微课(10) 圆中常见辅助线的作法-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

对点演练 (2)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若 5,如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥 ⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为 部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是( ( A.27 cm2 B.54 cm2 C.27 cm2 D.54πcm2 6cm A.3 B.√6 C.3 D.23 对点演练 第5题图 第6题图 6.(2024宁波)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 7.如图，正方形ABCD内接于⊙O,点P在AB 30cm,母线长为50cm,则烟肉帽的侧面积为 上，则∠BPC的度数为 () cm.(结果保留π) 考点4圆内接正多边形的相关计算 例5(1)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O, A.30 B.45 连接OC,OD,则∠BAE-∠COD=( 第 C.60 D.90 8.(教材变式半径为R的圆内接正三角形、正方 部 形、正六边形的边长分别为 分 A.60° B.54 C.48° D.36 宝友情提示请完成分层特训Ps第24讲 形 几何 微课（十） 圆中常见辅助线的作法 类型一 连半径，构等腰 ) 模型归纳 圆，若∠C=25°，则∠BAO= A.25° B.50° C.601 D.65 在圆的相关题目中，不要忽略 隐含的已知条件，我们通常可以连 接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性 质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。 第1题图 第2题图 例1(2024苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三 2.(2024枣庄)如图，△ABC是⊙O的内接三角形， 角形，若∠OBC=28°，则∠A= 若OA∥CB,∠ACB=25°，则∠CAB= 3.如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接 圆，连接CO并延长交AB于点D,交⊙O于 《对点演练 点E,连接EA,EB. 1.(2024宿迁月考)如图，⊙O是△ABC的外接 (1)写出图中一个度数为30的角： 150 指，点中考数学 图中与△ACD全等的三角形是 4.如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点 (2)求证：△AED∽△CEB: C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的 (3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形 延长线交⊙O于点D,连接BD. 状，并说明理由. (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论； (2)若AB=10,BE=2√10，求BC的长. 36☑ 第 类型二 遇90°的圆周角，添加直径；遇直径，构造直径所对的圆周角 部 模型归纳 (2)求∠BAC的正切值. 分 1.遇直径时，常构造直径所对的圆周角.如图1， AB为直径，连接AC,BC→∠C=90° 形与 何 图1 图2 《对点演练 2.遇90的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆 5.如图，AB是半圆的直径，C,D是半圆上的两 的交点，得到直径.如图2，∠C=90°，连接 点，∠ADC=106°，则∠CAB= () A.10 B.14° C.16 D.26 AB→AB为直径， 例2如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在 B0延长线上，且cos∠ABC=号，OC-2OB, 0 第5题图 第6题图 6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连 接BD,BC.若∠ABD=56°，则∠BCD的度 数为 () (1)求⊙0的半径： A34 B.56 C.68 D.102 知识精讲 151 类型三 遇弦，作弦心距或连半径；遇中点，连圆心利用垂径定理 模型归纳 对点演练 遇弦求圆的半径或弦长时： 7.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC ①有半径，作弦心距（圆心到弦的距 是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E. 离d);②有弦心距，连过弦的端点 若E是BD的中点，则AC的长是() 的半径，构造直角三角形并结合垂径定理解题 由图易知AC=BC-受，d+(受)”=P,h+d=r 例3如图，QA,OB,QC都是⊙O的半径，∠ACB= 2∠BAC A2 B.3√3 (1)求证：∠AOB=2∠BOC: C.32 D.4√2 (2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径 8数学文化“圆材埋壁”是我国古代数学名著 《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在 壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一 第二部分 尺.问：径几何？”，用现在的几何语言表达即： 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为 点E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长 度是 寸 图形与几何 类型四 遇切线，连接圆心和切点 模型归纳 (2)过A点作⊙O的切线DE,求证：∠BAE= ∠C 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起 来，得半径与切线垂直，再利用直角有关性质 解题 例4如图，△ABC内接于⊙O, (1)若∠C=45°，⊙O的半径是2，求AB的长； 152 指点中考数学 对点演练 (2)如图2，CE与AB相交于点F,EF=EB,过 9.