微课(13) 与对称有关的最值模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

微课（十三） 与对称有关的最值模型 模型一求两条线段和的最小值 模型归纳 垂线I,P为直线1上一动点，连接PO,PA, 则PO十PA的最小值为 问题 在直线I上求点P,使AP十BP最短 [思路分析]取点A关于直线1的对称点A', 将点A对称到点A',连接A'B与l的交点即 作法 连接A'O,推出PO十PA的最小值为AO的 为点P 长，再利用勾股定理求出A'O的长即可 图形 《对点演练 1.(2024广安)如图，在□ABCD中，AB=4, AP+BP-AB AD=5,∠ABC=30°，点M为直线BC上一 原理 两点之间，线段最短 动点，则MA十MD的最小值为 例1(2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy 第 中，已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的 部 分 模型二 求两条线段差的最大值 图 模型归纳 点，记PA十PB的最小值为a,PA一PB|的 与 最大值为b,则a2一b仔的值为 () 何 问题 ·B 在直线l上求点P,使|AP一BP最大 将点B对称到点B',作直线AB与l的交点即 作法 A.160 B.150 为点P C.140 D.130 图形 《对点演练 2.如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点， AP-BPI=AB' 原理 P是△ABC的中线AD上的动点，且AB= 三角形任意两边之差小于第三边 6,则BP一PE的最大值是 例2如图，点A,B在直线MN的同侧，点A到 MN的距离AC=8,B到MN的距离BD= 5,已知CD=4,P是直线MN上的一个动 知识精讲 173 模型三 求三条线段和的最小值 模型归纳 将点A向右平移a个单位到点A',对称点A' 作法 到点A",连接A"B与l交点即为点N,左平 1.一定两动 移a个单位即为点M 问题 图形 在直线l4,b上分别求点M,N,使△PMN周 长最小 AM+MN+NB=a+AB 分别将点P关于两直线对称得到点P',P, 原理 作法 两点之间，线段最短 连接PP"与两直线交点即为点M,N 例3(2024绥化)如图，已知∠AOB=50°，点P 为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N 图形 为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长 PM+MN+PN-P'P" 最小时，∠MPN 原理 两点之间，线段最短 第 2.两定两动 二 部 [思路分析]连接OP,作P点关于OA的对称 分 点E,连接EP,EO,EM,得ME=MP, 图 问题 在直线1，l2上分别求点M,N,使四边 ∠MPO=∠OEM;作P点关于OB的对称点 与 形PMNQ周长最小 F,连接NF,PF,OF,得PN=FN,∠OPN= ∠OFN:根据PM+PN+MN=EM+NF+ 何 将点P,Q分别关于两直线对称得到点 作法 P,Q,连接PQ与直线的交点即为M,N MN≥EF,当E,M,N,F共线时，△PMN周 长最小，再根据对称性质，即可求出∠MPN 的角度 图形 对点演练 3.224新履改编)如图，抛物线y=2r-4红十6 PM+MN+NQ-P'Q' 原理 两点之间，线段最短 与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD 在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下 3.造桥模型 方)，且CD=3.当AD+DC+BC的值最小 时，点C的坐标为 4 问题 VNI 在直线l上求两点M,N(M在左)，使得MN= a,并使AM什MN+NB最短 174 指点中考数学 模型四 利用“垂线段最短”求最值 模型归纳 形的性质和圆内接三角形的性质得到OA OB=4,CF⊥AB,然后利用含30°角直角三角 1.“两动一定”型（一个定点十两个动点） 点B在直线n上运动，在直线m上找一点 形的性质得到0E-20A=2,进而求出BE= P,使PA十PB最小： BO叶EB0-6,然后利用CP+号BP=CP+PD (1)如图1，点A在外侧，过点A作AB⊥n,垂 CF代入求解即可， 足为B,AB与直线m交于点P; 对点演练 (2)如图2，点A在内侧，作点A关于直线m 的对称点A',过点A'作A'B⊥n,垂足为B, 4.(2024宜昌模拟)如图，在菱形ABCD中，AB= A'B与直线m交于点P. AC=10,对角线AC,BD相交于点O,点M 在线段AC上，且AM=4,点P为线段BD 上的一个动点，则MP十PB的最小值是 图1 图2 第 2.“胡不归”问题：在求形如“PA十kPB”的式子 二 部 的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线 分 段，将“PA十kPB”型问题转化为“PA十PC A.4 B.3√2 图 型.而这里的PB必须是一条方向不变的线 C.33 D.5 与 段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,点E 等线段 何 是边AB上的动点，点F是射线BC上的动 例4如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆， 点，且BF=2AE,连接AF,CE若2AF+CE= 其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E,点P 为线段BE上一动点（点P不与B,E重合）， m,则m的最小值为 则CP+BP的最小值为 A.3√2 B.35 [思路分析]过，点P作PD⊥AB,连接CO并 C.62 D.6√5 延长交AB于点F,连接AO,根据等边三角 密友情提示请完成分层特训P微课（十三） 知识精讲 175∴.∠3=∠2，∴.△DEP∽△CPH 由折叠得∠A'B'B=∠ABO=60°， (2)解：：四边形ABCD是矩形，.CD=AB= ∴.∠AB'B=∠AOB,.A'B'∥AC, 2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°， 故当BC=√3AB时，始终有A'B'与对角线 P为CD的中点，∴DP=CP=2×2=l. AC平行. 设EP=AE=x,.ED=3-x, (3)√EF=2(AP+BD),理由如下： 在Rt△EDP中，EP2=ED+DP2,即x2= 如图，过点E作EG⊥BC于G,设EF交BD 于H, ③一+1解得x=号 ∴EP=AE=号ED=AD-AE-含： .△EDP∽△PCH 45 畏所即品PH- 由折叠得EF⊥BD,BF=BF,∠BFE=∠BFE. 设AE=m,EF=,由(2)得∠BAC=60=∠ABD, PG=AB=2∴.GH=PG-PH=. ∴.∠BB'F=∠DBC=30°， 对点演练 ∴.∠BFE=∠B'FE=60°，.EG=EF· sm60-.PG=EF·os60- 5.解：(1)当点B与点D重合时，四边形BEDF :∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°， 是菱形.理由：如图，设EF与BD交于点O, .四边形ABGE是矩形， D(B AB-EGBG-AE-m,AD/C :.BF=BF-m+ 由折叠得EF⊥BD,OB=OD, BH=BF·cos30-(a+. .∠BOF=∠DOE=90°， 四边形ABCD是矩形， ∴BB=2BH=(m+2, ∴.AD∥BC,∴.∠OBF=∠ODE, BD=2AB=√3m,∴.B'D=BD-BB=√3n ∴.△BFO≌△DEO(ASA),.OE=OF, ∴.四边形BEDF是菱形 (mtiw)--5n. (2)当BC=√3AB时，始终有A'B'与对角线 AD∥BC,∴.∠DEF=∠EFG=60°， AC平行.理由：如图，设AC,BD交于点O, ∴.∠APE=∠DEF-∠DAC=60°-30°= 30°=∠DAC, ∴.AP=2AE·cos30°=√3m,.AP+B'D= 5m+(停-5m=. B :四边形ABCD是矩形， AP+ED-EF.EF-2(AP+BD). .OA=OB,∠ABC=90°， 微课（十三）与对称有关的最值模型 BC=AB∴tan∠BAC-S-月， 【例1】5【例2】A【例3】80°【例4】6 .∠BAC=60°，.△OAB是等边三角形， 对点演练 ∴.∠ABO=∠AOB=60°， 1.√4T2.33.(4,1)4.C5.C ·38·