专项九 圆的证明与计算-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

(2)如图，连接BC,过点A作AD⊥BC,垂 ∴.∠ADC=45°..OC=OA, 足为点D,过点C作CE⊥AB,垂足为点E, ∴.∠OCA=45°，∴.∠OCA=∠ADC. (2)解：过点A作AH⊥BC,过点C作CF⊥ BA交BA的延长线于点F,如图所示： C(0,1),B(3,1),.BC∥x轴，BC=3. 由(1)得∠OCA=∠ADC=45°. 点A(1,3),B(3,1),AD⊥BC, ∴.△AHD为等腰直角三角形 .点D1,1),AD=2,DB=2, AD=2.'AH=DH=/2.tan B= 在Rt△ADB中，AB=√AD+DB=2√2. ∴.BH=3√2，∴.AB=√A+B=2√5. 又：SA=BCAD=ABCE, 由(1)得∠AOC=∠OAF=90°， 即2×3×2=×22·CE, CF⊥BA,.四边形OCFA为矩形 .'OA=OC,∴.四边形O℃FA为正方形， CE=3,即点C到线段AB的距离 ∴.CF=FA=OC ·∠B=∠B.∠AHB=∠CFB=90°， 为 △ABH∽△CBF,.B=AH BE CF' 【例6】解：1)y=专x(0≤r≤6)，为=0< 即32 2+0c光·解得0c x≤6). 【例3】(1)证明：：ME=2,BM=4,BE=2√3， (2)函数y1,y2的图象如图所示： ∴.ME+BE=4+12=16,BP=16, ∴.ME+BE=BMf,∴.∠BEM=90. 8 .'MN∥AC,∴.∠ACB=∠BEM=90° 又BC为⊙O的直径， 5 ∴.AC是⊙O的切线. 3 2 (2)解：如图，连接OM. 01234567893 由函数图象可知，y随x的增大而增大，y2 随x的增大而减小.（答案不唯一） (3)由函数图象可知，当y>2时x的取值 范围为2.2<x≤6. 专项九圆的证明与计算 .'∠BEM=90°，ME=2,BM=4, 【例2】(1)证明：连接OA,如图所示： ∴smB器-名，M-N .∠B=30°，.∠COM=60°， ∴OM=ME=43 sin60°3 ,AB与⊙O相切于点A,∴.∠OAB=90 60Xx4 ,OC∥AB,∠AOC=90°， .劣弧MN的长为2× 383π 180 9· ·82· 【例5】(1)证明：连接BG,如图1. 【例6】(1)证明：，点A关于BD的对称点为A, ∴点E是AA'的中点，∠AEO=90° 又，四边形ABCD是矩形，∴.O是AC的中点， ∴.OE是△ACA'的中位线，.OE∥AC, .∠AA'C=∠AEO=90°，∴.AA'⊥CA'. (2)①证明：如图，过点O作OF⊥AB于点 图1 F,延长FO交CD于点G,则∠OFA=90°. 根据题意可知AD=AE,BE=BF 又.'AB=BC,.CF=AE=AD. .'BC=2AD,.'.BF=BE=AD=AE=CF. ,AD∥BC,∴.四边形ABFD是平行四边形， ∴.∠BFD=∠DAB=60°. ,BG=BF,∴△BFG是等边三角形， ,四边形ABCD是矩形， .GF=BF,∴.GF=BF=FC ∴.AB∥CD,AO=BO=CO=DO, ∴.G在以BC为直径的圆上，∴.∠BGC=90°， ∴.∠OCG=∠OAF,∠OGC=∠OFA=90° .CG为EF所在圆的切线， '∠OCG=∠OAF,∠OGC=∠OFA=90°， (2)解：过D作DH⊥AB于点H,连接BG, AO-CO. 如图2. .△OCG≌△OAF(AAS),∴.OG=OF. ,⊙O与CD相切，OE为半径，∠OGC=90°， ∴.OG=OE,∴.OE=OF 又：∠AEO=90°，即OE⊥AE,OF⊥AB, ∴.AO是∠EAF的平分线，即∠OAE=∠OAF. 设∠OAE=∠OAF=x,则∠OG=∠OAF=x, 图2 又：CO=DO..∠OCG=∠ODG=x, 由图可得S影=SABFD一S扇形ED一S第形BG ∴.∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x. S△BG· 又，∠AEO=90°，即△AEO是直角三角形， 在Rt△AHD中，AD=1,∠DAB=60°， ∴.∠AOE+∠OAE=90°，即2x+x=90°， DH=AD·sm∠DAB=1X9-9. 解得x=30°， 2 ∴.∠OAE=30°，即∠A'AC=30° S0=AB·DH=2x9-5. 在Rt△A'AC中，∠A'AC=30°， ∠AA'C=90°，.AC=2CA', 由题可知，扇形ADE和扇形BGE全等， ∴.AA'=√AC-CAF=√(2CA)2-CAF= ∴.S扇形AED=S扇形GE= 11r72 60πAD 360 360 3CA'. 