微课(9) 与圆的切线有关的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

∴.EO是⊙O的半径，.AB是⊙O的切线 (2)解：如图，连接BC,CE. 【例4】证明：(1)，∠ACD-∠DCB,∠BDC-=∠BAD, ∴.△ACD∽△DCB. (2)如图，连接OD. ,CD⊥AD,.∠D=90°， ,AB为⊙O的直径，.∠ADB=90°， ,DE=1,DC=2 ∴∠BAD+∠ABD=90°. ∴.CE=√CD+DE=22+1z=√5， .OB=OD,∴.∠ABD=∠ODB ,C是EB的中点，∴EC=CB, ,∠BDC=∠A,∴∠BDC+∠ODB=90°， ..EC=CB=5, ∴.∠ODC=90°，∴.OD⊥CD, ,OD是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， 对点演练 :∠DEC+∠AEC=180°， 1.=5 <5 >52.8或11 ∠ABC+∠AEC=180°， <<12 '.∠DEC=∠ABC,∴.△DEC∽△CBA, 3.C 4.3 5.(1)相切 (2)①30 12 (3)(2√5-2) 器-需洁鼎 √5AB1 6.A7.40 AB=5.A0-2AB= 2 8.(1)证明：BE是⊙O的直径，.∠BCE= 90°.BC∥AF,∴.∠CDF=∠BCE=90° 00的半径长为2 AF与⊙O相切于点A,∴.OA⊥AF. 【例2】解：(1)，OA=OB,∴∠OAB=∠ABO, ∴∠OAF=90°.∴.∠OAF=∠CDF..CE∥OA. (2)解：作OH⊥CE于点H,由垂径定理知 ,∠OAB+∠ABO+∠AOB=180°， CH=EH.,OB=OE,∴.OH是△ECB的中 ∠ABO=30°， 位线.0H-号BC-号X24=12在R△0EH .∠AOB=180°-2∠AB0=120°， ,直线MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O 中，根据勾股定理，得EH=√OE一O严 的直径，.∠ECM=90°， √132-12=5.，OH⊥CE,.∠OHD=90°.由 ,AB∥MN,∴.∠CDB=∠ECM=90°， (1)知∠CDA=∠OAD=90°，.四边形OADH .∠BOE=90°-∠ABO=60°， 是矩形..DH=OA=13..DE=DH-EH= :∠BCE=2∠BOE,.∠BCE=30 13-5=8. 微课（九）与圆的切线有关的常见模型 (2)如图，连接OC.同(1)，得 ∠COB=90°，CG⊥AB, 【例1】(1)证明：如图，连接OC ∴∠FGB=90°， ,∠ABO=30°，∴.∠BFG=90°-∠ABO= 60°，∴.∠CFO=∠BFG=60°，在Rt△COF OC 中，tan∠CF0-,又0C=0A=3, ,点C为EB的中点，EC=CB, ..OF= OC 3 ∴.∠DAC=∠CAF, tan∠CFO tan60=√3. .OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. 对点演练 ∴.∠DAC=∠OCA.∴.OC∥AD,∴.∠OCF= 1.(1)证明：如图，连接OC,,OB=O℃， ∠D=90°， .∠OBC=∠OCB,,∠DCA=∠OBC, OC为半径，.DC为⊙O的切线， ∴.∠DCA=∠OCB,而AB是⊙O的直径， ·32· .∴∠ACB=90°， .∠OAD=∠ADP=∠BDP, ∴.∠DCA+∠OCA=∠OCA+∠OCB=90°， ∴.∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+ .∠OCD=90°，.DC是⊙O的切线. ∠BDP=∠ADB, (2)解：设OC=OA=r, 在Rt△AOP中，OP=√OA+AP严=10. 血D8品…+2 ∴sn∠ADB=LAOP-8部-8- ∴.=8，∴.C=OA=8,在R1△OCD 4.(1)证明：连接OC,,1是⊙O的 中，CD=√ODc=√/8+2y-8=6. 切线，.OC⊥l,AD⊥l, ,'∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90°， .OC∥AD,∴.∠CAD=∠ACO= .∠ECF=∠BFG,又：'∠BFG=∠EFC, ∠CAB,,∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠ECF=∠EFC,∴.EC=EF. ∴.△ABCP△ACD. (2)解：，AC=5,CD=4,∠ADC=90°， 设EC=EF=x,:'∠D=∠D,∠DCO=∠DGE, △D0Cn△DEB,品-瓷则6 ∴.AD=√AC2-CDP=3, 于2解得r=14,经检验，=14是所列方 △MBn△MCD.是S, 即AB5 5 AB- ⊙0的半径为票 程的解，且符合题意，.CE的长为14. 2.(1)证明：，AF=BE,∴∠ABF=∠BAE, 第24讲 与圆有关的计算 :∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF=180°， 基础知识梳理 且∠CAD=∠CDA, 知识点1 ∴.∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE= 【教材入】 180°，∴.∠OAD=∠CAD+∠BAE=90°， 1.至少需要12√3mm :OA是⊙O的半径，且AD⊥OA,.AD是 2.A(-2,0)B(-1,-√3)C(1,-√3) ⊙O的切线. D(2,0)E(13)F(-1,W3) (2)解：连接AF,AF=BE,BE 【知识梳理】1.