专项十 函数实际应用型问题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项十 函数实际应用型问题 题型概览 99999 函数的实际应用型问题是中考试卷的常考问题，主要考查学生利用所学的函数知识解决实际 生活中的最值问题，方案抉择问题，面积型问题，以及抛物线型问题等，通常以解答题的形式出 现，分值在8分左右，选择题也有出现.培养学生的抽象能力，运算能力，数据观念，应用意识等 学科素养.解答此类问题的关键是把实际问题转化成数学问题，准确的分析出变量之间的函数关系 第 式，从而利用函数解决问题。 部 题型1增长率问题 辆汽车的销售利润为(y一15)万元，平均每周 分 题 例1(2024湖北模松)(8分)在国家积极政策的 可售出8+25Y×1=(58-2辆， 0.5 鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车 专 根据题意得(y一15)(58-2y)=96,·6分 项 的市场需求逐年上升， 整理得y2一44y十483=0，解得4=21,2=23， 攻 (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新 略 又，要尽量让利于顾客，y=21. 能源汽车的销售总量增长了96%.求该汽车 答：下调后每辆汽车的售价为21万元. 企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增 …8分 长率； 题型2最大利润型问题 (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进 价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间 例2(2024湖北模拟)某校八年级学生小丽、小 后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时， 强和小红到某超市参加了社会实践活动，在 平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平 活动中他们参与了某种水果的销售工作，已 均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使 知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在 平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让 活动结束后的对话。 利于顾客，求下调后每辆汽车的售价。 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每 》规范答题 天可售出300千克： 解：(1)设该汽车企业这两年新能源汽车销售 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每 总量的平均年增长率为x,该汽车企业2020年 天可获取利润750元。 新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量 2022年新能源汽车销售总量为(1十96%)a辆， y(千克)与销售单价x(元/千克)(x>8)之间 根据题意得a(1十x)2=(1十96%)a,…2分 存在一次函数关系。 解得x1=0.4=40%,x2=一2.4（不符合题 (1)求y(千克)与x(元/千克)(x>8)的函数 意，舍去) 解析式； 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量 (2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水 的平均年增长率为40%。…4分 果每天获取的利润达到600元？【利润=销 (2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每 售量×（销售单价一进价）】 22 指，点中考数学 (3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量 全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少 均不低于225千克，则此时该超市销售这种 件A种组合？最大利润为多少？ 水果每天获取的最大利润是多少？ 第一部分题型专项攻略 例3(2024德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物 题型3方案抉择问题 质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用 例4(2024哀城适应考)某工厂计划从A,B两种 罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过 产品中选择一种生产并销售，每日产销x件. 传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序 两种产品成本价、售价及每日需支付的专利 手工制作而成.为了迎接端午节，进一步提升 费如下表所示： 糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯 类别 成本价 售价 每日需支付的 米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A,B两种 产品 (元/件) (元/件) 专利费（元）】 组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和 m(m为常数， 8 30 6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个 且4≤m≤6) 肉棕.A,B两种组合的进价和售价如下表： B 12 20 y 价格 其中A产品每日最多产销500件，B产品每 A B 日最多产销300件，B产品每日需支付专利 进价（元/件） 94 146 费y(元)与每日产销x(件)满足关系式y= 售价（元/件） 120 188 80+0.01x2. (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉棕的进价分 (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为 别为多少？ 元，2元，请分别写出心，2与x的函数解 (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量 析式，并写出x的取值范围； 是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合 (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润 的总件数不超过95件，假设准备的两种组合 (A产品的最大日利润用含m的代数式表示)： 题型突破 23 (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销 (3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取 哪种产品？