(1≤x≤3)上一点G作y a=1, 轴的平行线， 意，舍去)或b=一2， ∴.令z2十bx-1=x-1,解得0=0,2=1一6. c=-3, b≤-2，x2=1-b≥3，点G在H的上 .二次函数的解析式为y=x2一2x一3. 方，如图. (2)存在.理由如下： .C(0,-3),D1,-4) .CD=(0-1)2+(-3+4)2=√2， 如图所示，作点C关于x轴的对称点为 C'(0,3) 连接CE,则CE=CE, 设GH=t,则t=一m2+(1一b)m, 其对称轴为m=且>是 ①当号<2<3.即-5<<-2时， 由图可知， : ·97· 当点C,E,D三点共线时，CE十ED的值 (2)证明：令y=一x2+9=0, 最小，最小值为CD的长， 则x=士3，则点B(3,0), ,△CDE的周长为CD十CE+DE, 由点A,B的坐标得，直线AB的表达式为 '.△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+ y=-x+3. CD,此时周长最小. 设点P,Q,D的坐标分别为(，一x十9) 设直线CD的解析式为y=kx十3(k≠0)， (x2,-x3+9),(x1,-十3)， 把点D(1,一4)代入得，k十3=一4， 解得k=-7, 则Sm=号×PDX(0-m)=号X(-+ ∴.直线CD的解析式为y=一7x十3. 9+-3s-)=多(-+西+6. 当y=0时，一7x十3=0，解得=号， 同理可得SAAc= 号×CDX(-x)= ∴E号，o, (-++60, ∴.CD=√(0-1)+(3+4)=52， ∴.△CDE的周长的最小值为CD+CD 测股-3为定值 √2+5√2=6√2， 【例7】解：(1)由抛物线的解析式知，其对称轴为 ∴△CDE的周长最小时，点E的坐标为 直线x=一 6a=3. 2a (号，0)，此时△CDE的周长为62. (2)直线l:y=mx+n过点C(3,1), 【例5】解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y= 则该直线的解析式为y=m2(x-一3)+1， -9-3b+c=0, -x2+bx十c得 当y-2时，2=m一3)+1.则m+3 c=3, 解得 b=-2, .'C=C2+2,AC+CD+AD=BC+ CD+BD+2. c=3, ∴.抛物线的解析式为y=一x2-2x十3. 其中AC=BC,上式变为AD=BD+2, (2)过点D作DK∥y轴交AC于点K, 即2.xD=xA十xB十2， 如图. 而函数的对称轴为直线x=3,由函数的对 称性知，xA十xB=2X3=6, 即2n=x4十十2=8，则m=4=+3, 解得m=士1. (3)①当m=土1时，一次函数的解析式为 y=m2(x-3)+1=x-2, 由A(一3,0)，C(0,3)得直线AC的解析式 该直线和x轴的夹角为45°，则t=45÷3 为y=x+3. 15(秒). 设D(t,-t2-2t+3),则K(t,t+3), ②由①知，l为y=1,如下图： .DK=-2-2t+3-(t+3)=-t-3t, ∴2DK·x1-C=3,即2（-f-3)× 3=3,解得t=-1或t=-2, ∴.点D的坐标为(-1,4)或（一2,3）. 【例6】(1)解：将点A的坐标代入抛物线表达式 得5=-4+c,则c=9, 即抛物线的表达式为y=一x2十9. 则S=XEFX(A-)=2EF, ·98专项十三 二次函数综合题 题型1二次函数与线段有关的问题 题型概览 666666 元 该题型考查线段的数量关系、求线段最值、求线段比值最值三类考点，一般在压轴题第二问或 第三问，分值为3一5分，难度值为0.3~0.4：渗透数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思 想，常用化斜为直、换元、整体代换等数学方法 第 ◆方法归纳 二、利用二次函数性质求线段最值 1.竖直线的最值问题：设出点的坐标，表示出线 部 一、线段的数量关系 分 段的长，利用二次函数性质求解。 1.线段长度的表示 题 2.斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构 (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上 造三角形将斜线段转化为竖直线段求解.如 端点与下端点纵坐标的差： 项 过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角 攻 (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右 略 形，具体方法如下： 端点与左端点横坐标的差： 方法一：可通过构造的三角形与某三角形相 (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式 似，将斜线段转化为竖直线段： 表示线段长，如点A(1,y),点B(x2,y2),则 方法二：利用平行线性质将所构造三角形中 AB=V(-x2)+(y-) 的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段 2.求解线段数量关系问题 转化为竖直线段： (1)两条线段在同一条直线上 方法三：若构造后的三角形含特殊角，则直接 ①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的 利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为 长，再根据线段数量关系列方程求解； 竖直线段 ②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线 3.求线段比值最值问题：找出含有比值线段的 段数量关系列方程求解：或先以两条线段为 斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利 两个相似三角形，利用相似的性质将线段比 用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行 值进行转化，再利用二次函数性质求解 转化 例1(2024湖北)在平面直角坐标系中，抛物线 (2)两条线段不在同一条直线上 y=一x2+bx十3与x轴交于点A(-1,0)和 ①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条 点B,与y轴交于点C 线段的长，再利用线段数量关系列方程求解； ②若两条线段的长无法直接表示，则可通过 找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将 其转化为可直接表示的两条线段的数量关 系，再求解。 备川图 题型突破 37 (1)求b的值： 例2(2024凉山)如图，抛物线y=一x2+bx+c (2)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛 与直线y=x十2相交于A(一2,0)，B(3,m) 物线记为L,L与y轴交于点N,设L的顶点 两点，与x轴相交于另一点C. 横坐标为n,NC的长为d. ①求d关于n的函数解析式： ②L与x轴围成的区域记为U,U与△ABC 第 内部重合的区域（不含边界）记为W,当d随 的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐 不升 (1)求抛物线的解析式： 部 标均为整数的点时，直接写出n的取值范围。 (2).点P是直线AB上方抛物线上的一个动 分题型专项攻略 点（不与A,B重合），过点P作直线PD⊥x 轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED 时，求P点坐标 38 指点中考数学 例3(2024连云港)在平面直角坐标系Oy中，已 例4抛物线y=ax2十bx十c分别交x轴于点A, 知抛物线y=ax2+hx一1(a,b为常数，a>0). B,交y轴于点C(0,一3)，顶点为D(1,一4). (1)若抛物线与x轴交于A(一1,0)，B(4,0) (1)求该二次函数的解析式： 两点，求抛物线对应的函数表达式： (2)如图，点E是x轴上一动点，连接CD, (2)当a=1,b≤-2时，过直线y=x-1(1≤ CE,DE,是否存在一点E,使得△CDE的周 x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线 长最小，若存在，请求出点E的坐标及此时 于点H.若GH的最大值为4，求b的值 △CDE的周长：若不存在，请说明理由， 第 一部分题型专项攻略 题型突破 39