60×π×12 ②如图，过点O作OH⊥A'C于点H. 360 6 又等边三角形BFG的面积为GP·DH= 2 4 '.S阴影=SOABFD一S第形D一S编形一S△R= .⊙O与CA'相切，∴.OE=OH,∠AHO=90 :∠A4C=∠AE0-∠AEO=∠A'HO=90, 31 .四边形AEOH是矩形 ·83· 又.OE=OH,∴.四边形AEOH是正方形， .CD=CB,DH=BM,∴.△HDC≌△MBC ,∴.OE=OH=A'H. (SAS),∴.∠BCM=∠DCH,CM=CH. 又：OE是△ACA的中位线∴.OE=AC, 由(1)可得∠ABD=30°，又AB是直径，则 ∠ADB=90°， A'H=CH=2AC,∴OH=CH. .∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120° 又∠A'HO=90°，.∠OCH=45° :∠MCN=60°，∴.∠BCM+∠NCD=120°- ∠NCM=120°-60°=60°， 又，OE∥AC,∴.∠AOE=45. ∴.∠DCH+∠NCD=∠NCH=6O°， 又，∠AEO=90°，∴△AEO是等腰直角三 ∴.∠NCH=∠NCM. 角形，AE=OE. .'NC=NC,∴.△CNH≌△CNM(SAS), 设AE-E-r,则AO=DO=√AEOE=√2r ∴.NH=MN, ∴.DE=DO-OE=√2r-r=(2-1)r ∴.MN=DH+DN=BM+DN 在Rt△ADE中，AE+DE=AD,AD= 专项十函数实际应用型问题 1,即2+(2-1)22=12. 【例2】解：(1)当销售单价为13元/千克时，销售 2+√2 1+(2-1)24-22 4 量为2g-150(千克。 ⊙0的面积为2=2+2 设y与x的函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 4π. 300=10k+b, 把(10,300)，(13,150)分别代入得 【例7】(1)证明：，CF⊥OE,OC是半径， 150=13k+b, .CF是⊙O的切线. k=-50, ,BE是⊙O的切线，.BF=CF 解得b一800， EF=2BF,∴.EF=2CF. .y与x的函数解析式为y=一50x十800 mE器- (x>8). (2)由题意得（一50x+800)(x一8）=600， ∴.∠E=30°，∠EOB=60° 解得x=14或10. CD=CB,∴.CD=CB,.OC⊥BD. 答：当销售单价为每千克10元或14元时， 'AB是直径，∠ADB=90°=∠EBO 每天获取的利润达到600元， .'∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°， (3)设这种水果每天获取的利润为W元， ∴∠E=∠ABD=30°，∴AD=BO=2AB, 则W=(-50x+800)(x-8)=-50(x- 12)2+800, .△ADB≌△OBE(AAS). ∴.当8<x≤12时，W随x的增大而增大。 (2)解：MN=BM+DN,理由如下： 又：水果每天的销售量均不低于225千克， 延长ND至H使得DH=BM,连接CH, ∴.-50x+800≥225，.x≤11.5. BD,如图所示. .当x=11.5时，Wx=-50×(11.5-12)2+ 800=787.5(元). 答：该超市销售这种水果每天获取的最大利 润是787.5元. 【例3】解：(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价为x 元，每个肉粽的进价为y元 ,'∠CBM+∠NDC=18O°，∠HDC+∠NDC= 4x+6y=94, x=16, 根据题意可得 180°，.∴∠HDC=∠MBC. 解得 6x+10y=146, y=5. ·84·专项九圆的证明与计算 题型概览 999999 此类题以圆的基本性质、切线的判定与性质、弧长和扇形面积为起点，结合直角三角形、等腰 三角形、特殊四边形的相关知识，综合考查勾股定理的运用、锐角三角函数、三角形全等和相似等 核心知识.在湖北今年中考里出现在第21题的位置，分为2小问，分值为8分，难度属于中档题， 主要考查学生的推理能力、运算能力和几何直观等核心素养.解题的关键是掌握基本图形的性质， 第 根据相关性质构造直角三角形、全等三角形或相似三角形，运用等量代换、方程思想、面积公式等 解决问题. 部 题型1证明与长度的计算 (2)解：如图，过点D作DM⊥BC于M,连接OB 分 例1(8分)如图，等腰△ABC内接于⊙O, AB=AC,BD是边AC上的中线，过点C作 AB的平行线交BD的延长线于点E,BE交 题型专项攻略 ⊙O于点F,连接AE,FC H6 AH为BC的垂直平分线， ∴BH=HC-2BC-3, ∴.OH=vOB-B平=√5-3=4，AH= OA十OH=5十4=9，…4分 (1)求证：AE为⊙O的切线： ∴.AB=AC=vAH+CF=√g+3=3,10. (2)若⊙O的半径为5，BC=6,求FC的长. 