并说明理由 值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 【利润=（售价一成本）×产销数量一专利费】 第 一部分 题型专项攻略 例6工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的 矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要 将四角各裁掉一个正方形.（厚度不计） 题型4面积型问题 例5合与夹龚数学来源于生活，同时数学 2024思施摸松 也服务于生活， 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙 角内的P处有一棵古树与墙CD,AD的距离 分别是13m和6m,在美化校园的活动中， (1)若长方体底面面积为12dm2,求裁掉的正 某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长）， 方形的边长： 用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底 (篱笆只围AB,BC两边)，设AB=xm 面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最 积的最小值： 大，且要将这棵古树P围在花园内（含边界， (3)在(2)的条件下，由于实际需要，将容器内 不考虑树的粗细)， 侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分米 【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与 需要的费用为0.5元，底面每平方分米需要 边长x(即AB的长)的函数解析式求出，并利 的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少 用函数的性质来求面积的最大值即可. 时，总费用最低，最低为多少？ (1)请用含有x的代数式表示BC的长； (2)花园的面积能否为192m?若能，求出x 的值：若不能，请说明理由。 24 指，点中考数学 题型5抛物线形问题 例8(2024湖北模拟)根据以下素材，探索完成 例7如图1所示的某种发石车是古代一种远 任务 程攻击的武器.将发石车置于山坡底部O处， 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如 图1中有一座拱桥 图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的 图2是其抛物线形桥 石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看 拱的示意图，某时测 作抛物线y=a(x一20)2十k的一部分，山坡 得水面宽20m,拱顶 素材1 OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD, 离水面5m.据调查， 图 第 墙宽BC=2m,BC与x轴平行，点B与点O 该河段水位在此基 础上再涨1.8m达 的水平距离为28m,垂直距离为6m. 20m 一部 到最高 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10m ①求抛物线的解析式： 为迎佳节，拟在图1 ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙： 桥洞前面的桥拱上 悬挂40cm长的灯 (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上 题型专项攻 笼，如图3.为了安 (包括端点B,C),求a的取值范围. 全，灯笼底部距离水 桥拱 面不小于1m:为了 40 cm 素材2 实效，相邻两盏灯笼 安全距离最高 悬挂点的水平间距 图3 水位 均为1.6m:为了美 图2 观，要求在符合条件 处都挂上灯笼，且挂 满后成轴对称分布 问题解决 确定桥 在图2中建立合适的直角坐标系， 任务1 拱形状 求抛物线的函数解析式 在你所建立的坐标系中，仅在安全 探究悬 任务2 的条件下，确定悬挂点的纵坐标的 挂范围 最小值和横坐标的取值范围 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼 拟定设 任务3 数量，并根据你所建立的坐标系，求 计方案 出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标 题型突破 25又.OE=OH,.四边形AEOH是正方形， CD=CB,DH=BM,∴.△HDC≌△MBC ∴.OE=OH=A'H. (SAS),∴.∠BCM=∠DCH,CM=CH. 又：OE是△ACA的中位线∴OE-=2AC, 由(1)可得∠ABD=30°，又AB是直径，则 ∠ADB=90°， ∴A'H=CH=)A'C,∴OH=CH. ∠A=60°，∠DCB=180°-∠A=120. 又，∠A'HO=90°，∴∠OCH=45. ,∠MCN=60°，∴.∠BCM+∠NCD=120° ∠NCM=120°-60°=60°， 又.OE∥A'C,∴.∠AOE=45° ∴.∠DCH+∠NCD=∠NCH=60°， 又，∠AEO=90°，∴.△AEO是等腰直角三 ∴.∠NCH=∠NCM. 角形，AE=OE. ,NC=NC,.△CNH≌△CNM(SAS), 设AE-E-r,则AO=DO√AE+OE=2, ..NH=MN, ∴.DE=DO-OE=√2r-r=(W2-1)r. ,∴.MN=DH+DN=BM+DN. 在Rt△ADE中，AE+DE=AD,AD= 专项十函数实际应用型问题 1,即2+(2-1)22=12， 【例2】解：(1)当销售单价为13元/千克时，销售 1 =2+2 1+(2-1)24-22 4 量为10g=150(千克)。 ⊙0的面积为2=2+2 设y与x的函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 4π. 300=10k+b, 把(10,300)，(13,150)分别代入得 【例7】(1)证明：，CF⊥OE,OC是半径， 150=13k+b. ∴.CF是⊙O的切线 k=-50, BE是⊙O的切线，.BF=CF 解得6一800， EF=2BF,∴.EF=2CF, ∴y与x的函数解析式为y=一50x十800 nB蛋- (x>8). (2)由题意得(-50x+800)(x-8)=600, ∴.∠E=30°，∠EOB=60°. 解得x=14或10. CD=CB,∴.CD=CB,∴.OC⊥BD 答：当销售单价为每千克10元或14元时， AB是直径，.∠ADB=90°=∠EBO. 每天获取的利润达到600元. ·∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°， (3)设这种水果每天获取的利润为W元， 六∠E∠ABD=30,AD=B0=2AB, 则W=(-50x+800)(x-8)=-50(x 12)2+800, ∴.△ADB≌△OBE(AAS). ∴.当8<x≤12时，W随x的增大而增大 (2)解：MN=BM+DN,理由如下： 又水果每天的销售量均不低于225千克， 延长ND至H使得DH=BM,连接CH, .-50.x+800≥225，∴.x≤11.5. BD,如图所示. ∴.当x=11.5时，Wx=-50X(11.5-12)2+ 800=787.5(元) 答：该超市销售这种水果每天获取的最大利 润是787.5元. 【例3】解：(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价为x 元，每个肉棕的进价为y元. ,∠CBM+∠NDC=18O°，∠HDC+∠NDC= 4.x+6y=94, 根据题意可得 180°，.