(1)圆心(2)中心 4,AD=25,∴.AF=BE=4, 知识点2 ,AB是⊙O的直径，∴.∠AFD=∠AFB= 【教材引入】 3.解：图中管道的展直长度为1=3000十2× 90°，∴.DF=√AD-AF=√(25)2-42=2， 元×1000≈6142(mm). “∠BAD=∠AFD=9O,∴铝=F 2 DE 4.解：设AB=R,AD=r, tanD=号=2∴AD=2AB, .S扇形ABC 120 120 360R,S形0e=3602, ∴.OA=号AB=AD=25,⊙0的半径长 ∴.S泉面=S泉形，AC S期形，ADE -器R 360-=120 120 360r(R2-2) 为2√5. 3.解：如图，连接OA. 号x302-(30=20)2=3x(900100) ,PA,PB分别与⊙O相切于点 A,B,∴.PA=PB,PO平分∠APB 800r(cm). 3 OA⊥AP.∴.∠APD=∠BPD, AP=BP, 答：扇面的面积为800 cm2. 在△APD和△BPD中，∠APD=∠BPD, 【知识梳理】 DP=DP, 2 4需 ∴.△APD≌△BPD(SAS), 知识点3 ·∠ADP=∠BDP, 【教材引入】 5.解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4m, .CD=12,∴.OA=OD=6, 圆锥的高为0.3m,圆柱的高为0.8m, ·33·微课（九） 与圆的切线有关的常见模型 模型一 切线的判定常考模型 一模型归纳 (2)若DE=1,DC=2,求⊙O的半径长 条件：AB是⊙O的直径， ∠CAE=∠B. 等角代 思路：由∠B十∠BAC=90°，可得 换模型 ∠CAE+∠BAC=90. 结论：AE是⊙O的切线， 条件：点O在AB上，AC⊥ 低对点演练 BC,BC与⊙O交于点E. 平行 L.(2024广安)如图，点C在以AB为直径的⊙O 思路：连接OE,证OE∥AC, 线模型 上，点D在BA的延长线上，∠DCA=∠CBA. 则OE⊥BC (1)求证：DC是⊙O的切线： 结论：CB是⊙O的切线， (2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的 条件：OA=OB 等腰 垂线与BC交于点F,与DC的延长线交于点 第 思路：作OC⊥AB于点C,证(OC 三角形 等于半径. E,若simD=号，DA=FG=2,求CE的长. 模型 部 结论：AB是⊙O的切线 分 条件：AC⊥BC.OA平分 ∠COD,AB与⊙O交于 形 点D. 思路：连接OD,证△ACO≌△ADO,则 点 何 ∠ADO-∠ACO=90°. 切线 结论：AB是⊙O的切线。 长模型 条件：AC⊥BC,AO平 2.(2024南充)如图，在⊙O中，AB是直径，AE 分∠COD 是弦，点F是AE上一点，AF=BE,AE,BF 思路：过点O作OD⊥AB 交于点C,点D为BF延长线上一点，且 点 于点D,证DO=CO,则OD为⊙O的 ∠CAD=∠CDA. 半径。 (1)求证：AD是⊙O的切线： 结论：AB是⊙O的切线， (2)若BE=4,AD=25,求⊙O的半径长. 例1如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一 点，点C为EB的中点，过点C作CD⊥AE,交 AE的延长线于点D,延长DC交AB的延长 线于点F (1)求证：CD是⊙O的切线： 知识精讲 145 模型二 切线性质的常作辅助线及常考设问 模型归纳 (2)如图②，若OB∥MN,CG⊥AB.垂足为G,CG 与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长 1L.常作辅助线 (1)已知切线：连接圆心和切点. 如图1，已知AB是⊙O的切线，点B是切点， 连接OB,得∠OBA=90° 图1 图2 (2)已知切线和直径：连接直径端点与切点， 连接圆心和切点 《对点演练 如图2，已知AB是⊙O的切线，点B是切点， 3.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,连 CD是⊙O的直径，连接OB,BC,BD,得 接PO并延长与⊙O交于点C,D,若CD Rt△BCD,∠ABO=90°. 12,PA=8,求sin∠ADB的值. 第 2.常考设问 (1)求角度：连接圆心和切点，构造直角三角 部 形，由两锐角互余和圆周角定理进行角度转 分 化求解。 图 (2)求线段长：①利用直角三角形的边角关系 形 与 求解：②利用勾股定理求解，注意直径所对的 圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方 何 4.(2024盐城)如图，点C在以AB为直径的⊙O 法；③利用相似三角形求解，找出与所求线段相 上，过点C作⊙O的切线1，过点A作AD⊥ 关的两个三角形相似：④利用等面积法求解。 l,垂足为D,连接AC,BC (3)求锐角三角函数值：①构造直角三角形， (1)求证：△ABC∽△ACD: 根据边角关系求解： (2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径 ②若所求角不在构造的直角三角形中，则将 所求角转化到直角三角形中求解 例2(2024天津)已知△AOB中，∠ABO=30°，AB 为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C 图① 图② (1)如图①，若AB∥MN,直径CE与AB相交于 点D,求∠AOB和∠BCE的大小： 友情提请完成分层特训P微课（九）) 146 指，点中考数学