如图，点A是⊙O外一点，AB,AC分别与⊙O 点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点 相切于点B,C,点D在BDC上.已知∠A= G,若QA=3,求EG的长 50°，则∠D的度数是 10.在⊙O中，半径OC垂直于弦AB,垂足为D, ∠AQC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点. 图1 图2 (1)如图1，求∠AOB和∠CEB的大小： 友情提示请完成分层特训P,微课（十）) 微课（十一） 与圆有关的阴影部分面积的求法 类型一 直接公式法 第 ●方法归纳 《对点演练】 部 如果阴影部分是规则图形，则直接利用面积公 1.如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆 分 式进行计算 心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE 图 常见的面积公式： (阴影部分，点E在对角线AC上).若扇形 形 与 1.S弘=2底×高=2周长×内切圆的半径； DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆 锥的侧面积是 ( ) 何 2.S△=（边长） 4 A. B晋 3.S平行四边形=底X高： 4.S炬形=长×宽； C.x D.2x 5S都=对角线之积： 6.S正方形=（边长）2： 7.Sm=πR2; 第1题图 第2题图 &s。--R 2.(表材改编)如图，从一块直径为2m的圆形铁 例1如图，在⊙O中，若∠ACB= 皮上剪出一个圆心角为90的扇形，则此扇形 30°，OA=6,则扇形OAB(阴影部 的面积为 () 分)的面积是 ( ) A.12x B.6π A受m B 2xm2 C.4π D.2x C.πm D.2 m2 知识精讲 153则圆锥的母线长为0.5m '.圆锥的侧面积S.=π×0.4×0.5-0.2x(m). 圆杜的侧面积S.-2a-×0.4×0.8-0.64a(m^) 4B ',浮简的表面积为2S.+S.-1.04~3.266(m) ·100×3.266×0.11~35.93(kg) “BD是直径,.BAD-90* 答:要电键100个这样的错标浮简,需要用 35.93 kg的铲. ·弦AB的长为8,且cos/ABC-4. 【知识梳理】 1.扇形 周长 半径 2.nl 3.nrl十4.等腰 2-,^十h} 考点素养精讲 O的半径为5. 【例1】C (2)如图,过点C作CE AB于点E, 【例2】(1)证明:如图:连接OD ·.O的半径为5...OB-5. [BD-BC. 在△BOD和△BOC中,OD-OC, “An-. OB-OB. 5. :.△BOD△BOC.:ODB=ACB. BE ·.ACB-90{*,:ODB-90{, ABOD,.AB是O的切线. (2)解:设⊙O的半径为:,则OD一OE-r '$AE-AB-BE=2,CE- BC-BE*= :AD-③,AE=1..'OA-AE+OE=r+1. 在Rt△AOD中,AD十OD=OA{, 9 .(③)+-(r十1)②,解得,-1, 4 .OD1 【例3】(1)证明:·ACB- AOD=60{,.COD=120*。 由(1)得,△BOD△BOC. .AOB-2BOC (2)解:如图,过点O作半径OD]AB于点 E,连接DB ..- 6011 180 3. 【例3】(1)C(2)D【例4】(1)3 【例5】(1)D(2)C 对点演练 .AE-BE. 1.B 2.C 3.11r 4.3000π 5.C 6.1500π 7.B 8.3R./②R,R 微课(十) 圆中常见辅助线的作法 . DOB- BOC...BD-BC. 【例1】62 “.AB-4,BC-/5..BE-2.DB-/5 【例2】解:(1)如图,延长BC,交⊙O于点D,连 在Rt△BDE中,DEB-90* 接AD. ..DE- BD-BE-1. .34. 在Rt\BOE中,OEB=90{},OB=(OB- 1)2+22},解得OB-. 2. 【例4】(1)解:如图,连接OA,OB,则OA-OB-2. “. DBC= CAD- BAD- BCD “C-45*,AOB-2C-90{, ..BD=DC:OB=OC...OD垂直平分BC 'AB-OA+OB=22..AB的长为2② ·.△BDE是等腰直角三角形,BE-210. .BD=25.·AB-10.'$OB=OD-5. 设OF-t,则DF-5-t. 在Rt△BOF和RtBDF中,5--(2/5)? (5一)?,解得-3: (2)证明::DE是O的切线; .BF=OB-OF-4..BC-8. ' OAE-90{*},则 OAB十BAE-90*$$ 5.C 6.A 7.D 8.26 9.65} 同理(1)AOB-2 C.:OA=OB 10.解:(1):半径OC垂直于弦AB .AC-BC.. BOC=AOC-60*, 2 “. AOB=AOC+BOC=120{*, “BAE-90{*-OAB-90*-(90*- :CEB=BOC.. /CEB=30. C)=C,.BAE=C. 对点演练 (2)如图,连接OE,:半径OC1 1.D 2.40 AB,..AC=BC,.CEB= 3.(1)解:1(或 2.3.4均可);△BCD 2<AOC-30” (2)证明:由题意和(1)的结果可得5一6 .EF=EB, EFB-EBF=75*. 3-2-30,.△AED△CEB. “ DFC= EFB=75{*,DCF=90* (3)解:四边形OAEB是菱形,理由如下; DFC-15*, 连接OA.OB.':'OA-OE=OB-,5=6-6 0 “:OE=OC.:.DCF=OEC=15* . EOG=DCF+OEC-30*, .GE切⊙O于点E..OEG-90*. :.tan EOGG3 OE3 “:OE-OA-3..FG-③. :.OAE,OBE是等边三角形,.QA 微课(十一)与圆有关的阴影 OB=AE=EB=r..'.四边形OAEB是菱形 部分面积的求法 4.解;(1)△BDE为等腰直角三角形.证明如下 【例1】B【例2】C【例3】D ·.AE平分 BAC,BE平分/ABC. 对点演练 BAE=CAD=CBD,ABE= EBC. 1.D 2.A 3.D 4.C 5.2π-23 6.B “ BED=BAE +ABE,DBE= 单元整合方案 DBC十CBE,:BED= DBE 【例1】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时, '.BD=ED:AB为直径,.ADB-90* 连接OA,OC,过点O作OE )AB于点E并 ..八BDE是等腰直角三角形 延长交CD于点F,如图1 另解:计算 AEB-135{}也可以得证 ·AB-16cm.CD-12cm. (2)如图,连接OC.CD.OD.OD交BC于点F ..AE-8 cm,CF-6 cm ·35.