∴∠HDC=∠MBC. 6.x+10y=146 解得16， y=5. ·84 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为16元，每个肉 择A种产品产销日利润最大；当A种产品 棕的进价为5元. 的成本价为5.1<m≤6时，工厂选择B种 (2)设该超市应准备m件A种组合，利润为 产品产销日利润最大. W元，则B种组合数量是(3m一5)件， 【例5】解：(1)由题意知AB=xm,AB十BC= 根据题意得m十(3m一5)≤95，解得m≤25， 28,.BC=(28-x)(m). 则W=(120-94)m十(188-146)(3m-5) (2)依题意，得x(28-x)=192, 152mm-210, 即x2-28.x+192=0,解得x1=12,x2=16, 可以看出利润W是m的一次函数，W随着 当x=12时，28-x=16>13,成立： m的增大而增大， 当x2=16时，28-x=12<13舍去. ∴.当m最大时，W最大， 答：花园的面积可能是192m,此时边AB 即当m=25时，Wmx=152×25-210=3590. 的长为12米. 答：为使利润最大，该超市应准备25件A (3)依题意，得S=x(28-x)=-x2十28.x 种组合，最大利润为3590元. -(x-14)2+196. 【例4】解：(1)根据题意，得=(8一m)x一30 ,点P与CD,AD的距离分别是13m和6m, (0≤x500). .x≥6,28-x≥13，.6≤x15, =(20-12)x-(80+0.01x2) ∴.面积S与x的函数解析式为S=一(x =-0.01x2+8.x-80(0x≤300) 14)2+196(6≤≤x≤15). (2).4≤m6,∴.8-m>0, ,一1<0，抛物线的开口向下，对称轴为直 ∴.随x的增大而增大，又0≤x≤500. 线x=14, ∴.当x=500时，有最大值，即最大 .当x=14时，S取到最大值为一(14 -500m+3970(元). 14)2+196=196, =-0.01.z2+8x-80=-0.01(x 即当x=14时，花园面积S最大，最大值为 400)2+1520,且一0.01<0，对称轴为x=400, 196m2. ∴.当0≤x≤300时，2随x的增大而增大， 【例6】解：(1)设裁掉的正方形的边长为xdm, .当x=300时，2最大=-0.01×(300一 由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2 400)2+1520=1420(元). 8.x十12=0，解得x1=2,x2=6(舍去) (3)①若最大=2最大，即一500m十3970= 答：裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为 1420,解得m=5.1; 12dm2. ②若1最大>2最大，即一500m十3970> (2)由题意得10一2.x≤5(6-2x), 1420,解得m<5.1; 解得0<x≤2.5. ③若最大<2最大，即一500m十3970< 设长方体容器的底面面积为Sdm, 1420,解得m>5.1. ∴.S=(10-2x)(6-2x)=4x2-32.x+60= 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 4(x-4)2-4, 当m=5.1时，选择A,B两种产品产销 '.当x=2.5时长方体容器的底面面积有最 均可； 小值，S最小=4×(2.5-4)2-4=5. 当4≤m<5.1时，选择A种产品产销： (3)设总费用为元， 当5.1<m≤6时，选择B种产品产销 由题意可知w=0.5×2.x(16-4.x)+2(10 答：当A产品成本价为5.1元/件时，工厂选 2.x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24, 择A种或B种产品产销日利润一样大；当 ,对称轴为x=6,开口向上， A种产品的成本价为4≤m<5.1时，工厂选 .当0<x≤2.5时，随x的增大而减小 ·85 ∴.当x=2.5时，心最小为25元，∴当裁掉 边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，为 ∴抛物线的函数解析式为y一0. 25元. (答案不唯一，建立的坐标系合理即可). 【例7】解：(1)①根据题意可得石块运行的函数 任务2： 解析式为y=a(x-20)2+10, 该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底 把(0,0)代入解析式，得400a十10=0， 部距离水面不小于1m,灯笼长0.4m, .当悬挂点的纵坐标y≥一5十1.8+1+ 解得a=一 40' 0.4=-1.8. ∴抛物线的解析式为y=一 x-20r+10 即悬挂点的纵坐标的最小值是一1.8m ②石块能飞越防御墙AB.理由如下： 当y=-1.8时，一20r=-1.8x=土6， 由题意得C(30,6), ∴.悬挂点的横坐标的取值范围是一6≤x≤6. 把x=30代人y=- 0x-20)+10. 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始 得y=0×(30-20)y2+10=2.5>6. 悬挂灯笼（黑点表示灯笼悬挂点的横坐标）， 0 ∴石块能飞越防御墙， 图2 (2)由题意可知B(28,6),抛物线y=a(x ,一6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平 20)2十k, 间距均为1.6m, 0=a(0-20)2+k, 把O0,0),B(28,6)代入得 ∴.若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6， 6=a(28-20)2+k, 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6， 解得a=一 ,顶点一侧最多悬挂3盏灯笼 56 灯笼挂满后成轴对称分布，共可挂7盏 0=a(0-20)2+k, 把C(30,6),O0,0)代入得 灯笼， 6=a(30-20)2+k, ∴.最左边一盏灯笼的横坐标为一1.6×3= 解得a= 1 50 -4.8. ,·石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端 方案二：如图3，若不在顶点处悬挂灯笼（黑 点B,C), 点表示灯笼悬挂点的横坐标)， 5 ∴a的取值范围为一0≤a≤ -6 5.6 6 56 图3 【例8】解：任务1： 若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8十1.6× 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标 (5-1)>6. 系，则顶点为(0,0)，且过点B(10,一5) 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8十1.6× (4-1)<6, ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼. ,灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， 图1 设抛物线的解析式为y=ax, ∴最左边一盏灯笼的横坐标为一0.8一 把点B(10,-5)代入得100a=-5, 1.6×3=-5.6 专项十一 阅读理解型问题 ∴.a= 20' 【例1】解：(1)240. 86·