规范答题 cD-AC=多m. (1)证明：AB∥CE,.∠ABD=∠CED, ,AH⊥BC,DM⊥BC,.DM∥AH, ∠BAD=∠ECD. '.△CMD∽△CHA. ……5分 又AD=CD,∴.△ABD≌△CED(AAS), ..AB=CE. 又ADCD别器黑： .四边形ABCE是平行四边形，…2分 ∴MH=HC=,DM=AH=号 ∴.AE∥BC.如图，作AH⊥BC于点H. aBM=BH+MH=3+2-号 2 …6分 ∴BD-BM+DM-√()+-2 :∠CFD=∠BAD,∠FDC=∠ADB, .△FCDc∽△ABD. 又，AB=AC,∴.AH为BC的垂直平分线 .点O在AH上，∴.AH⊥AE,即OA⊥AE. 器品阳 多m 3√10 又点A在⊙O上， AE为⊙O的切线. …3分 .FC=52. 8分 题型突破 19 例2如图，AB与⊙O相切于点A,半径OC∥ 题型2证明与阴影面积的计算 AB,BC与⊙O相交于点D,连接AD 例4(2024湖北一模)(8分)如图，△ABC为等 腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. (1)求证：∠OCA=∠ADC: 第 (2)若AD=2,anB=号，求0C的长. (1)求证：AC是⊙O的切线： (2)若BC=12,∠BAC=120°，求图中阴影部 部分题型专项攻略 分的面积. 》规范答题 (1)证明：过点O作OE⊥AC于，点E,连接 OD.OA. ,AB与⊙O相切于点D,∴.AB⊥OD. 例3如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， 交AB于点M,弦MN∥AC且MN交BC于 ∴.AO是∠BAC的平分线， 点E,ME=2,BM=4,BE=2、3. .OE=OD,即OE是⊙O的半径. (1)求证：AC是⊙O的切线： AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直 (2)求劣弧MN的长. 于OE,…注意格式规范 ∴.AC是⊙O的切线.…4分 (2)解：.OD⊥AB,OE⊥AC,∠BAC=120°， .∠DOE=60° ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴A01BC.0B=2BC=2×12=6. ,AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=∠C-30,0A-0B=2va .Rt△ADO中，∠OAD=60°，OA=2√3， AD=20A=2×23=5,0D=90A 23x9-3. 20 指点中考数学 ∴.S期影=S网边形A0E一S扇慧0E=2S△aDA (1)求证：AA'⊥CA': Sa=2X号×3x5新-3原-多 (2)以点O为圆心，OE为半径作圆. 360 ①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'一3CA'; …8分 ②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1,求⊙O的 例5(2024山东联考)如图，在四边形ABCD中， 面积 AD∥BC,∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2. 以点A为圆心，AD长为半径作DE交AB于 点E,以点B为圆心，BE长为半径作EF交 第 BC于点F,连接FD交EF于另一点G,连 接CG 一部分题型专项攻略 (1)求证：CG为EF所在圆的切线； 例7如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB, (2)求图中阴影部分的面积.（结果保留x) BE切⊙O于点B,过点C作CF⊥OE交BE 于点F,若EF=2BF 图1 ☒图2 (1)如图1，连接BD,求证：△ADB≌△OBE: (2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点 M,使∠MCN=60°，连接MN.请问：三条线 题型3圆的其他问题 段MN,BM,DN有怎样的数量关系？并证 明你的结论。 例6综合探究 如图1，在矩形ABCD中(AB>AD),对角线 AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点 为A',连接AA'交BD于点E,连接CA' 修3 题型突破 21